三年級等差數列教師版

小學三年級奧數專項練題等差數列【知識要點屋】 1定義：如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個數，這個數列就叫做等差數列。2特點：相鄰兩項差值相等；要么遞增，要么遞減。3名詞：公差，首項，末項，項數 按一定次序排列的一列數叫做數列。數列中的數稱為項，第一個數叫第一項，又叫首項；第二個數叫第二項；最后一個數叫末項。如果一個數列從第二項開始，每一項與它前一項的差都相等，就稱這個數列為等差數列。后項與前項的差就叫做這個數列的公差。如：1，2，3，4，?是等差數列,公差是 1;1，3，5，7，?是等差數列，公差是 2；5，10，15，20，?是等差數列，公差是 5. 由高斯的巧算可知，在等差數列中，由如下規(guī)律：通項公式：末項首項（項數1）公差 第幾項 = 首項+（項數-1）公差；項數公式：項數（末項首項）公差1求和公式：總和（首項末項）項數2 = 平均數項數平均數公式：平均數（首項末項）2() 一個等差數列共有15項，每一項都比它的前一項大3，它的首項是4，那么末項是_；一個等差數列共有13項，每一項都比它的前一項小5，它的第1項是121，那么它的末項是_。 (3)一個等差數列的首項是12，第20項等于392，那么這個等差數列的公差_；第19項_，212是這個數列的第_項。 () 計算下面的數列和： 123423242515913333741(3)37111519232731拓展練習：1、在10和40之間插入四個數，使得這六個數構成一個等差數列。那么應插入哪些數？解答：d=（40-10）(4+1)=6，插入的數是：16、22、28、34。2、一個等差數列的首項是6，第8項是55，公差是（ ）。解答：d=（55-6）（8-1）=73、（1）2、4、6、8、28、30這個等差數列有( )項。解答：（30-2）2+1=15 （2）2、8、14、20、62這個數列共有（ ）項。解答：（62-2）6+1=11（3）11、14、17、20、95、98這個等差數列的項數是（ ）。解答：（98-11）31=30（4）今天是周日，再過78天是周幾？解答：（781）7=112，所以是周一。(5)2，5，8，11，14是按照規(guī)律排列的一串數，第 21 項是多少？【分析與解】此數列為一個等差數列，將第 21 項看做末項。末項=2+（21-1）3=624、計算下面各題： （1）2+5+8+?+23+26+29 = 解 （1）這是一個公差為 3，首項為 2，末項為 29，項數為（29-2）3+1=10 的等差數列求和。 原式=（2+29）102=31102=155 （2）（2+4+6+?+100）-（1+3+5+?+99）=解法一：原式=（2+100）502-（1+99）502=2550-2500=50； 解法二：原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+?+（100-99）=150=50. 說明 兩種解法相比較， 解法一直套著公式，平平淡淡； 解法二從整體上把握了題目的運算結構和數字特點， 運用交換律和結合律把原式轉化成了整齊的結構“1+1+?+1” ，從而解得更巧、更好。（3）12003+22003+32003+?+20012003+20022003+20032003 分析：如果按照原式的順序，先算各個商，再求和，既繁又難。由于除數都相同，被除數組成一個等差數 列：1，2，3，4，?，2001，2002，2003.所以可根據除法的運算性質，先求全部被除數的和，再求商。 解 原式=（1+2+3+?+2002+2003）2003=（1+2003）200322003=1002. 說明 此題解法巧在根據題目特點，運用除法性質進行轉化。計算中又應用乘除混合運算的簡化運算，使整 個解答顯得簡捷明快。 5 、某小學舉辦“迎春杯”數學競賽，規(guī)定前十五名可以獲獎。比賽結果第一名 1 人，第二名并列 2 人， 第三名并列 3 人?第十五名并列 15 人。用最簡便方法計算出得獎的一共又多少人？ 分析：通過審題可知，各個名次的獲獎人數正好組成一個等差數列：1，2，3，?，15.因此，根據求和公 式可以求出獲獎總人數。 解： （1+15）152=16152=120（人）6、 某體育館西側看臺上有 30 排座位，后面一排都比前面一排多 2 個座位，最后一排有 132 個座位。體 育館西側看臺共有多少個座位？ 分析： 要求這 30 個數的和， 必須知道第一排的座位數， 而最后一排的座位數是由第一排座位數加上 （30-1） 2 得出來的，這樣就可以求出第一排的座位數。 解：第一排的座位數為：132-2（30-1）=132-58=74（個） 所以 （74+132）302=206302=3090（個） 7、把比 100 大的奇數從小到大排成一列，其中第 21 個是多少？【分析與解】該數列為等差數列，首項為 101，公差為 2，第 21 個數的項數為 21.101+（21-1）2=141第 5 頁 共 13 頁作業(yè)：1、等差數列求和公式（首項，末項，公差已經知道） 和= 等差數列求末項公式（首項，公差，相數已經知道） 末項= 等差數列項數公式： （首相，公差，末項已知） 項數= 2、 求和： 100+102+104+106+108+110+112+114 = 1+3+5+7+37+39 =（1+3+5+1999）-(2+4+6+8+1998) =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =原式=（1+12）122= 7811+12+13+14+15+16+17+18+19 =原式=（11+19）92= 135100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90 = 原式=（100+90）112= 10453、已知一個等差數列第 9 項等于 131，第 10 項等于 137，這個數列的第 1 項是多少？第 19 項是多少？【分析與解】公差=137-131=6131=首項+（9-1）6所以，首項=83末項（第 19 項）=83+（19-1）6=1914、體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報數。如果冬冬報 17，阿奇報 150，每位同學報的數都比前一位多 7，那么隊伍里一共有多少人？【分析與解】首項=17，末項=150，公差=7項數=（150-17）7+1=205、已知一個等差數列第 8 項等于 50，第 15 項等于 71.請問這個數列的第 1 項是多少？【分析與解】71-50=2121（15-8）=3（公差）50=首項+（8-1）3所以首項=296、一個數列共有 13 項，每一項都比它的前一項小 7，并且末項為 125，求首項是多少？【分析與解】將數列順序進行調整：首項為 125，公差為 7，項數為 13.所以末項（所求的“首項”）=125+（13-1）7=2097、已知等差數列 15，19，23，27443，求這個數列的奇數項之和與偶數項之和的差是多少？【分析與解】公差=19-15=4 項數=（443-15）4+1=108倒數第二項=443-4=439奇數項組成的數列為：15，23，31439，公差為 8，和為（15+439）542=12258偶數項組成的數列為：19，27，35443，公差為 8，和為（19+443）542=12474差為 12474-12258=2168、 自 1 開始，每隔兩個數寫出一個數來，得到的數列為 1,4,7,10,13,求出這個數列前 100 項的和9、影劇院有座位若干排，第一排座位 25 個，以后每排比第一排多 3 個位置，最后一排有 94 個座位，請問，這個影劇院共有多少個座位?10、小紅讀一本書，第一天讀了 30 頁，從第二天起，每天讀的頁數都比前一天多 4 頁，最后 一天讀了 70 頁，剛好讀完，請問這本小說多少頁？11、已知一個等差數列第9項等于131，第10項等于137，這個數列的第1項是多少？第19項是多少？12、已知一個等差數列第8項等于50，第15項等于71.請問這個數列的第1項是多少？【分析與解】71-50=2121（15-8）=3（公差）50=首項+（8-1）3所以首項=2913、體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報數。如果冬冬報17，阿奇報150，每位同學報的數都比前一位多7，那么隊伍里一共有多少人？【分析與解】首項=17，末項=150，公差=7項數=（150-17）7+1=2014、 已知等差數列15，19，23，27443，求這個數列的奇數項之和與偶數項之和的差是多少？【分析與解】公差=19-15=415、建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第 2 層 6 塊磚，第 3 層 10 塊磚，依次每層都比其上面一層多 4 塊磚，已知最下層 2106 塊磚，問中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？【分析與解】項數=（2106-2）4+1=527因此，層數為奇數，中間項為（2+2106）2=1054數列和=中間項項數=1054527=所以中間一層有 1054 塊磚，這堆磚共有 塊。9、把 248 分成 8 個連續(xù)偶數的和，其中最大的那個數是多少？【分析與解】平均數：2488=314 個數：31-1=301 個數：30-6=24末項：24+（8-1）2=38 即：最大的數為 38。10、學校進行乒乓球比賽，每個參賽選手都要和其他所有選手賽 1 場。 （1） （2） 若有 20 人比賽，那么一共要進行多少場選拔賽？ 若一共進行了 78 場比賽，有多少人參加了選拔賽？分析 設 20 個選手分別是 A1,A2,A2,?,A20,我們從選手 A1，開始按順序分析比賽場次： A1 必須和 A2，A3，A4，?，A20 這 19 人各賽一場，共計 19 場； A2 已和 A1 賽過，他只需和 A3，A4，A5，?，A20 這 18 名選手各賽一場，共計 18 場； A3 已和 A1，A2 賽過，他只需與 A4，A5，A6，?，A20 這 17 名選手各賽一場，共計 17 場； 依次類推，最后，A19 只能和 A20 賽一場。 然后對各參賽選手的場次求和即可。 解 （1）這 20 名選手一共需賽 19+18+17+?+2+1=（19+1）192=190（場） 。 （2） 設參賽選手有 n 人，則比賽場次是 1+2