2018數(shù)學(xué)中考專題--4-中點(diǎn)輔助線專題

2018年數(shù)學(xué)中考 中點(diǎn)專題1、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)；2、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”；3、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”；4、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形）；5、有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線；6、有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積）；7、倍長(zhǎng)中線8、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想“垂徑定理”中點(diǎn)輔助線模型一、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)1、如圖1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，MNAC于點(diǎn)N，則MN等于（ ）NMBOCAA B C D二、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半” 2、如圖，在ABC中，A=90,AC=AB,M、N分別在AC、AB上。且AN=BM.O為斜邊BC的中點(diǎn).試判斷OMN的形狀，并說明理由.3、如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2, 將長(zhǎng)為2的線段的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)如果點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿圖中所示方向按滑動(dòng)到點(diǎn)為止，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿圖中所示方向按滑動(dòng)到點(diǎn)為止，那么在這個(gè)過程中，線段的中點(diǎn)所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為（ ）A. 2 B. 4 C. D.三、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”4、（直接找線段的中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理）如圖，已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=BD，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于點(diǎn)E、F.你能說出OE與OF的大小關(guān)系并加以證明嗎？5、（利用等腰三角形的三線合一找中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理）如圖所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABCBAC的角平分線，BDAD，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，如果AB=6,AC=14，求DE的長(zhǎng)6、（綜合使用斜邊中線及中位線性質(zhì)，證明相等關(guān)系問題）如圖，等腰梯形ABCD中，CDAB，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)S、P、Q分別是DO、AO、BC的中點(diǎn).求證：SPQ是等邊三角形。四、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形）7、如圖甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（CGBC）中，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，M是AE的中點(diǎn)，（1）探究線段MD、MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）將圖甲中的正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使正方形CGEF的對(duì)角線CE恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變。（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明圖甲BACEDFGMABCDFGEM 圖乙BDCA五、有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線8、如圖所示，在ABC中，AD是BC邊上中線，C=2B. 2AC=BC。求證：ADC為等邊三角形。六、有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積）9、如圖所示，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G，則等于_. 七、倍長(zhǎng)中線10、如圖，ABC中，D為BC中點(diǎn)，AB=5，AD=6，AC=13。求證：ABAD11、如圖，點(diǎn)D、E三等分ABC的BC邊，求證：AB+ACAD+AE八、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想“垂徑定理” 12、半徑是 5 cm的圓中，圓心到 8 cm長(zhǎng)的弦的距離是_13、半徑為的圓O中有一點(diǎn)P，OP=4，則過P的最短弦長(zhǎng)_，最長(zhǎng)弦是_，14、如圖，在圓O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB，OEAC，垂足分別為D、E，若AC=2cm，則圓O的半徑為_cm。15、如圖，在O中，直徑AB和弦CD的長(zhǎng)分別為10 cm和8 cm，則A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和是_.16、如圖，O的直徑AB和弦CD相交于E，若AE2cm，BE6cm，CEA300，求：CD的長(zhǎng)；17. 已知：如圖，正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（2）將圖中BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由 （3）將圖中BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明） 遇到中點(diǎn)引發(fā)六聯(lián)想1、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)例1、如圖1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，MNAC于點(diǎn)N，則MN等于【 】A B C D分析：由AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且邊BC是底邊；由點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，如果連接AM，則根據(jù)等腰三角形的三線合一，得到AM是底邊BC上的高線，這樣就能求出三角形ABC的面積，而三角形AMC的面積是等腰三角形面積的一半，在三角形AMC中利用三角形的面積公式，求可以求得MN的長(zhǎng)。解: 連接AM， AB=AC=5 , 點(diǎn)M為BC中點(diǎn) AMBC，在直角三角形AMC中，AC=5，CM=BC=3, AM=4，SABC= BCAM=64=12 , SACM= SABC =6； 6=ACMN， MN=. 所以，選擇C。2、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”例2、在三角形ABC中，AD是三角形的高，點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E、F、G分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGD是等腰梯形。分析：由點(diǎn)E、F、G分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，知道FGBC,FEAC，F(xiàn)E=AC，由直角三角形ADC，DG是斜邊上的中線，因此，DG=AC，所以，EF=DG，這樣，我們就可以說明梯形EFGD是等腰梯形了。證明： 點(diǎn)E、F、G分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)， FGBC ， FEAC，F(xiàn)E=AC， AD是三角形的高， ADC是直角三角形， DG是斜邊上的中線， DG=AC， DG=EF, 梯形EFGD是等腰梯形。3、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”例1 求證：順次連結(jié)四邊形四邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形。已知：如圖4所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。分析：由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，我們就自然聯(lián)想到三角形的中位線定理，但是在這里，我們發(fā)現(xiàn)缺少三角形，因此，我們只要連接四邊形的一條對(duì)角線，就出現(xiàn)我們需要的三角形了。證明：連接AC， E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。 EFAC ，EF =AC， GHAC，GH=AC， EFGH，EF=GH， 四邊形EFGH是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。4、遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形例4、如圖6所示，已知梯形ABCD，ADBC，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE 、 BE。 求證：SABE=S四邊形ABCD。分析：如果直接證明，是不容易，聯(lián)想到ADBC，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，我們延長(zhǎng)AE，與BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，這樣，我們就構(gòu)造出一對(duì)八字型的三角形，并且這對(duì)三角形是全等的。這樣，就把三角形ADE遷移到三角形ECF的位置上，問題就好解決了。證明：如圖7所示，延長(zhǎng)AE，與BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F， ADBC， ADE=FCE，DAE=CFE，又 點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)， DE=CE， ADEFCE， AE=EF， SABE= SBEF， SBEF= SBEC+ SECF= SBEC+ SADE， SABE= SBEC+ SADE， SABE+ SBEC+ SADE= S四邊形ABCD， 2 SABE= S四邊形ABCD， SABE= S四邊形ABCD。5、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想“垂徑定理”例5、如圖8所示，是O的弦，點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，若，則O的半徑為 cm分析：由點(diǎn)C是AB 的中點(diǎn)，聯(lián)想到圓的垂徑定理，知道OCAB，這樣在直角三角形AOC中根據(jù)勾股定理，就可以求得圓的半徑。解： 點(diǎn)C是AB 的中點(diǎn)， OCAB， AB=8, AC=4在直角三角形AOC中，AC=4,OC=3, OA=5(cm)，因此，圓的半徑是5cm。6、遇到中點(diǎn)，聯(lián)想共邊等高的兩個(gè)三角形面積相等例6、如圖9所示，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G，則等于：【 】A、 B、 C、 D、分析：如果兩個(gè)三角形有一個(gè)公共的高頂點(diǎn)，有一邊在一條直線上，并且兩個(gè)三角形的這個(gè)公共頂點(diǎn)，是這條共邊線段的中點(diǎn)，那么，這兩個(gè)三角形的面積相等。解：如圖10所示，連接BG， E是線段AB的中點(diǎn)， SAEG= SBEG=x， SBGF= SGCF=y，設(shè)AB=2a，BC=2b， =2a2b=4ab， 根據(jù)題意，得：2 y +x=BCBE=ab， 2x+y=BABF=ab， 2x+y=2y+x，即x=y=， 4x=， S四邊形AGCD= 等于， 所以，選D。幾何必考輔助線之中點(diǎn)專題專題性總結(jié) 中點(diǎn)專題 角平分線專題 截長(zhǎng)補(bǔ)短專題 中點(diǎn)專題看到中點(diǎn)該想到什么？1兩條線段相等，為全等提供條件 2中線平分三角形的面積 3倍長(zhǎng)中線 4中位線 5斜邊上的中線是斜邊的一半 【例1】(2008北京)如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連結(jié)PGPC。若ABCBEF60， 探究PG與PC的位置關(guān)系及的值。 將上圖中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變(如圖)。你在中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明?！纠?】如圖所示，在ABC中，ACAB，M為BC的中點(diǎn)，AD是BAC的平分線，若CFAD且交AD的延長(zhǎng)線于F，求證：MF(ACAB)。 【例3】如圖所示，在ABC中，AD是BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，MEAD且交AC的延長(zhǎng)線于E，CD2CE，求證：ACB2B。中點(diǎn)專題看到中點(diǎn)該想到什么？ 1兩條線段相等，為全等提供條件 2中線平分三角形的面積 3倍長(zhǎng)中線 4中位線 5斜邊上的中線是斜邊的一半 中點(diǎn)問題探究（1）BEDMCA1、已知如圖，在ABC中，ABAC，AD平分BAC，BE垂直AD的延長(zhǎng)線于E，M是BC的中點(diǎn)，求證：ME=BFGOECDA2、已知如圖，ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點(diǎn)，（1）判斷EF和DG有何關(guān)系并證明；（2）求證：。3、已知如圖，在四邊形ABCD中，EF分別為AB、CD的中點(diǎn)；（1）求證：EF（2）四邊形ABCD的周長(zhǎng)不小于EF的四倍（3）EF交BD、AC分別于P、Q，若AC=BD，求證：OPQ為等腰三角形。PQOFEADCBA4、在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD+BC，E為CD的中點(diǎn)，求證：AEBE。EDCBA5、如圖，已知AD為ABC的角平分線，ABAC，在AC上截取CE=AB，M、N分別為BC、AE的中點(diǎn)。ENMDCBA求證：MNAD6、如圖，以ABC的AB、AC邊為斜邊向形外作RtABD，和RtACE，且使ABD=ACE=，M是BC的中點(diǎn)，（1）求證：DM=ME；（2）求DME的度數(shù)。MCBDEACNMBA7、如圖，M是ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分BAC，BNAN于點(diǎn)N，且AB=10，BC=15，MN=3，求ABC的周長(zhǎng)。中點(diǎn)問題探究（2）8、如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點(diǎn)。OGFEDCBA求證：（1）BEAC（2）EG=EFDECBA9、如圖，在ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使得BD=AB，E為AB中點(diǎn)，連接CE、CD求證：CD=2EC。10、點(diǎn)O是ABC所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中點(diǎn)D、E、F、G順次連結(jié)起來，設(shè)DEFG能構(gòu)成四邊形。（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O在ABC內(nèi)時(shí)，求證：四邊形DEFG是平行四邊形；（2）當(dāng)O點(diǎn)移動(dòng)到ABC外時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？畫出圖形，說明理由；（3）若四邊形DEFG是矩形，則點(diǎn)O所在的位置滿足什么條件？試說明理由。FEOGDCBA11、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC，C=60，AEBD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，DG是梯形的高。（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；（2）設(shè)AE=x，四邊形DEFG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。GFAEDCBA12、（1）如圖1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CGBC），B、C、G在同一條直線上，M為線段AE的中點(diǎn)，探究：線段MD、MF的關(guān)系。FEGCBAMD（2）若將正方形CGEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，使得正方形CGEF的對(duì)角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上，M為AE的中點(diǎn)，試問：（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說明理由。EMFAGCDAB圖1 圖213、已知：在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O，AF為BAC的平分線，交BD于E，BC于F 求證：OE=FC 2012中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)5圖形的中點(diǎn)問題一.知識(shí)要點(diǎn)：線段的中點(diǎn)是幾何圖形中的一個(gè)特殊點(diǎn)，與中點(diǎn)有關(guān)的問題很多，添加適當(dāng)?shù)妮o助線、恰當(dāng)?shù)乩弥悬c(diǎn)是處理中點(diǎn)問題的關(guān)鍵。涉及中點(diǎn)問題的幾何問題，一般常用下列定理或方法：(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;(2)三角形中位線定理；(3)等腰三角形三線合一的性質(zhì)；(4)倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形（或平行四邊形）；(5)平行四邊形的性質(zhì)與判定.二.例題精選1、若一點(diǎn)是直角三角形斜邊的中點(diǎn)或等腰三形底邊的中點(diǎn)，則常過中點(diǎn)作中線，應(yīng)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”性質(zhì)或“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)。例1.如圖，已知ABC中，B =90，AB=BC,D在AB上,E在BC上，BD=CE , M是AC的中點(diǎn)，求證：DEM是等腰直角三角形.提示：連結(jié)BM,證明BDMCEM,得DM=ME，DMB=EMC,則DME=,得MDM為等腰直角三角形2、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常應(yīng)用“三角形的中位線定理”,若有一點(diǎn)是三角形一邊的中點(diǎn)或梯形一腰的中點(diǎn)，則常過中點(diǎn)作中位線。例2.如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線分別交MN的延長(zhǎng)線于E、F求證：DENF提示：連結(jié)AC，作AC中點(diǎn)G，連結(jié)MG，NG。則MG=NG，MGBC，NGAD。MGNF,GNM=DEN,MGN=GNM.DENF3、若有三角形的中線或過中點(diǎn)的線段，則通常加倍延長(zhǎng)中線或過中點(diǎn)的線段，以構(gòu)造兩個(gè)三角形全等。例3.已知：如圖2，AD為ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：AC=BF提示：延長(zhǎng)AD至G，使DG=AD，連結(jié)BG，則BDGCDA，AC=BG=BF4、遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想或構(gòu)造“X字型”全等三角形.例4.如圖，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長(zhǎng)分別是2和3，且點(diǎn)B，C，G在同一直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，連結(jié)MF，則MF的長(zhǎng)為提示：延長(zhǎng)AD、FM交于點(diǎn)H，則AH=EF=3，DH=1=DF，F(xiàn)H=MF=5、有關(guān)面積的問題中遇到中點(diǎn)，常用“等底等高的兩個(gè)三角形面積相等”的性質(zhì)。例5.如圖所示，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G，則=_提示：連接BG， E是線段AB的中點(diǎn)， SAEG= SBEG=x，SBGF= SGCF=y，設(shè)AB=2a，BC=2b，=2a2b=4ab，根據(jù)題意，得：2 y +x=BCBE=ab，2x+y=BABF=ab，2x+y=2y+x，即x=y=，S四邊形AGCD=4ab-4x =等于，三.能力訓(xùn)練1.已知AD是ABC的角平分線，AB10，AC6，CNAD于N，且M是BC的中點(diǎn).則MN的長(zhǎng)為_.2.順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得四邊形MNPQ，給出以下6個(gè)命題：若所得四邊形MNPQ為矩形，則原四邊形ABCD為菱形；若所得四邊形MNPQ為菱形，則原四邊形ABCD為矩形；若所得四邊形MNPQ為矩形，則ACBD；若所得四邊形MNPQ為菱形，則AC=BD；若所得四邊形MNPQ為矩形，則BAD=90；若所得四邊形MNPQ為菱形，則AB=AD以上命題中，正確的是()ABCD.3.如圖，在ABC中，DC=4，BC邊上的中線AD=2，AB+AC=3+，則SABC等于()ABCD4.如圖，在ABCD中，BC=2AB，CEAB于E，F(xiàn)為AD的中點(diǎn),AEF=54，則B=.第3題5.ABC中，AB=7,AC=3,則中線AD的取值范圍是_6.如圖，已知ABC中，AB=5，AC=3，BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng).7.如圖，已知ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DGCE，G為垂足求證：(1)G是CE的中點(diǎn)；(2)B=2BCE8.在梯形ABCD中，ABCD，A=90，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點(diǎn)請(qǐng)判斷EC與EB的位置關(guān)系，并寫出推理過程。9.如圖,在ABC中,ABC=2C,ADBC于D,E是AC中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,求證:BF=BD10.如圖,ABC中，角平分線BE與BC邊上的中線AD互相垂直,并且BE=4，AD=6,求AB的長(zhǎng)四.思維拓展11.如圖，四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，AE與BD交于F，且F是BD的中點(diǎn)，O是AC，BD的交點(diǎn)，AF=2EF，AOD的面積是3cm2，求四邊形ABCD的面積12.在圖1，圖2中，ABC和DEC都是等腰直角三角形。ACB=DCE=900，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn).(1)如圖1，點(diǎn)D,E分別在AC,BC的延長(zhǎng)線上，求證：FGH是等腰直角三角形.(2)將圖1中的DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖2，F(xiàn)GH還是等腰直角三角形嗎？若是,給出證明;若不是請(qǐng)說明理由.13.如圖1.在四邊形ABCD中,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N,則BME=CNE(提示：參見例2).問題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF,分別交DC、AB于M、N，判斷OMN的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論。問題二：如圖3，在ABC中，ACAB,D點(diǎn)在AC上，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,若EFC=,連接GD,判斷AGD的形狀并證明.14.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，M是AD的中點(diǎn),點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F，過M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG。（1）設(shè)AE=時(shí)，EGF的面積為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍；（2）P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)。15.如圖1，在等腰梯形中，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，.（1）求點(diǎn)到的距離；（2）點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，過作交折線于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè).當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖2），的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說明理由；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.答案：1.22.B3. D4.725.2AD56.延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE，AE=2AD=22=4. 在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD.AC=BE，BE=AC=3.在ABE中，AE2+BE2=42+32=25=AB2，E=90.BD=.BC=2BD=27. (1)連接DE， 則在RtABD中，DE是斜邊上的中線， DE=BE=DC DGEC G是CE的中點(diǎn)(2） DE=BE B=EDB , EDB=ECD+CED=2ECD B=2BCE8.延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)GE是AD中點(diǎn)，AE=ED，ABCD，CDE=GAE，DCE=AGE，CEDGEA，CE=GE，AG=DC，GB=BC=3，EBEC9.E是AC中點(diǎn), ADBCDE=ECC=EDC=BDFABC=2C=2BDF,BDF=BFD,BF=BD10 .作DH/BE，交AC于點(diǎn)H，DH=1/2BE=2，BE平分ABC，ADBEAF=FD=3BE/DHFE=1/2DH=1BF=3,AB=11.四邊形AFCD是平行四邊形，所以四邊形AFCD的面積是12 cm2。三角形FCD的面積是6 cm2。F是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)BC的面積=DFC的面積=6 cm2。E為BC中點(diǎn)，BEF的面積=BCF面積的一半=3 cm2。又AF=2EF，BFA的面積=BEF的2倍=6 cm2。四邊形ABCD面積= 24 cm212.（1）FHAD且FHAD/2，F(xiàn)GBE且FGBE/2FGFH且FGFHFGH是等腰直角三角形（2）連接AD、BE易證得ACDBCE，ADBE且ADBE，可知FHAD且FHAD/2，F(xiàn)GBE且FGBE/2FGFH且FGFHFGH是等腰直角三角形13.問題一：OM=ON問題二:AGD是直角三角形證明：如圖連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF、HE，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，HFAB，HF=AB/2，1=3同理，HECD，HE=CD/2，2=EFCAB=CDHF=HE，1=2EFC=60，3=EFC=AFG=60，AGF是等邊三角形AF=FD，GF=FD，F(xiàn)GD=FDG=30AGD=90即AGD是直角三角形14、15解:（1）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，即點(diǎn)到的距離為（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀不發(fā)生改變，同理如圖2，過點(diǎn)作于，則在中，的周長(zhǎng)=當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀發(fā)生改變，但恒為等邊三角形當(dāng)時(shí)，如圖3，作于，則類似，是等邊三角形，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，如圖4，這時(shí)此時(shí)，當(dāng)時(shí)，如圖5，則又因此點(diǎn)與重合，為直角三角形此時(shí)，綜上所述，當(dāng)或4或時(shí)，為等腰三角形一.單選題(本大題共8小題， 共80分) 1.(本小題10分) 如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，則AC的長(zhǎng)為() A. 9cm B. 14cm C. 15cm D. 18cm核心考點(diǎn): 平行四邊形的性質(zhì) 相似三角形的判定與性質(zhì) 類倍長(zhǎng)中線 2.(本小題10分) 如圖，在菱形ABCD中，A=100，M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，于點(diǎn)P，則的度數(shù)為() A. 40 B. 45 C. 50 D. 55核心考點(diǎn): 菱形的性質(zhì) 類倍長(zhǎng)中線 直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半 3.(本小題10分) 如圖，正方形ABCD，正方形CGEF的邊長(zhǎng)分別是2，3，且點(diǎn)B，C，G在同一直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，連接FM，則FM的長(zhǎng)為() A. B. C. D. 核心考點(diǎn): 正方形的性質(zhì) 全等三角形的判定與性質(zhì) 類倍長(zhǎng)中線 4.(本小題10分) 如圖，在等腰三角形ABC中，ABC=90，D為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEDF，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F若，則AB的長(zhǎng)為() A. 3 B. 6 C. 9 D. 18核心考點(diǎn): 直角三角形斜邊上的中線 等腰直角三角形 全等三角形的判定與性質(zhì) 5.(本小題10分) 如圖，在矩形ABCD中，BC=3，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，EFBF交AD于點(diǎn)E，連接CE交BF于點(diǎn)G，則EG的長(zhǎng)為() A. B. C. D. 核心考點(diǎn): 勾股定理 相似三角形的判定與性質(zhì) 類倍長(zhǎng)中線 6.(本小題10分) 如圖，在ABC中，BE平分ABC交AC于點(diǎn)E，CF平分ACB交AB于點(diǎn)F，且BE，CF相交于點(diǎn)O，AGBE于點(diǎn)G，AHCF于點(diǎn)H若AB=9，AC=14，BC=18，則GH的長(zhǎng)為() A. B. 5 C. 3 D. 6核心考點(diǎn): 角平分線的性質(zhì) 三角形中位線定理 全等三角形的判定與性質(zhì) 7.(本小題10分) 如圖，ABCD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，若AB=5，CD=3，則EF的長(zhǎng)為() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1核心考點(diǎn): 三角形中位線定理 全等三角形的判定與性質(zhì) 8.(本小題10分) 如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形EFGH在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD所在的平面上移動(dòng)，且始終保持EFAB設(shè)線段CF，DH的中點(diǎn)分別為M，N，則線段MN的長(zhǎng)為() A. B. C. D. 核心考點(diǎn): 梯形中位線 三角形中位線 二.填空題(本大題共2小題， 共20分) 9.(本小題10分) 把一副直角三角板如圖放置，已知E是AB的中點(diǎn)，連接CE，DE，CD，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，連接EF若AB=8，則=_核心考點(diǎn): 直角三角形斜邊上的中線 10.(本小題10分) 如圖，在四邊形ABCD中，AC=8，BD=6，且ACBD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則_核心考點(diǎn): 勾股定理 中點(diǎn)四邊形 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半1、如圖，在銳角三角形ABC中，ADBC于D,E、F、G分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)。 求證：四邊形OEFG是等腰梯形。2、如圖所示，BD、CE是三角形ABC的兩條高，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn) 求證：MNDE3、已知梯形ABCD中，B+C90o，EF是兩底中點(diǎn)的連線，試說明ABAD2EF4、如圖，四邊形ABCD中，DAB=DCB=90o，點(diǎn)M、N分別是BD、AC的中點(diǎn)。MN、AC的位置關(guān)系如何？證明你的猜想。5、過矩形ABCD對(duì)對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作EFAC分別交AB、DC于E、F，點(diǎn)G為AE的中點(diǎn)，若AOG30o 求證：3O