分離變量法——數(shù)學(xué)物理定解問題PPT課件

-,1,第二章分離變量法,-,2,2.0預(yù)備知識(shí)常微分方程,-,3,二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,2.0預(yù)備知識(shí)常微分方程,-,4,特征根,(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,兩個(gè)線性無關(guān)的特解,得齊次方程的通解為,齊次方程,特征方程,2.0預(yù)備知識(shí)常微分方程,-,5,(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根,齊次方程的通解為,特解為,(3)有一對(duì)共軛復(fù)根,齊次方程的通解為,特征根為,特解為,2.0預(yù)備知識(shí)常微分方程,-,6,2.0預(yù)備知識(shí)常微分方程,-,7,二階常系數(shù)非齊次線性方程,對(duì)應(yīng)齊次方程,通解結(jié)構(gòu),二階常系數(shù)非齊次線性方程,2.0預(yù)備知識(shí)常微分方程,-,8,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,9,分離變量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。理論依據(jù)：線性方程的疊加原理和Sturm-Liouville理論。基本思想：將偏微分方程的求解化為對(duì)常微分方程的求解,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,10,2.1有界弦的自由振動(dòng),研究?jī)啥斯潭ň鶆虻淖杂烧駝?dòng).,定解問題為：,特點(diǎn):方程齊次,邊界齊次.,-,11,(1)沒有波形的傳播，即各點(diǎn)振動(dòng)相位與位置無關(guān)，按同一方式隨時(shí)間振動(dòng)，可統(tǒng)一表示為;,(2)各點(diǎn)振幅隨點(diǎn)而異，而與時(shí)間無關(guān)，用X(x)表示,所以駐波可用表示。,駐波的特點(diǎn)：,端點(diǎn)會(huì)引起波的反射，弦有限長(zhǎng)，波在兩端點(diǎn)之間往返反射。兩列反向行進(jìn)的同頻率的波形成駐波。,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,12,2.1有界弦的自由振動(dòng),設(shè)且不恒為零，代入方程和邊界條件中得,由不恒為零，有：,取參數(shù),-,13,.,利用邊界條件,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,14,則,特征值問題,分三種情形討論特征值問題的求解,函數(shù)X(x)稱為特征函數(shù),2.1有界弦的自由振動(dòng),-,15,2.1有界弦的自由振動(dòng),由邊值條件,(i)方程通解為,(ii)時(shí)，通解,由邊值條件得,C1=C2=0從而，無意義.,無意義,-,16,2.1有界弦的自由振動(dòng),由邊值條件,從而,即,(iii）時(shí)，通解,故,而,得,-,17,2.1有界弦的自由振動(dòng),再求解T：,其解為,所以,疊加,.,-,18,2.1有界弦的自由振動(dòng),將展開為Fourier級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得,代入初始條件得：,定解問題的解是Fourier正弦級(jí)數(shù)，這是在x0和x=l處的第一類齊次邊界條件決定的。,-,19,再求解T：,其解為,所以,疊加,.,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,20,將展開為Fourier級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得,代入初始條件得：,2.1有界弦的自由振動(dòng),定解問題的解是Fourier正弦級(jí)數(shù)，這是在x0和x=l處的第一類齊次邊界條件決定的。,-,21,（特征值問題）,齊次邊界條件,（特征函數(shù)）,分離變量法圖解,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,22,則無窮級(jí)數(shù)解,為如下混合問題的解,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,23,弦上各點(diǎn)的頻率和初位相都相同，因而沒有波形的傳播現(xiàn)象。,弦上各點(diǎn)振幅因點(diǎn)而異,在處，振幅永遠(yuǎn)為0,二、解的物理意義,特點(diǎn),最大振幅,頻率,初位相,u(x,t)是由無窮多個(gè)振幅、頻率、初位相各不相同的駐波疊加而成。,n1的駐波稱為基波,n1的駐波叫做n次諧波.,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,24,例1設(shè)有一根長(zhǎng)為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦做微小橫向振動(dòng)時(shí)的位移，其中與弦的材料和張力有關(guān).,解設(shè)位移函數(shù)為，則需要求解下列定解問題,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,25,因此，所求的解為：,=,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,26,解：令,得,化簡(jiǎn):,例2：研究?jī)啥俗杂砂舻淖杂煽v振動(dòng)問題.,第二類邊界條件,引入?yún)?shù)得,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,27,2.1有界弦的自由振動(dòng),得C1=C2=0從而，無意義,分離變量：,時(shí)，,由邊值條件,-,28,(ii)時(shí),(iii)時(shí),則而,由邊值條件,由邊值條件,從而,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,29,本征值,本征函數(shù),2.1有界弦的自由振動(dòng),T的方程,其解為,-,30,所以,故,代入初始條件:,將展開為傅立葉余弦級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得,2.1有界弦的自由振動(dòng),-,31,2.2有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題,-,32,例1細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題,長(zhǎng)為l的細(xì)桿，設(shè)與細(xì)桿線垂直截面上各點(diǎn)的溫度相等，側(cè)面絕熱,x=0端溫度為0，x=l端熱量自由散發(fā)到周圍介質(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0，初始溫度為求此桿的溫度分布。,解：定解問題為,2.2有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題,-,33,得本征問題,2.2有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題,-,34,當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),由得,由得故,即,令,有,函數(shù)方程,2.2有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題,-,35,由圖1看出，函數(shù)方程有成對(duì)的無窮多個(gè)實(shí)根,故本征值為：,2.2有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題,-,36,2.2有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題,對(duì)應(yīng)的本征函數(shù),的方程：,解為,故,由初始條件得,可以證明,函數(shù)系在上正交，,且模值,-,37,（二）利用邊界條件,得到特征值問題并求解,（三）將特征值代入另一常微分方程，得到,（四）將疊加，利用初始條件確定系數(shù),（一）將偏微分方程化為常微分方程,（方程齊次）,分離變量法解題步驟,（邊界條件齊次）,2.2有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題,-,38,分離變量法適用范圍：偏微分方程是線性齊次的，并且邊界條件也是齊次的。其求解的關(guān)鍵步驟：確定特征函數(shù)和運(yùn)用疊加原理。,注,2.2有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題,-,39,總結(jié)：端點(diǎn)邊界條件與特征值，特征函數(shù)的關(guān)系,2.2有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題,-,40,練習(xí)：求下列定解問題的解,其中,2.2有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題,-,41,2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,-,42,2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,1.矩形域上拉普拉斯方程的邊值問題,例1矩形薄板穩(wěn)恒狀態(tài)下溫度分布.設(shè)薄板上下底面絕熱，一組對(duì)邊絕熱，另一組對(duì)邊的溫度分別為零攝氏度和，求穩(wěn)恒狀態(tài)下薄板的溫度分布。,定解問題為：,解,-,43,再利用x=0和x=a處的齊次邊界條件得,故,當(dāng)時(shí)，,2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,-,44,2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,當(dāng)時(shí)，,將代入有解：,考慮邊界條件（y方向上），有,解得,比較系數(shù),-,45,所以解為,作為例子取，可求得,于是,2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,-,46,考察一個(gè)半徑為r0的圓形薄板穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布問題,設(shè)板的上下兩面絕熱,圓周邊界上的溫度已知為,求穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布規(guī)律。,2.圓域上的拉普拉斯方程的邊值問題,2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,-,47,采用平面極坐標(biāo)。,令,2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,-,48,分離變量,代入方程得,齊次偏微分方程化為兩個(gè)常微分方程:,（一）將偏微分方程化為常微分方程,由可知，,又圓內(nèi)各點(diǎn)的溫度有界，因而,2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,-,49,（二）利用條件,確定特征值問題并求解,得到兩個(gè)常微分方程的定解問題,(1),(2),2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,先求哪一個(gè)？,先求(1)啊!,可以確定特征值啊!,為什么？,-,50,1)時(shí)，無非零解；,特征值,特征函數(shù),以為周期,必須是整數(shù),2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,-,51,（三）將特征值代入另一常微分方程，得,得到方程通解,滿足有界性條件的通解,2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,-,52,2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,-,53,（四）將疊加,利用邊界條件確定系數(shù),滿足周期性和有界性條件的通解為:,利用邊界條件，得,由此可以確定系數(shù),2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,-,54,注:經(jīng)過化簡(jiǎn),方程的解可以表示為,稱為圓域內(nèi)的泊松公式.,2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題,-,55,2.4非齊次方程的解法,-,56,2.4非齊次方程的解法,(I),非齊次振動(dòng)方程定解問題,特征函數(shù)法,-,57,令,其中,(1),(2),2.4非齊次方程的解法,-,58,令,為待定函數(shù).,并將按特征函數(shù)系展為級(jí)數(shù),其中,(3),(4),(1),2.4非齊次方程的解法,-,59,將(3),(4)代入(1)得,兩端比較,將(3)代入初始條件,2.4非齊次方程的解法,-,60,常數(shù)變易法,所以,2.4非齊次方程的解法,-,61,例在環(huán)形區(qū)域內(nèi)求解下列定解問題,解考慮極坐標(biāo)變換:,2.4非齊次方程的解法,-,62,定解問題可以轉(zhuǎn)化為:,相應(yīng)的齊次問題的特征函數(shù)系為:,2.4非齊次方程的解法,-,63,于是可以設(shè)原問題的解為:,代入方程，整理得,2.4非齊次方程的解法,-,64,比較兩端和的系數(shù)可得,2.4非齊次方程的解法,-,65,由邊界條件，得,所以,2.4非齊次方程的解法,-,66,由邊界條件，可知,滿足的方程是齊次歐拉方程，其通解的形式為,2.4非齊次方程的解法,-,67,下面求.,方程的通解為,由端點(diǎn)的條件，得,原問題的解為,2.4非齊次方程的解法,-,68,2.5非齊次邊界條件的處理,-,69,2.5非齊次邊界條件的處理,處理非齊次邊界條件問題的基本原則是:選取一個(gè)輔助函數(shù),通過函數(shù)之間的代換:使得對(duì)新的未知函數(shù)邊界條件為齊次的.,-,70,例1振動(dòng)問題,（I）,解：,取,故,2.5非齊次邊界條件的處理,-,71,代入(I),得的定解問題(II),令,2.5非齊次邊界條件的處理,-,72,如果仍取的線性函數(shù)作為，則有,此時(shí)除非，否則這兩式互相矛盾。,當(dāng)x0和x=l滿足第二類邊界條件,應(yīng)取,2.5非齊次邊界條件的處理,-,73,例定解問題,其中A,B為常數(shù).,解:令,2.5非齊次邊界條件的處理,-,74,代入方程，得,選滿足,它的解為,2.5非齊次邊界條件的處理,-,75,于是滿足的方程為：,2.5非齊次邊界條件的處理,-,76,利用分離變量法，求解得,其中,從而，原定解問題的解為,2.5非齊次邊界條件的處理,-,77,一.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.原則:邊界條件的表達(dá)式最簡(jiǎn)單.二.若邊界條件是非齊次的,引進(jìn)輔助函數(shù)把邊界條件化為齊次的。三.對(duì)于齊次邊界條件、非齊次方程的定解問題，可將問題分解為兩個(gè),其一是方程齊次,并具有原定解條件的定解問題(分離變量法)；其二是具有齊次定解條件的非齊次方程的定解問題(特征函數(shù)法).,一般的定解問題的解法,2.5非齊次邊界條件的處理,-,78,例求下列定解問題的解,其中為常數(shù)。,解1）邊界條件齊次化，令,2.5非齊次邊界條件的處理,-,79,于是滿足如下定解問題,2）將問題分解為兩個(gè)定解問題。設(shè),2.5非齊次邊界條件的處理,-,80,2.5非齊次邊界條件的處理,-,81,3）求解問題(I),(II)。,首先，利用分離變量法求解問題(I)。,特征值及相應(yīng)的特征函數(shù),2.5非齊次邊界條件的處理,-,82,則,利用初始條件確定系數(shù),計(jì)算可得,2.5非齊次邊界條件的處理,-,83,其次，利用特征函數(shù)法求解問題(II),將按問題（I）的特征函數(shù)系進(jìn)行傅立葉展開,代入問題（II）的方程及初始條件，得,2.5非齊次邊界條件的處理,-,84,問題轉(zhuǎn)化為求解下列常微分方程的初值問題,解得,所以,2.5非齊次邊界條件的處理,-,85,4）綜合上述結(jié)果,得到原問題的解,2.5非齊次邊界條件的處理,-,86,對(duì)于二維拉普拉斯方程的邊值問題而言,應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域的形狀適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系,使得在此坐標(biāo)系下邊界條件的表達(dá)方式最簡(jiǎn)單,便于求解.例如,對(duì)于圓域、圓環(huán)可以采用極坐標(biāo)。應(yīng)當(dāng)指出,只有當(dāng)求解區(qū)域非常規(guī)范時(shí)，才可以應(yīng)用分離變量法求解拉普拉斯方程的定解問題，或利用特征