第五章：測量誤差的基本知識

第五章測量誤差的基本知識,重點：測量誤差的來源、分類及處理方法學(xué)習(xí)誤差的目的和意義掌握偶然誤差的特性掌握評定測量精度的方法掌握觀測值得中誤差和誤差傳播定律的計算方法和應(yīng)用等精度觀測和非等精度觀測的精度評定方法,第一節(jié)測量誤差概述,2、誤差的表達(dá)式：lX,1、誤差的概念：觀測量之間的差值或觀測值與真值之間的差值，稱為測量誤差,3、測量誤差的基本特性：測量誤差不可避免,一、測量誤差的來源,1測量儀器和工具,2觀測者,3外界條件的影響,由于儀器和工具加工制造不完善或校正之后殘余誤差存在所引起的誤差。,由于觀測者感覺器官鑒別能力的局限性所引起的誤差。,外界條件的變化所引起的誤差（溫度、風(fēng)力、日光、大氣折光）。,幾個概念：,1、觀測條件：,人、儀器和外界條件，通常稱為觀測條件。,2、等精度觀測：,觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；,3、非等精度觀測：,觀測條件不相同的各次觀測，稱為非等精度觀測。,研究測量誤差的目的和意義,確定未知量的最可靠值及其精度制定觀測方案、采取措施盡力減少測量誤差對測量結(jié)果的影響,二、測量誤差的分類,粗差,偶然誤差,系統(tǒng)誤差,1、粗差,粗差是測量中的錯誤。粗差在觀測結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。,幾個概念：,測定未知量的最少觀測次數(shù)；如測量三角形內(nèi)角必要觀測為2,必要觀測,多余觀測,多余必要掛側(cè)的觀測；如測量三角形內(nèi)角觀測3個角度，多余觀測為1,多余觀測的作用,1）、構(gòu)成檢核條件，發(fā)現(xiàn)粗差2）、評定測量精度（用多余觀測差值的大?。?）發(fā)笑超限誤差,2系統(tǒng)誤差,1）概念：在相同觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。,2）性質(zhì)：系統(tǒng)誤差在測量成果中具有累積性，對測量成果影響較大，但它的符號和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。,3）系統(tǒng)誤差的處理辦法進(jìn)行計算改正選擇適當(dāng)?shù)挠^測方法,案例：鋼尺量距，用沒有鑒定、名義長為30m、實際長為30.005m的鋼尺量距，每丈量一整尺段距離就量短了0.005m，產(chǎn)生-0.005m的量距誤差。各整尺段的量距誤差大小都是0.005m，符號都是負(fù)，不能抵消，具有累積性。系統(tǒng)誤差對觀測值的影響具有一定的規(guī)律性，找到規(guī)律就可對觀測值施加改正以消除或削弱系統(tǒng)誤差的影響。,3偶然誤差,在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，如果觀測誤差的符號和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。具有統(tǒng)計規(guī)律,三、偶然誤差的特性,偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對同一量觀測次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性，觀測次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。,例如，對三角形的三個內(nèi)角進(jìn)行測量，由于觀測值含有偶然誤差，三角形各內(nèi)角之和l不等于其真值180。用X表示真值，則l與X的差值稱為真誤差（即偶然誤差），即,現(xiàn)在相同的觀測條件下觀測了217個三角形，計算出217個內(nèi)角和觀測值的真誤差。再按絕對值大小，分區(qū)間統(tǒng)計相應(yīng)的誤差個數(shù)，列入表中。,偶然誤差的統(tǒng)計,*,*,偶然誤差的誤差分布圖,當(dāng)誤差數(shù)n，誤差區(qū)間d0，,（1）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差個數(shù)多；,（2）絕對值相等的正負(fù)誤差的個數(shù)大致相等；,（3）最大誤差不超過27。,*,*,偶然誤差的四個特性：,（1）在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零；,（2）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；,（3）絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；,（4）同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)n的無限增大而趨于零，即,式中偶然誤差的代數(shù)和，,*,*,*,第二節(jié)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn),在測量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評定測量成果的精度。,中誤差,相對中誤差,極限誤差,*,偶然誤差分布的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),一：標(biāo)準(zhǔn)差與中誤差對真值X進(jìn)行了n次等精度獨立觀測，觀測值l1，l2，ln真誤差1，2，n(=L-X),觀測值的標(biāo)準(zhǔn)差,n有限時的標(biāo)準(zhǔn)差,m中誤差(meansquareerror)，用m表示。,式中真誤差的平方和，,例5-1設(shè)有甲、乙兩組觀測值，各組均為等精度觀測，它們的真誤差分別為：,甲組：,乙組：,試計算甲、乙兩組各自的觀測精度。,解:,比較m甲和m乙可知，甲組的觀測精度比乙組高。,中誤差所代表的是某一組觀測值的精度。,不同中誤差的正態(tài)分布曲線,二、相對中誤差,相對中誤差是中誤差的絕對值與相應(yīng)觀測結(jié)果之比，并化為分子為1的分?jǐn)?shù)，即,例丈量兩段距離，D1=100m，m1=1cm和D2=30m，m2=1cm，試計算兩段距離的相對中誤差。,解,三、極限誤差,1、極限誤差的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：用某一事件發(fā)生的概率定義,為任一正實數(shù)，事件,發(fā)生的概念為,真誤差絕對值大于1倍m的占1-0.683=31.7%真誤差絕對值大于1倍m的占1-0.954=4.6%真誤差絕對值大于1倍m的占1-0.997=0.3%小概率事件不會發(fā)生,結(jié)論,在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不應(yīng)超過的限值，稱為極限誤差，也稱限差或容許誤差。,或,如果某個觀測值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認(rèn)為該觀測值含有粗差，應(yīng)舍去不用或返工重測。,2、極限誤差的概及表達(dá)方式,3、超過極限誤差的處理方式,第三節(jié)觀測值的算術(shù)平均值,一、算術(shù)平均值,1、定義：在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行多次重復(fù)觀測，根據(jù)偶然誤差特性，可取其算術(shù)平均值作為最終觀測結(jié)果。,2、表達(dá)形式：設(shè)對某量進(jìn)行了n次等精度觀測，觀測值分別為，l1,l2,ln，其算術(shù)平均值為：,3、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：設(shè)觀測量的真值為X，觀測值為li，則觀測值的真誤差為：,將上式內(nèi)各式兩邊相加，并除以n，得,根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)觀測次數(shù)n無限增大時，則有,結(jié)論：算術(shù)平均值較觀測值更接近于真值。將最接近于真值的算術(shù)平均值稱為最或然值或最可靠值。,二、觀測值改正數(shù),1、定義：觀測量的算術(shù)平均值與觀測值之差，稱為觀測值改正數(shù)，用v表示。,2、觀測知該正式的表達(dá)：當(dāng)觀測次數(shù)為n時，有,將上式內(nèi)各式兩邊相加，得,將,代入上式，得,3、結(jié)論：對于等精度觀測，觀測值改正數(shù)的總和為零。,三、由觀測值改正數(shù)計算觀測值中誤差,1、計算公式,2、數(shù)學(xué)基礎(chǔ),-,=,將下式兩邊平方后取和,四、算術(shù)平均值的中誤差,例5-2某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對誤差。,148.643,148.590,148.610,148.624,148.654,148.647,148.628,-15,+38,+18,+4,-26,-19,225,1444,324,16,676,361,3046,5.2誤差傳播定律,重點：誤差傳播的概念與誤差傳播定律一般函數(shù)的中誤差的計算方法線性函數(shù)的中誤差的計算方法誤差傳播定律的應(yīng)用,1、定義：由獨立觀測值得中誤差求確定其函數(shù)得中誤差的過程,、數(shù)學(xué)描述,一：一般函數(shù)誤差傳播定律,、數(shù)學(xué)推導(dǎo),對函數(shù)進(jìn)行全微分,對未知量進(jìn)行次觀測，將會產(chǎn)生個函數(shù)誤差,將等號兩邊取平方，再相加,兩端除以,根據(jù)偶然誤差的特性,則,根據(jù)中誤差的定義,為有限次觀測，則傷式，可以寫為,二：線性函數(shù)的中誤差,一般線性函數(shù)k11k22knn誤差公式,解A、B、C滿足如下關(guān)系C=180AB上式dCdAdB由式（5-9）可知，f11，f21，代入式（5-11）得：即=25c5本例題由于是線性函數(shù)，也可直接套用（5-14）式求得結(jié)果。注意，線性函數(shù)中不管是“和”函數(shù)還是“差”函數(shù)，函數(shù)中誤差都是求平方和之后再開方。在某三角形ABC中，直接觀測A和B角，其中誤差分別是3，和4，試求中誤差。,三：誤差傳播定律的應(yīng)用,為了求某圓柱體體積，今測得圓周長、高及其中誤差分別為：周長C2.1050.002米，高H1.8230.003米，試求圓柱體體積V及其中誤差。解圓柱體體積公式：,將觀測數(shù)據(jù)代入上式得V=0.643m3=0.0016m3即V=0.6430.0016m3,為了求某圓柱體體積，今測得圓周長、高及其中誤差分別為：周長C2.1050.002米，高H1.8230.003米，試求圓柱體體積V及其中誤差。解圓柱體體積公式：將上式取對數(shù)微分得則將觀測數(shù)據(jù)代入上式得V=0.643m3=0.0016m3即V=0.6430.0016m3,5.4非等精度直接觀測值的最可靠值及其中誤差,權(quán)的概念權(quán)與中誤差的關(guān)系定權(quán)的方法加權(quán)平均值及其中誤差,權(quán)的概念,未知量非等精度觀測較可靠的觀測值，對最后測量結(jié)果產(chǎn)生較大的影響較可靠的觀測值、或精度高的觀測值，應(yīng)對結(jié)果產(chǎn)生較大的影響，它所占的“權(quán)重”應(yīng)大一些權(quán)與中誤差具有密切關(guān)系,權(quán)與中誤差的關(guān)系,權(quán)p與中誤差m關(guān)系權(quán)為單位權(quán)中誤差稱為單位權(quán)中誤差,定權(quán)的方法,未知量進(jìn)行了兩組非等精度觀測，但每組內(nèi)各觀測值精度相等最后結(jié)果實際值,則觀測值L1，L2的中誤差分別為M1，M2，權(quán)為：,例：按等精度丈量了三條邊，得試求這三條邊的權(quán)。解因為等精度觀測，即每公里的丈量精度相同，按式（5-16），三條邊的中誤差分別為：則它們的權(quán)為：式中為任意常數(shù)。由上式可知，在等精度丈量時，邊長的權(quán)與邊長成反若C=1則若C=4則,加權(quán)平均值及其中誤差,觀