數學1變化率與導數（新人教A版選修）課件

新課標人教版系列,高中數學選修2-2,1.1.變化率與導數,教學目標,了解導數概念的實際背景，體會導數的思想及其內涵;了解函數的平均變化率;教學重點：函數的平均變化率;導數概念的實際背景，導數的思想及其內涵;,一、變化率問題,研究某個變量相對于另一個變量變化,導數研究的問題,的快慢程度,變化率問題,微積分主要與四類問題的處理相關:,一、已知物體運動的路程作為時間的函數,求物體在任意時刻的速度與加速度等;二、求曲線的切線;三、求已知函數的最大值與最小值;四、求長度、面積、體積和重心等。導數是微積分的核心概念之一它是研究函數增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。,變化率問題,問題1氣球膨脹率我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?,氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是,如果將半徑r表示為體積V的函數,那么,我們來分析一下:,當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為,當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為,顯然0.620.16,思考?,當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?,問題2高臺跳水,在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)?,請計算,請計算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,平均變化率定義:,若設x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)則平均變化率為,這里x看作是對于x1的一個“增量”可用x1+x代替x2同樣f=y=f(x2)-f(x1),上述問題中的變化率可用式子表示,稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化率,思考?,觀察函數f(x)的圖象平均變化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直線AB的斜率,做兩個題吧!,1、已知函數f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+x,-2+y),則y/x=()A3B3x-(x)2C3-(x)2D3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+x,練習：,2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運動,求在4s附近的平均變化率.,A,小結：,1.函數的平均變化率,2.求函數的平均變化率的步驟:(1)求函數的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)計算平均變化率,練習：,過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q(1+x,1+y)作曲線的割線，求出當x=0.1時割線的斜率.,二、導數的概念,問題2高臺跳水,在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)?,瞬時速度.,在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態(tài).,又如何求瞬時速度呢?,我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.,如何求（比如，t=2時的）瞬時速度？通過列表看出平均速度的變化趨勢：,當t趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢?,瞬時速度,我們用表示“當t=2,t趨近于0時,平均速度趨于確定值-13.1”.,那么,運動員在某一時刻t0的瞬時速度?,局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過,取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。,導數的定義:,從函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:,問題:,求函數y=3x2在x=1處的導數.分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2再求再求,應用：,例1物體作自由落體運動,運動方程為：其中位移單位是m,時間單位是s,g=10m/s2.求：(1)物體在時間區(qū)間2,2.1上的平均速度；(2)物體在時間區(qū)間2,2.01上的平均速度；(3)物體在t=2(s)時的瞬時速度.,分析:,解:,(1)將t=0.1代入上式，得:,(2)將t=0.01代入上式，得:,應用：,例2將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第x(h)時，原油的溫度（單位：0C）為f(x)=x2-7x+15(0x8).計算第2（h)和第6（h）時，原由溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。,關鍵是求出：,它說明在第2（h)附近，原油溫度大約以30C/h的速度下降；在第6（h)附近，原油溫度大約以50C/H的速度上升。,應用：,例3質量為kg的物體，按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律做直線運動，（）求運動開始后s時物體的瞬時速度；（）求運動開始后s時物體的動能。,小結：,1求物體運動的瞬時速度：（1）求位移增量s=s(t+t)-s(t)(2)求平均速度（3）求極限,1由導數的定義可得求導數的一般步驟：（1）求函數的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均變化率（3）求極限,練習：,(1)求函數y=在x=1處的導數.(2)求函數y=的導數.,三、導數的幾何意義,平均變化率,函數y=f(x)的定義域為D,x1.x2D,f(x)從x1到x2平均變化率為:,割線的斜率,以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，,從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。,我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.,從函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:,我們稱它為函數y=f(x),在x=x0處的導數，記作f(x0)或y|xx0即,由導數的意義可知,求函數y=f(x)在點x0處的導數的基本方法是:,注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負.自變量的增量x的形式是多樣的,但不論x選擇哪種形式,y也必須選擇與之相對應的形式.,回顧,應用：,例1將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第x(h)時，原油的溫度（單位：0C）為f(x)=x2-7x+15(0x8).計算第2（h)和第6（h）時，原由溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。,關鍵是求出：,它說明在第2（h)附近，原油溫度大約以30C/h的速度下降；在第6（h)附近，原油溫度大約以50C/H的速度上升。,P,Q,切線,T,導數的幾何意義:,我們發(fā)現,當點Q沿著曲線無限接近點P即x0時,割線PQ如果有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.,設切線的傾斜角為,那么當x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.,即:,這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質函數在x=x0處的導數.,要注意,曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關;要根據割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.,因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:求出P點的坐標;利用切線斜率的定義求出切線的斜率;利用點斜式求切線方程.,練習:如圖已知曲線,求:(1)點P處的切線的斜率;(2)點P處的切線方程.,即點P處的切線的斜率等于4.,(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,在不致發(fā)生混淆時，導函數也簡稱導數,函數導函數,由函數f(x)在x=x0處求導數的過程可以看到,當時,f(x0)是一個確定的數.那么,當x變化時,便是x的一個函數,我們叫它為f(x)的導函數.即:,如何求函數y=f(x)的導數?,看一個例子:,下面把前面知識小結:,a.導數是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物理意義認識這一概念的實質，學會用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。,b.要切實掌握求導數的三個步驟：（1）求函數的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數。,（3）函數f(x)在點x0處的導數就是導函數在x=x0處的函數值，即。這也是求函數在點x0處的導數的方法之一。,小結:,（2）函數的導數，是指某一區(qū)間內任意點x而言的,就是函數f(x)的導函數。,（1）函數在一點處的導數，就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數，不是變數。,c.弄清“函