第二章-實數(shù)理論PPT課件

1 第二章實數(shù)理論 郇中丹2006 2007年度第一學期 2 為什么要講實數(shù)理論 以往教材上關(guān)于實數(shù)處理的方式 以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定義以公理化方式定義實數(shù)來回避直接定義實數(shù)上述處理方式的缺陷 分割和基本列的方式定義需要引入一系列的工具 并且與中小學教材脫節(jié)公理化的方式使得學生困惑 實數(shù)變的難以理解了應當與中小學教材銜接并講清實數(shù) 講清十進小數(shù) 3 實數(shù)理論 1數(shù)系理論發(fā)展簡史 2定義實數(shù)遇到的困難 3我們?nèi)绾味x實數(shù) 4有理數(shù)系的性質(zhì) 5實數(shù)定義 6實數(shù)的完備性 7實數(shù)的運算性質(zhì) 8記號和實數(shù)的進一步性質(zhì) 4 1數(shù)系理論發(fā)展簡史 有趣的現(xiàn)象實數(shù)理論簡史引入實數(shù)的方法數(shù)系理論 5 有趣的現(xiàn)象 數(shù)的使用幾乎與人類的歷史一樣長 有人通過觀察推斷 動物有數(shù)感 在人類文明史中 數(shù)的概念是逐步擴展開來的 然而數(shù)的嚴格意義上的理論直到在十九世紀后半葉才完成 雖然歐幾里德幾何原本中已經(jīng)討論了可公度比和無公度比 但沒有定義什么叫無公度比的相等建立數(shù)系理論為了完善數(shù)學分析理論建立數(shù)系理論是要保證數(shù)學的真實性 非歐幾何的出現(xiàn) 幾何失去了其真實性 數(shù)學在哲學意義上的真實性應當建立在算術(shù)基礎(chǔ)上 Gauss1817 6 實數(shù)理論 是指以有理數(shù)系為基礎(chǔ)建立實數(shù)理論以往的直觀想法 有理數(shù)的極限 然而必須先存在才能談極限WilliamR Hamilton 1833 1835提出無理數(shù)的第一個處理 以時間作為實數(shù)的基礎(chǔ) 提出用將有理數(shù)分成兩類的方法定義無理數(shù)Weierstrass 1857 M ray 1869 Dedekind 1872 Cantor 1873 來源于KlineIVP46 47 7 引入實數(shù)的方法 Weierstrass 有自然數(shù)出發(fā)定義正有理數(shù) 然后用無窮多個有理數(shù)集合定義實數(shù)Dedekind 有理數(shù)分割Canter 有理數(shù)基本列等價類 8 數(shù)系理論 歐幾里德的 幾何原本 中的比例理論以及討論了現(xiàn)在有理數(shù)中的相關(guān)結(jié)果 但是在比例線段的術(shù)語下討論的 Muller1855 一般算術(shù) 和Grassmann1861 算術(shù) 中有討論 但是講得不清楚Peano1889 算術(shù)原理新方法 引入Peano公理系統(tǒng)解決了這個問題 他用了許多符號 和N0表示自然數(shù)集 9 2定義實數(shù)遇到的困難 如何從有限小數(shù)過渡到無限小數(shù)基本想法都是利用有理數(shù)序列逼近 極限 這就有兩個問題引入序列和極限等相關(guān)的概念即便如此 也要先定義清楚作為極限的實數(shù)雖然知道實數(shù)的眾多性質(zhì) 如何寫出一個邏輯上正確 清晰和不難接受的實數(shù)理論仍然有待努力 10 3我們?nèi)绾味x實數(shù) 與中學實數(shù)定義銜接 用十進小數(shù)定義實數(shù)系 然后建立相關(guān)的性質(zhì)建立實數(shù)的序建立實數(shù)的完備性利用有理數(shù)的運算和實數(shù)的完備性定義實數(shù)的運算 11 4有理數(shù)系的性質(zhì) 自然數(shù)系及其運算有理數(shù)系的建立有理數(shù)的運算性質(zhì)有理數(shù)的序性質(zhì)和稠密性質(zhì)有理數(shù)的不完備性 12 自然數(shù)系及其運算 已經(jīng)完成了邏輯地引入自然數(shù)系N 0 1 2 的過程 上一章引入的 加法運算就是數(shù)數(shù) 乘法運算就是一類特殊數(shù)數(shù)的方法 減法 對小的數(shù)加多少的到大的數(shù)除法 分組帶余除法 確定組數(shù)和余數(shù)歸納法是論證工具 13 有理數(shù)系Q的建立 有理數(shù)可以看成是由為了在自然數(shù)系中加 減 乘和除封閉而得到的最小集合自然數(shù)到有理數(shù)的邏輯擴展 由自然數(shù)及其笛卡爾積建立整數(shù)使得加 減 乘封閉 由整數(shù)及其笛卡爾積建立有理數(shù)使得加 減 乘和除封閉自然數(shù)到有理數(shù)的直觀擴展 引入負數(shù)和所有正整數(shù)份數(shù) 14 有理數(shù)的運算性質(zhì) 加法和乘法滿足交換律 a b b a a b b a與結(jié)合律 a b c a b c a b c a b c乘法與加法之間滿足分配律 a b c a b a c0是加法零元 a a 0 a1是乘法單位元 a a 1 a每個數(shù)a有負數(shù) a a a 0每個非零數(shù)a有倒數(shù)1 a a 1 a 1 15 有理數(shù)序的三歧性和稠密性 有理數(shù)序的三歧性 a b Q 則ab中有且僅有一種情形成立序與加法和乘法的關(guān)系 a b c Q a b a c b c a b c Q且c 0 a b a c b c記號 a b表示ab或a b有理數(shù)的稠密性 a b Q a b c Q a c b 16 有理數(shù)的不完備性 上界 設(shè)A Q A 若 b Q使得 a A a b 就稱b為A的一個上界 并且說A是有上界的上確界 設(shè)A Q A b Q叫做A的上確界 如果 1 b是A的上界 2 cc上確界的惟一性序的完備性 任何有上界的集合都有上確界有理數(shù)的不完備性 存在有理數(shù)有上界而沒有上確界的非空子集 例如 a Q a 0 a 2 2 習題 17 5實數(shù)定義 實數(shù)的十進小數(shù)定義有理數(shù)的十進小數(shù)表示實數(shù)的序 18 實數(shù)的十進小數(shù)定義 實數(shù)的十進小數(shù)定義 實數(shù)集合R定義為 x N Z n 0 x n 0 9 k 0 n k x n 0 x k 叫作x的第k位小數(shù) 記作xk x也寫成 x x 0 x1x2 記 x 0 x1x2 叫作x的小數(shù)部分 n 0 sn x x 0 x1x2 xn叫作x的n位小數(shù) 舍值 近似 也記s0 x x 19 有理數(shù)的十進小數(shù)表示 如果a Z 自然地對應x x 0 a k 0 x k 0 a Q 如果a有十進小數(shù)表示 a p 0 a1 an 對應的x x 0 p 0 k n x k ak k n x k 0 稱之為有限小數(shù) 用Qf表示R中所有有限小數(shù)的集合 R中的其他數(shù)叫無限小數(shù) a Q 其十進小數(shù)是無限的 則其十進小數(shù)是循環(huán)小數(shù) 有引入有理數(shù)十進小數(shù)方式 其十進小數(shù)不會有9循環(huán) 習題 如此a p 0 a1 an 自然對應x x 0 p k 0 x k ak注意這里用到整數(shù)部分而可能引起的與中學十進小數(shù)表示的差異 20 實數(shù)的序 實數(shù)序的定義 x y R x0時 kx注 當x y是有限小數(shù)時 與有理數(shù)中的序一致實數(shù)的序具有三歧性 x y R 則xy中有且僅有一種情形成立證明 任取x y R 若x y 由整數(shù)序的三歧性 不會有xy成立 若x y 則 n N x n y n 有歸納法 可設(shè)n是滿足這一性質(zhì)的最小自然數(shù) 因而由實數(shù)序的定義和整數(shù)序的三歧性可得有且僅有xy中的一個成立 21 6實數(shù)的完備性 實數(shù)集的上界和上確界實數(shù)的完備性實數(shù)完備性的推論常用記號和名詞 22 實數(shù)集的上界和上確界 上界 設(shè)A R A 若 b R使得 a A a b 就稱b為A的一個上界 并且說A是上有界的上確界 設(shè)A R A b R叫做A的上確界 如果 1 b是A的上界 2 cc事實1 確界的惟一性事實2 整數(shù)子集具有完備性 并且上確界在所討論的集合中 23 實數(shù)的完備性 I R的非空有上界的子集必有上確界 證明 設(shè)A R非空且有上界 取定A的一個上界z 下面歸納地構(gòu)造A的上確界b 1 考慮整數(shù)集合A0 x 0 x A 則x 0 z 0 由整數(shù)序的完備性 A0有在其中的上確界b0 即存在x A x 0 b0 很自然地 b0 R 若b0是A的上界 取b b0就得到了上確界 否則考慮整數(shù)集A0 x 1 x A x b0 且A0有上界9 24 實數(shù)的完備性 II 2 然后重復上面的步驟做下去 在第k步得到b0 0 b1 bk滿足下列性質(zhì) x A x 0 b0 x A滿足x 0 b0 h 0 k 1 Ah x h 1 x A x b0 0 b1 bh h 1 k 1 bh 1是Ah的上確界并且 x A滿足x n bn n 0 h若b0 0 b1 bk是A的上界 令b b0 0 b1 bk 就得到了上確界 否則考慮整數(shù)集Ak x k 1 x A x b0 0 b1 bk 其有上界9 設(shè)bk 1為Ak的上確界 則 x A滿足x h bh h 1 k 1 由歸納法就得到 25 實數(shù)的完備性 III 3 下列兩種可能性之一必成立 1 A有有限小數(shù)上確界b b0 0 b1 bn 2 得到b N Z b 0 b0 Z k 0 b k bk 0 9 有無限多個bk 0 滿足 x A x 0 b0 x A滿足x 0 b0 h N Ah x h 1 x A x b0 0 b1 bh h N bh 1是Ah的上確界并且 x A滿足x n bn n 0 h下面證明 由b可以構(gòu)造出A的上確界 26 實數(shù)的完備性 IV 4 考慮兩種情形 1 存在k 0 n k bk 9 如果k 1 bk 11 取b b0 0 b1 bk 1 1 為簡單這里僅給出k 1時的證明 k 1情形的證明留作習題 由 x A x 0 b0c 0 則x c 如果c 0 b0 由 m 0 c m c 因此b是A的上確界 27 實數(shù)的完備性 V 6 假設(shè) 2 成立 則b R 令b b 首先說明b是上界 用反證法 若b不是A的上界 則 x A x b 這就存在k 0 jb k bk 這與bk的取法矛盾 證明b是A的上確界 任取c R cc 這就得到b是A的上確界 這樣實數(shù)的完備性就建立了 28 實數(shù)完備性的推論 實數(shù)集的下界和下確界 設(shè)A R A 若 b R使得 a A a b 就稱b為A的一個下界 并且說A是下有界的設(shè)b R是A R的下界 如果 c b a A a c 就稱b為A的下確界推論1 R的非空有下界的子集必有下確界 推論2 R的非空子集的上確界和下確界是惟一的 即至多只有一個 上述兩個推論的證明留作習題 29 常用記號和名詞 集合A的上 下確界分別記為supA和infA 有時也分別叫作A的最小上界和最大下界如果supA A 稱supA為A的最大數(shù) 記supA為maxA 類似地 當infA A時 稱之為A的最小數(shù) 記為minA 當集合A沒有上界時 記supA 或 也說A的上確界是正無窮 類似地 若集合A無下界 記infA 說A的下確界是負無窮如果A上下都有界 就說A是有界的 否則就說A無界 30 上確界的簡單性質(zhì) 設(shè)A B是R的非空子集 則1 若A B 則supA supB 2 若 x A y B滿足x y 則supA supB 特別若A xa a I 和B ya a I 滿足xa ya 則supA supB 3 x R x sup sn x n N 31 7實數(shù)的運算性質(zhì) 加法定義負元和減法實數(shù)的符號和絕對值乘法定義倒數(shù)和除法 32 加法定義 定義 設(shè)x y R 定義x與y的和為x y sup sn x sn y n N 這個定義是有意義的 集合 sn x sn y n N 且有上界 x y 2 當x y Q為有限小數(shù)時 上述加法與有理數(shù)的加法一致 33 負元和減法 負元 設(shè)x R 若x為有限小數(shù) 即存在k x k 0 而 n k x n 0 負元 x定義為 k 0時 x 0 x 0 x n 0k 0時 x 0 x 0 1 x k 10 x k n 1 k 1 x n 9 x n n k x n 0 即k 0時 x x k 0時 x x 1 0 9 x1 9 xk 1 10 xk 若x為無窮小數(shù) 負元 x定義為 x 0 x 0 1 n 0 x n 9 x n 定義 設(shè)x y R 定義x與y的差x y為x y 命題1 x R x x x x 0 34 實數(shù)的符號和絕對值 符號函數(shù)sgn x R 若x 0 sgn x 1 若x 0 sgn x 1 sgn 0 0 絕對值函數(shù) x R 如果x 0 x的絕對值 x x 否則 x x定義 1 x x 1 x 1 x x 1 x 0 x x 0 0命題 1 x xsgn x x sgn x 2 x x sgn x x sgn x sn x A A 若 b R 35 乘法定義 非負實數(shù)的乘法 x y R x 0 y 0 定義x與y的乘積為 xy x y sup sn x sn y n N 這個定義是有意義的 集合 sn x sn y n N 且有上界 x 1 y 1 一般情形 xy x y sgn x sgn y x y 當x y Q為有限小數(shù)時 上述乘法與有理數(shù)的乘法一致 36 倒數(shù)和除法 倒數(shù) 對于x R x 0 當x 0時 x的倒數(shù)定義為 1 x sup sn 1 sn x 10 n n N 當x 0時 x的倒數(shù)為 1 x 1 x 除法 對于x y R y 0 定義x與y的商為x y x 1 y 命題2 x R x 0 x 1 x 1 37 實數(shù)的運算性質(zhì) 加法和乘法滿足交換律 a b b a a b b a與結(jié)合律 a b c a b c a b c a b c乘法與加法之間滿足分配律 a b c a b a c0是加法零元 a a 0 a1是乘法單位元 a a 1 a每個數(shù)a有負數(shù) a a a 0每個非零數(shù)a有倒數(shù)1 a a 1 a 1 38 實數(shù)序的三歧性和稠密性 實數(shù)序的三歧性 a b R 則ab中有且僅有一種情形成立序與加法和乘法的關(guān)系 a b c R a b a c b c a b c R且c 0 a b a c b c記號 a b表示ab或a b實數(shù)的稠密性 a b R a b c R Q d Q a c d b 39 實數(shù)的運算性質(zhì)的證明 系統(tǒng)的證明留作討論班的內(nèi)容 作為同學有余力時研究的一個問題實數(shù)運算性質(zhì)的證明 附錄 實數(shù)序性質(zhì)的證明 附錄 40 習題三 I 1 證明 a Q a 0 a 2 2 是Q中的有上界的非空集合 但在Q中沒有上確界 2 設(shè)x y R 證明 sn x sn y n N 且有上界 x y 2 3 證明 x R x x x x 0 4 證明實數(shù)的稠密性 a b R a b c R Q d Q a c d b 5 證明有上界的非空整數(shù)子集有在其中的上確界 41 習題三 II 6 設(shè)x R x 0 證明 x 1 x 1 7 證明確界的惟一性 上確界是最小上界和下確界是最大下界 8 設(shè)A B是R的非空子集 證明 1 若A B 則supA supB 2 若x A y B滿足x y 則supA supB 特別若A xa a I 和B ya a I 滿足xa ya 則supA supB 42 習題三 III 3 infA sup A supA inf A 其中 A x x A 4 inf xa a I inf ya a I inf xa ya a I sup xa ya a I sup xa a I sup ya a I 9 x R x sup sn x n N 10 證明 a b R 如果a b與a b同時成立 則a b 11 給出循環(huán)小數(shù)的定義 證明 循環(huán)小數(shù)自然地等于一個有理數(shù) 反之亦然 43 8記號和實數(shù)的進一步性質(zhì) 確界的e刻劃記號實數(shù)集的分離性閉區(qū)間套收縮閉區(qū)間套 44 確界的e刻劃 上確界 b R為集合A的上確界當且僅當 e 0 x A 使得x b e 下確界 a R為集合A的下確界當且僅當 e 0 x A 使得x0 x A 使得x M 無下界 非空集合A無下界當且僅當 M 0 x A 使得x M 45 記號 區(qū)間 a b R aa a x R x a R a x R x a a 鄰域 a R a e a e x R x a e 稱為a的e鄰域 簡稱鄰域 空心鄰域 a R a e a e a x R 0 x a e 稱為a的e空心鄰域 簡稱空心鄰域 46 實數(shù)集的分離性 命題1 設(shè)A B R非空 如果 a A b B 都有a b 則 c滿足 a A b B a c b 證明 取定b B 由 a A a b可知A有上界 由完備性 c supA R 在利用B的每個點都是A的上界和c是A的最小上界 就有 b B c b