第11章 環(huán)的定義及性質

.,1,第三章環(huán)與域,主要內容:環(huán)的定義與性質無零因子環(huán)的特征數子環(huán)、理想子環(huán)與商環(huán)環(huán)的同態(tài)基本定理極大理想,.,2,第11節(jié)環(huán)的定義及性質,主要內容:環(huán)的定義與性質零因子特殊的環(huán)(整環(huán)/除環(huán)/域),.,3,環(huán)的定義,定義1設(R,+,)是代數系統，+和是二元運算.如果滿足以下條件:(1)(R,+)構成交換群;(2)(R,)構成半群;(3)運算關于+運算滿足左、右分配律;則稱(R,+,)是一個環(huán).通常稱+運算為環(huán)中的加法，運算為環(huán)中的乘法.環(huán)中加法單位元記作0，乘法單位元(如果存在)記作1.對任何元素x，稱x的加法逆元為負元，記作x.若x存在乘法逆元的話，則稱之為逆元，記作x1.,.,4,定義2稱環(huán)(R,+,)是有限環(huán)，如果R是有限非空集合.,定義3設(R,+,)是環(huán)，(1)若環(huán)中乘法適合交換律，則稱R是交換環(huán)或可換環(huán).(2)若環(huán)中乘法存在單位元，則稱R是含幺環(huán).,環(huán)的定義,.,5,環(huán)的實例,例1(1)整數集、有理數集、實數集和復數集關于普通的加法和乘法構成環(huán)，分別稱為整數環(huán)Z，有理數環(huán)Q，實數環(huán)R和復數環(huán)C.(2)n(n2)階實矩陣的集合Mn(R)關于矩陣的加法和乘法構成環(huán)，稱為n階實矩陣環(huán).(3)集合的冪集P(B)關于集合的對稱差運算和交運算構成環(huán).(4)設Zn0,1,.,n1，和分別表示模n的加法和乘法，則(Zn,)構成環(huán)，稱為模n同余類環(huán).,.,6,性質1設(R,+,)是環(huán)，則(1)aR，a0=0a=0；(2)a,bR，(a)b=a(b)=ab；(3)a,b,cR，a(bc)=abac，(bc)a=baca；(4)a1,a2,.,an，b1,b2,.,bmR(n,m2).,環(huán)的運算性質,.,7,性質1設(R,+,)是環(huán)，則(1)aR，a0=0a=0；(2)a,bR，(a)b=a(b)=(ab)=ab；,環(huán)的運算性質,證(1)aR有a0=a(0+0)=a0+a0由環(huán)中加法的消去律得a0=0.同理可證0a=0.(2)a,bR，有(a)b+ab=(a+a)b=0b=0ab+(a)b=(a+(a)b=0b=0(a)b是ab的負元.由負元惟一性(a)b=ab.同理a(b)=ab.,.,8,同理可證,b1,b2,.,bm有,(4)證明思路：用歸納法證明a1,a2,.,an有,于是,證明(4),性質1設(R,+,)是環(huán)，則(4)a1,a2,.,an，b1,b2,.,bmR(n,m2).,.,9,實例,例2在環(huán)中計算(a+b)3,(ab)2.,解:(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b2,.,10,問題,初等代數中：,ab=0a=0或b=0,n0，na=0a=0,環(huán)中：,ab=0a=0或b=0?,n0，na=0a=0?,.,11,零因子,定義4設(R,+,)是環(huán)，aR，a0。如果存在一個元bR，b0，使得ab=0，則稱a是R的一個左零因子.如果存在一個元cR，c0，使得ca=0，則稱a是R的一個右零因子.如果a既是R的左零因子，又是R的右零因子，則稱a是R的零因子.,顯然，若R有左零因子，則R必有右零因子.,.,12,特殊的環(huán),定義5設(R,+,)是環(huán)，若a,bR，ab=0a=0或b=0，則稱R是無零因子環(huán).或若a,bR，a0，b0ab0，則稱R是無零因子環(huán).或沒有左零因子，也沒有右零因子的環(huán)稱為無零因子環(huán).,.,13,特殊的環(huán),定義6設(R,+,)是環(huán)，(1)若R是交換環(huán)、含幺環(huán)、無零因子環(huán)，則稱R是整環(huán).(2)如果R滿足以下兩個條件：1)R中至少含有兩個元素(或R中至少含有一個非零元素)；2)非零元素的全體對乘法構成一個群.則稱R是除環(huán)或體.(3)可換體稱為域.,顯然，除環(huán)和域是無零因子環(huán).,.,14,例3(1)整數環(huán)Z、有理數環(huán)Q、實數環(huán)R、復數環(huán)C都是交換環(huán),含幺環(huán),無零因子環(huán)和整環(huán).除了整數環(huán)以外都是域.(2)令2Z=2z|zZ，則(2Z,+,)構成交換環(huán)和無零因子環(huán).但不是含幺環(huán)和整環(huán).(3)設nZ,n2,則n階實矩陣的集合Mn(R)關于矩陣加法和乘法構成環(huán)，它是含幺環(huán)，但不是交換環(huán)和無零因子環(huán)，也不是整環(huán).(4)(Z6,)構成環(huán)，它是交換環(huán),含幺環(huán),但不是無零因子環(huán)和整環(huán).23=32=0，2和3是零因子.,實例,.,15,定理1環(huán)R是無零因子環(huán)當且僅當在R中乘法滿足消去律，即如果a0，ab=ac，則b=c；如果a0，ba=ca，則b=c.,無零因子環(huán),例4至少有一個非零元的無零因子有限環(huán)是體.,提示：注意“有限”兩個字.,.,16,實例,例5設p為素數，證明Zp是(有限)域.,證p為素數，所以|Zp|2.易見Zp可交換，單位元是1.對于任意的i,jZp,i0有ij=0p整除ijp|jj=0所以Zp中無零因子.,注意：若p不為素數，則Zp肯定不是域.,.,17,域中除法及其性質,在域F中可以引入除法，如果a,bF，a0，則b被a除記為b/a，且b/a=a-1b.,有以下性質：,.,18,證a,bZ有ab,abZ,兩個運算封閉.任取a,b,cZ(ab)c=(a+b1)c=(a+b1)+c1=a+b+c2a(bc)=a(b+c1)=a+(b+c1)1=a+b+c2(ab)c=(a+bab)c=a+b+c(ab+ac+bc)+abca(bc)=a(b+cbc)=a+b+c(ab+ac+bc)+abc與可結合，1為的單位元.2a為a關于的逆元.Z關于構成交換群,關于構成半群.關于滿足分配律.a(bc)=a(b+c1)=2a+b+cabac1ab)(ac)=2a+b+cabac1(Z,)構成環(huán),練習1,1.在整數環(huán)中定義和兩個運算,a,bZ有ab=a+b1,ab=a+bab.證明(Z,)構成環(huán).,.,19,2.判斷下列集合和給定運算是否構成環(huán)、整環(huán)和域,如果不構成,說明理由.(1)A=a+bi|a,bQ,其中i2=1,運算為復數加法和乘法.(2)A=2z+1|zZ,運算為實數加法和乘法(3)A=2z|zZ,運算為實數加法和乘法(4)A=x|x0xZ,運算