2007全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案.doc

全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里. 不填、多填或錯(cuò)填得零分）1方程組的解的個(gè)數(shù)為（ ）（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4答：（A）解：若0，則于是，顯然不可能若，則 于是，解得，進(jìn)而求得所以，原方程組的解為只有1個(gè)解故選（A） 2口袋中有20個(gè)球，其中白球9個(gè)，紅球5個(gè)，黑球6個(gè)現(xiàn)從中任取10個(gè)球，使得白球不少于2個(gè)但不多于8個(gè)，紅球不少于2個(gè)，黑球不多于3個(gè)，那么上述取法的種數(shù)是（ ）（A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20答：（B）解：用枚舉法： 紅球個(gè)數(shù) 白球個(gè)數(shù) 黑球個(gè)數(shù) 種 數(shù) 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4所以，共16種故選（B）3已知為銳角三角形，經(jīng)過點(diǎn)B，C，且與邊AB，AC分別相交于點(diǎn)D，E 若的半徑與的外接圓的半徑相等，則一定經(jīng)過的（ ）（A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心答：（B）解： 如圖，連接BE，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，均為銳角又因?yàn)榈陌霃脚c的外接圓的半徑相等，且為兩圓的公共弦，所以于是，（第3題答案圖）若的外心為，則，所以，一定過的外心故選（B）4已知三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3答：（D）解：設(shè)是它們的一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則，把上面三個(gè)式子相加，并整理得因?yàn)?，所以于是故選（D）5方程的整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)是（ ） （A）0 （B）1 （C）3 （D）無窮多答：（A）解：原方程可化為，因?yàn)槿齻€(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù)，所以上式左邊是3的倍數(shù)，而右邊除以3余2，這是不可能的所以，原方程無整數(shù)解故選(A).二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6如圖，在直角三角形ABC中，CA4點(diǎn)P是半圓弧AC的中點(diǎn)，連接BP，線段BP把圖形APCB分成兩部分，則這兩部分面積之差的絕對(duì)值是 答：4解：如圖，設(shè)AC與BP相交于點(diǎn)D，點(diǎn)D關(guān)于圓心O的對(duì)稱點(diǎn)記為點(diǎn)E，線段BP把圖形APCB分成兩部分，這兩部分面積之差的絕對(duì)值是BEP的面積，即BOP面積的兩倍而（第6題答案圖）因此，這兩部分面積之差的絕對(duì)值是47如圖, 點(diǎn)A，C都在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B，D都在軸上，且使得OAB，BCD都是等邊三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 答：（，0） （第7題答案圖）解：如圖，分別過點(diǎn)A，C作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)設(shè)OEa，BFb， 則AE，CF，所以，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)為（，），（2b，），所以 解得因此，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）8已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0） 若二次函數(shù)的圖象與線段AB恰有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是 答：，或者解：分兩種情況：（）因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），所以，得由，得，此時(shí)，符合題意；由，得，此時(shí)，不符合題意（）令，由判別式，得當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，符合題意綜上所述，的取值范圍是，或者9如圖，則n 答：6解：如圖，設(shè)AF與BG相交于點(diǎn)Q，則，于是（第9題答案圖）所以，n610已知對(duì)于任意正整數(shù)n，都有，則 答：解：當(dāng)2時(shí)，有 ，兩式相減，得 ，所以 因此 三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11（A）已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，1），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（1）判斷以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線PM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接NP，NQ，求證：解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則PM;又因?yàn)辄c(diǎn)P到直線的距離為，所以，以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線相切 5分（第11A題答案圖）（2）如圖，分別過點(diǎn)P，Q作直線的垂線，垂足分別為H，R由（1）知，PHPM，同理可得，QMQR因?yàn)镻H，MN，QR都垂直于直線，所以，PHMNQR，于是 ，所以 ，因此，RtRt于是，從而 15分 12（A）已知a，b都是正整數(shù)，試問關(guān)于x的方程是否有兩個(gè)整數(shù)解？如果有，請(qǐng)把它們求出來；如果沒有，請(qǐng)給出證明.解：不妨設(shè)b，且方程的兩個(gè)整數(shù)根為()，則有所以 ，. 5分因?yàn)?b都是正整數(shù)，所以x1，x2均是正整數(shù)，于是，0,0，1,1，所以 或 （1）當(dāng)時(shí)，由于a,b都是正整數(shù)，且b，可得a1，b3，此時(shí)，一元二次方程為，它的兩個(gè)根為，（2）當(dāng)時(shí)，可得a1，b1，此時(shí)，一元二次方程為，它無整數(shù)解.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a1，b3時(shí)，題設(shè)方程有整數(shù)解，且它的兩個(gè)整數(shù)解為， 15分13（A）已知AB為半圓O的直徑，點(diǎn)P為直徑AB上的任意一點(diǎn)以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作A，A與半圓O相交于點(diǎn)C；以點(diǎn)B為圓心，BP為半徑作B，B與半圓O相交于點(diǎn)D，且線段CD的中點(diǎn)為M求證：MP分別與A和B相切（第13A題答案圖）證明：如圖，連接AC，AD，BC，BD，并且分別過點(diǎn)C，D作AB的垂線，垂足分別為，則CEDF因?yàn)锳B是O的直徑，所以在Rt和Rt中，由射影定理得， 5分兩式相減可得 ，又 ，于是有 ，即 ，所以，也就是說，點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn)因此，MP是直角梯形的中位線，于是有，從而可得MP分別與A和B相切15分14（A）（1）是否存在正整數(shù)m，n，使得？（2）設(shè)(3)是給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)m，n，使得？解：（1）答案是否定的若存在正整數(shù)m，n，使得，則，顯然，于是，所以，不是平方數(shù)，矛盾 5分（2）當(dāng)時(shí)，若存在正整數(shù)m，n，滿足，則，而，故上式不可能成立 10分當(dāng)4時(shí)，若（t是不小于2的整數(shù)）為偶數(shù)，取，則 ， ，因此這樣的（m，n）滿足條件若1（t是不小于2的整數(shù)）為奇數(shù)，取，則 ， ，因此這樣的（m，n）滿足條件 綜上所述，當(dāng)時(shí)，答案是否定的；當(dāng)4時(shí)，答案是肯定的 15分 注：當(dāng)4時(shí)，構(gòu)造的例子不是唯一的11（B）已知拋物線：和拋物線：相交于A，B兩點(diǎn). 點(diǎn)P在拋物線上，且位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間；點(diǎn)Q在拋物線上，也位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間. （1）求線段AB的長(zhǎng)；（2）當(dāng)PQy軸時(shí)，求PQ長(zhǎng)度的最大值解：（1）解方程組得 所以，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-2，6），（2，-6）于是5分（2）如圖，當(dāng)PQy軸時(shí)，設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為， ， ，因此 PQ8，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，PQ的長(zhǎng)的最大值8 （第11B題答案圖） 15分12（B）實(shí)數(shù)a，b，c滿足abc，且，abc1求最大的實(shí)數(shù)k，使得不等式恒成立解：當(dāng)，時(shí)，實(shí)數(shù)a，b，c滿足題設(shè)條件，此時(shí)4 5分下面證明：不等式對(duì)滿足題設(shè)條件的實(shí)數(shù)a，b，c恒成立由已知條件知，a，b，c都不等于0，且因?yàn)?，所?由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知，a，b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，于是0，所以 10分因此 15分13（B）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長(zhǎng)線上，且滿足若，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，的外接圓與的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD求證：（1）；（2）證明：（1）連接PE，PF，PG，因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?，于是?，從而 ，所以 （第13