一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第二章 一元二次方程本章中考動(dòng)向：會(huì)用因式分解法、公式法、配方法解簡(jiǎn)單系數(shù)的一元二次方程；了解一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系并能進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)用；能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列方程，能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)方程的解的合理性。一. 知識(shí)點(diǎn)：1. 一元二次方程的概念 只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，并且都可以化成（a，b，c為常數(shù)，a0）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程。注：（整式方程，含有一個(gè)未知數(shù)；整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2） 2. 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，化成：（a0）。這種形式叫做一元二次方程的一般形式，其中是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。關(guān)鍵：（1）a0；（2）系數(shù)帶上符號(hào)3.一元二次方程的解（根） 能使一元二次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。 應(yīng)用：若是方程的解（根），則代入方程，可使其成立。通常結(jié)合恒等變形來(lái)求一些式子的值。 例：已知a是方程 的一個(gè)根，試求 的值。4. 配方法解一元二次方程：將一元二次方程轉(zhuǎn)化成 （n0）的形式。通過(guò)配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根。 （n0）。 關(guān)鍵：將二次項(xiàng)系數(shù)化為1的方程的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方注：在求解一些式子的最值問(wèn)題時(shí)，我們是將式子配成完全平方，再利用完全平方式子的非負(fù)性來(lái)解決。例如：當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式 的值最小？求出這個(gè)最小值？5. 公式法解一元二次方程 對(duì)于一元二次方程（a0），當(dāng)0時(shí)，利用配方法可算出它的根是，這個(gè)式子成為一元二次方程的求根公式。關(guān)鍵步驟：（1）將方程化為一般形式，確定公式中a，b，c的值；（2）先求出 的值，再考慮是否用公式。6. 一元二次方程根的判別式（=）（1）0時(shí)，方程（a0）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根（2）=0時(shí)，方程（a0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（3）0時(shí)，方程（a0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根7因式分解法解一元二次方程（ab=0，則a=0或b=0） 步驟：（1）整理方程，使其右邊為0（這很重要） ；（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的乘積；（3）令每個(gè)一次式分別為0，形成兩個(gè)一元一次方程，他們的解就是一元二次方程的解。常用的因式分解法：（1）提公因式；（2）公式法；（3）十字相乘： 對(duì)于第三種方法要牢記兩數(shù)之和為一次項(xiàng)系數(shù)，兩數(shù)之積為常數(shù)項(xiàng)，此法在應(yīng)用題中比較方便。技巧：右化零，左分解，兩因式，各求解8. 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（1） ， （2） （3） 9一元二次方程解應(yīng)用題 （1）列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵在于找出題目中的等量關(guān)系，有些等量關(guān)系比較明顯，有些隱含在題意當(dāng)中，需要分析題意，挖掘出來(lái)。（2）在一元二次方程解應(yīng)用題中，還有一個(gè)關(guān)鍵的地方在于舍根。檢驗(yàn)方程的根，把不符合實(shí)際意義和不符合題意的根舍去。（3）常見(jiàn)的等量關(guān)系常見(jiàn)題型等量關(guān)系幾何問(wèn)題各種圖形的周長(zhǎng)、面積、體積公式等銷售問(wèn)題利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)利潤(rùn)率=利潤(rùn) 進(jìn)價(jià)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）進(jìn)價(jià)售價(jià)=進(jìn)價(jià)（1+利潤(rùn)率） 總利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本=單個(gè)利潤(rùn)總銷量 增長(zhǎng)率問(wèn)題（a為起始量，b為終止量，x%為增長(zhǎng)率） 利潤(rùn)問(wèn)題本息和=本金+利息利息=本金利率存期 三. 重難點(diǎn)分析1.一元二次方程和一元二次方程的根的問(wèn)題（1）一元二次方程要抓住未知數(shù)x的最高次數(shù)2；二次項(xiàng)系數(shù)不為零兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（2）如果有X0是方程的解，則有式子 成立。當(dāng)求含有X0代數(shù)式的值時(shí)，找出該代數(shù)式與相類似的結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體代入求值。2.解一元二次方程的問(wèn)題（1）根據(jù)方程的形式，用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼庖辉畏匠蹋ü椒ê团浞椒ㄟm用于所有一元二次方程，因式分解則適用于部分方程）（2）利用判別式（=），我們可以確定方程根的情況，若有根則0。但是要注意一些二次項(xiàng)前面有未知數(shù)的方程，若明確說(shuō)是一元二次方程，則要考慮二次項(xiàng)不為零；若只是說(shuō)是方程，則要更具二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行分類討論。（3）在沒(méi)有規(guī)定方法的前提下解一元二次方程，首先考慮用因式分解法，其次考慮用公式法。對(duì)于系數(shù)較大時(shí)，一般不適宜用公式法，如果一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)，可選用配方法。（4）知道一元二次方程的兩個(gè)根，就可以知道用因式分解法求解的過(guò)程， ， （注意：和分解出來(lái)的數(shù)互為相反數(shù)）3.根與系數(shù)的關(guān)系問(wèn)題（1）已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求出方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根，也可以直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求另一根及待定字母的值。如：已知關(guān)于的方程 的一個(gè)根是2，求方程的另一個(gè)根和的值？ （2）已知方程兩根的關(guān)系求待定字母系數(shù)的值時(shí)，先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系用待定字母表示兩根之和和兩根之積，然后將已知的兩根關(guān)系進(jìn)行變形，再將兩根的和與積整體代入，列出以待定字母為未知數(shù)的方程，求出待定字母的值，注意檢驗(yàn)根的合理性。（3）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題的前提條件是方程有實(shí)數(shù)根，即0，在利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程待定字母的值時(shí)，必須代到根的判別式中檢驗(yàn)。如：已知 ， 是關(guān)于的一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)根，且。（1）求k的值；（2）求的值。4. 一元二次方程解應(yīng)用題（1）列方程時(shí)，從最基本的等量關(guān)系入手，逐步把所有的已知條件表示出來(lái)。 （2）解一元二次方程時(shí)，一般情況下都是整數(shù)解，因此是