Gronwall不等式的推廣及其應(yīng)用

精品文檔Gronwall不等式的推廣及其應(yīng)用摘要：本文主要研究了Gronwall不等式的性質(zhì),將Gronwall積分不等式中的非負(fù)常數(shù)推廣為非負(fù)變量函數(shù);利用Gronwall積分不等式建立了函數(shù)矩陣中的一個(gè)Gronwall型積分不等式,并由此證明了一階微分方程及一類函數(shù)矩陣微分方程解的唯一性.關(guān)鍵詞：Gronwall不等式;一階微分方程;函數(shù)矩陣微分方程.The Promotion and Application of Gronwall InequalityAbstract：In this paper，we study the property of Gronwall inequality, and get a new inequality about Gronwall inequality instead with . Furth more, we get another Gronwall inequality in functional matrix. Finally, we get the uniqueness of solution in some First order differential equation and Function matrix differential equation.Key word: Gronwall inequality; First order differential equation; Function matrix differential equation1歡迎下載。精品文檔目 錄1. 前 言 12. Gronwall不等式證明 13. Gronwall不等式的推廣 23.1非負(fù)變量下的Gronwall不等式23.2函數(shù)矩陣范數(shù)的Gronwall不等式34. Gronwall不等式的應(yīng)用 44.1一階微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性問題 54.2函數(shù)矩陣微分方程解的唯一性61歡迎下載。精品文檔Gronwall不等式的推廣及其應(yīng)用1. 前言在數(shù)學(xué)中,Gronwall不等式說明了對于滿足一定的微分方程或積分方程的函數(shù),有相應(yīng)的關(guān)于此微分方程或積分方程的不等式.Gronwall不等式常常被用來估計(jì)常微分方程解的取值范圍.比如,它可以用來證明初值問題的解的唯一性. Gronwall不等式的微分形式首先由Gronwall在1919年證明.而積分形式則是由Richard Bellman在1943年證明.Gronwall是一位瑞典的數(shù)學(xué)家,后來移居美國.由于本文只介紹Gronwall不等式的積分形式,故其微分形式再不做介紹.本文用兩種不同的方法證明了Gronwall不等式,并給出兩個(gè)相關(guān)的結(jié)論.最后給出Gronwall不等式在常微分方程中的應(yīng)用.2Gronwall不等式的證明定理 2.1(Gronwall不等式) 設(shè)為非負(fù)常數(shù),和為在上的連續(xù)非負(fù)函數(shù),且滿足不等式+ ,則有 ,證明 方法一:設(shè),則.用乘不等式的兩邊得 ,即 ,再用乘上式兩邊,得, ,兩邊從到積分,并由,得 ,所以 .方法二:當(dāng)時(shí),由條件不等式得,兩邊從到積分,得 .由上式和條件不等式知 當(dāng)時(shí),這時(shí)條件不等式變?yōu)?結(jié)論變?yōu)?事實(shí)上,對,成立,從而由可知, 而由得任意性可知 .綜合、可知 推論 若,和為在上的連續(xù)非負(fù)函數(shù),且滿足不等式 ,則有 .3Gronwall不等式的推廣3.1 非負(fù)變量下的Gronwall不等式在上述討論中,“非負(fù)常數(shù)”這個(gè)條件可以放寬,下將改為非負(fù)函數(shù),可得如下結(jié)果：定理3.1 設(shè)為上的連續(xù)非負(fù)函數(shù),滿足 且小于無窮.則：.證明：由題意可知： , (1) 令,給(1)兩邊乘以可得 ,所以有 . 從而上述命題得證 . 3.2 函數(shù)矩陣范數(shù)的Gronwall積分不等式 設(shè) ,定義3.2.1 矩陣上稱為連續(xù)的,如果都是在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).定義3.2.2 矩陣上稱為可微的,如果都是在區(qū)間上是可微的.定義3.2.3 矩陣上稱為可積的,如果都是在區(qū)間上可積的.定義3.2.4 對于和n維向量,我們定義范數(shù): ; , 設(shè) ; . ; .由上面不難可以得到函數(shù)矩陣范數(shù)的Gronwall型不等式.定理3.2 設(shè)為非負(fù)常數(shù),是閉區(qū)間上的連續(xù)、可微、可積函數(shù)矩陣,且滿足不等式 ,則 特別當(dāng)時(shí),有 ,推出,推出 證明: 因 ,由已知和范數(shù)的性質(zhì)有 ,由定理2.1推出： .當(dāng)時(shí),有 ,推出 推出,推出. 4.Gronwall不等式在常微分方程中的應(yīng)用4.1 利用定理2.1證明一階微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性問題定義4.1 函數(shù)滿足Lipschitz條件,如果存在常數(shù),使得不等式 ,對于所有都成立.L稱為Lipschitz常數(shù). 定理4.1已知初值問題有解,則其解是唯一的.證明：初值問題的等價(jià)積分方程是 . 設(shè)是初值問題的解,假若還另有一解為,則因?yàn)?, . 有 | .其中為Lipschitz常數(shù).由定理2.1和推論2.1有 |, 即 |, 則 .同理可證 . 4.2 用定理2