數(shù)值分析-牛頓-科特斯公式

第2章數(shù)值積分與數(shù)值微分,牛頓-科特斯(Newton-Cotes)公式及其復合求積公式,牛頓-科特斯公式,等距節(jié)點的插值型求積公式稱為牛頓-科特斯公式：,取等距節(jié)點：xi=a+ih，i=1,2,n,令x=a+th得：,插值型求積公式,其中,牛頓-科特斯公式（續(xù)）,注：Cotes系數(shù)僅取決于n和i，可通過查表得到。與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間a,b均無關(guān)。,科特斯(Cotes)系數(shù),牛頓-科特斯公式：,幾個常見公式,n=1:,代數(shù)精度=1,梯形求積公式,n=2:,代數(shù)精度=3,拋物線求積公式,Simpson求積公式,n=4:,科特斯(Cotes)求積公式,科特斯系數(shù)表,系數(shù)特點和穩(wěn)定性,科特斯系數(shù)具有以下特點：,(1),(2),(3)當n8時，出現(xiàn)負數(shù)，穩(wěn)定性得不到保證。而且當n較大時，由于Runge現(xiàn)象，收斂性也無法保證。,故一般不采用高階的牛頓-科特斯求積公式。,當n7時，牛頓-科特斯公式是穩(wěn)定的。,牛頓-科特斯公式的代數(shù)精度,定理,當n為偶數(shù)時，牛頓科特斯公式至少有n+1階代數(shù)精度。,證：只要證明當n為偶數(shù)時，公式對f(x)xn+1精確成立。,由插值型求積公式的誤差公式得,作變量代換x=a+th，并將xi=a+ih代入得,再作變量代換t=n-s，得,又,余項,梯形公式的余項,中值定理,Simpson公式的余項,三次Hermite插值,余項的一般形式,定理,(1)若n為偶數(shù)，f(x)Cn+2a,b，則存在(a,b)使得,設(shè)，則有,(2)若n為奇數(shù)，f(x)Cn+1a,b，則存在(a,b)使得,舉例（一）,例：分別用梯形公式和simpson公式計算積分,由simpson公式可得,由梯形公式可得,與精確值0.6321相比得誤差分別為0.0518和0.0002。,復合求積公式,提高積分計算精度的常用兩種方法,用復合公式,用非等距節(jié)點,復合求積公式：將積分區(qū)間分割成多個小區(qū)間，然后在每個小區(qū)間上使用低次牛頓科特斯求積公式。,將a,b分成n等分xi,xi+1，其中節(jié)點,(i=0,1,n),復合梯形公式,復合梯形公式:,余項：,，(a,b),復合simpson公式,復合simpson公式:,余項：,，(a,b),復合科特斯公式,復合cotes公式:,余項：,，(a,b),舉例（二）,解：,例：設(shè)，利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復合梯形公式和復合simpson公式計算積分,h很小時的誤差,i(xi,xi+1),即,同理,收斂速度與誤差估計,例：計算,解：,其中,=3.138988494,其中,=3.141592502,Q:給定精度，如何取n?,例如：要求，如何判斷n=？,?,上例中若要求，則,即：取n=409,通常采取將區(qū)間不斷對分的方法，即取n=2k,上例中2k409k=9時，T512=3.14159202,注意到區(qū)間再次對分時,可用來判斷迭代是否停止。,Q:給定精度，如何取n?,2.3龍貝格算法,梯形法的遞推化龍貝格算法理查森外推加速法,1梯形法的遞推化,方法思路:,復化求積方法可提高求積精度，實際計算時可以將步長逐次分半。在每個子區(qū)間xk,xk+1經(jīng)過二分只增加了一個分點xk+1/2=1/2(xk+xk+1),用復化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為,注意，這里h=(a+b)/n代表二分前的步長。將每個子區(qū)間上的積分值相加得,從而可導出下列遞推公式,1梯形法的遞推化,龍貝格算法,龍貝格積分法是在計算梯形和序列的基礎(chǔ)上應用了線性外推的加速方法，由此構(gòu)成的一種具有超線性收斂的自動積分法,基本思想,根據(jù)復化梯形公式的余項表達式可知,將上式移項整理，可得,可以做這樣的補償,基本思想,同理,由此得到,同理,基本思想,由此法，可得如下三角形數(shù)表,基本思想,樣條插值積分,用三次樣條插值函數(shù)S(x)近似被積函數(shù)f(x)，從而得到樣條插值積分公式。,設(shè)S(xi)mi，則S(x)在xi,xi+1上為滿足以下條件的三次多項式：,，,由三次Hermite插值多項式公式（P.46）可得,樣條插值積分（續(xù)）,于是有,由于S(x)在xi,xi+1上為三次多項式，所以simpson公式精確成立，即,于是得積分公式