基于Matlab語言的按平面三角形單元?jiǎng)澐值慕Y(jié)構(gòu)有限元程序設(shè)計(jì)

基于Matlab語言的按平面三角形單元?jiǎng)澐值慕Y(jié)構(gòu)有限元程序設(shè)計(jì)專 業(yè)： 建筑與土木工程班 級(jí)： 建工研12-2姓 名： 韓志強(qiáng)學(xué) 號(hào)： 基于Matlab語言的按平面三角形單元?jiǎng)澐纸Y(jié)構(gòu)有限元程序設(shè)計(jì)一、 有限單元發(fā)及Matlab語言概述1. 有限單元法隨著現(xiàn)代工業(yè)、生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展，不斷要求設(shè)計(jì)高質(zhì)量、高水平的大型、復(fù)雜和精密的機(jī)械及工程結(jié)構(gòu)。為此目的，人們必須預(yù)先通過有效的計(jì)算手段，確切的預(yù)測(cè)即將誕生的機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)，在未來工作時(shí)所發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移因此，需要尋求一種簡(jiǎn)單而又精確的數(shù)值分析方法。有限單元法正是適應(yīng)這種要求而產(chǎn)生和發(fā)展起來的一種十分有效的數(shù)值計(jì)算方法。有限元法把一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分解成相對(duì)簡(jiǎn)單的“單元”，各單元之間通過結(jié)點(diǎn)相互連接。單元內(nèi)的物理量由單元結(jié)點(diǎn)上的物理量按一定的假設(shè)內(nèi)插得到，這樣就把一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)從無限多個(gè)自由度簡(jiǎn)化為有限個(gè)單元組成的結(jié)構(gòu)。我們只要分析每個(gè)單元的力學(xué)特性，然后按照有限元法的規(guī)則把這些單元“拼裝”成整體，就能夠得到整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性。有限單元法基本步驟如下：(1)結(jié)構(gòu)離散：結(jié)構(gòu)離散就是建立結(jié)構(gòu)的有限元模型，又稱為網(wǎng)格劃分或單元?jiǎng)澐郑磳⒔Y(jié)構(gòu)離散為由有限個(gè)單元組成的有限元模型。在該步驟中，需要根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何特性、載荷情況等確定單元體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移插值函數(shù)。 (2)單元分析：根據(jù)彈性力學(xué)的幾何方程以及物理方程確定單元的剛度矩陣。(3)整體分析:把各個(gè)單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來，并在單元?jiǎng)偠染仃嚨幕A(chǔ)上確定結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣，形成如下式所示的整體有限元線性方程： 式中，是載荷矩陣, 是整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣, 是節(jié)點(diǎn)位移矩陣。 (4)載荷移置:根據(jù)靜力等效原理，將載荷移置到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上，形成節(jié)點(diǎn)載荷矩陣。(5)邊界條件處理:對(duì)式所示的有限元線性方程進(jìn)行邊界條件處理。 (6)求解線性方程:求解式所示的有限元線性方程，得到節(jié)點(diǎn)的位移。在該步驟中，若有限元模型的節(jié)點(diǎn)越多，則線性方程的數(shù)量就越多，隨之有限元分析的計(jì)算量也將越大。(7)求解單元應(yīng)力及應(yīng)變 根據(jù)求出的節(jié)點(diǎn)位移求解單元的應(yīng)力和應(yīng)變。 (8)結(jié)果處理與顯示 進(jìn)入有限元分析的后處理部分，對(duì)計(jì)算出來的結(jié)果進(jìn)行加工處理，并以各種形式將計(jì)算結(jié)果顯示出。2. Matlab簡(jiǎn)介在用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)，將會(huì)遇到大量的數(shù)值計(jì)算，因而在實(shí)用上是一定要借助于計(jì)算機(jī)和有限元程序，才能完成這些復(fù)雜而繁重的數(shù)值計(jì)算工作。而Matlab是當(dāng)今國(guó)際科學(xué)界最具影響力和活力的軟件。它起源于矩陣運(yùn)算，并已經(jīng)發(fā)展成一種高度集成的計(jì)算機(jī)語言。它提供了強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算，靈活的程序設(shè)計(jì)流程，高質(zhì)量的圖形可視化與界面設(shè)計(jì)，便捷的與其他程序和語言接口的功能。Matlab在各國(guó)高校與研究單位起著重大的作用?！肮び破涫?，必先利其器”。如果有一種十分有效的工具能解決在教學(xué)與研究中遇到的問題，那么Matlab語言正是這樣的一種工具。它可以將使用者從繁瑣、無謂的底層編程中解放出來，把有限的寶貴時(shí)間更多地花在解決問題中，這樣無疑會(huì)提高工作效率。 目前，Matlab已經(jīng)成為國(guó)際上最流行的科學(xué)與工程計(jì)算的軟件工具，現(xiàn)在的Matlab已經(jīng)不僅僅是一個(gè)“矩陣實(shí)驗(yàn)室”了，它已經(jīng)成為了一種具有廣泛應(yīng)用前景的全新的計(jì)算機(jī)高級(jí)編程語言了，有人稱它為“第四代”計(jì)算機(jī)語言，它在國(guó)內(nèi)外高校和研究部門正扮演著重要的角色。Matlab語言的功能也越來越強(qiáng)大，不斷適應(yīng)新的要求提出新的解決方法。可以預(yù)見，在科學(xué)運(yùn)算、自動(dòng)控制與科學(xué)繪圖領(lǐng)域Matlab語言將長(zhǎng)期保持其獨(dú)一無二的地位。為此，本例采用Matlab語言編程，以利用其快捷強(qiáng)大的矩陣數(shù)值計(jì)算功能。二、 問題描述一矩形薄板，一邊固定，承受150kN集中荷載，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖及按平面三角形單元?jiǎng)澐值挠邢拊Ｐ蛨D如下所示。材料參數(shù)：彈性模量；泊松比：；薄板厚度。在本例中，所取結(jié)構(gòu)模型及數(shù)據(jù)主要用于程序設(shè)計(jì)理論分析，與工程實(shí)際無關(guān)。三、 參數(shù)輸入：?jiǎn)卧獋€(gè)數(shù)NELEM=4 節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)NNODE=6受約束邊界點(diǎn)數(shù)NVFIX=2 節(jié)點(diǎn)荷載個(gè)數(shù)NFORCE=1彈性模量YOUNG=2e8 泊松比POISS=0.2 厚度THICK=0.002 單元節(jié)點(diǎn)編碼數(shù)組LNODS =節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組COORD =節(jié)點(diǎn)力數(shù)組FORCE =4 0 -150約束信息數(shù)組FIXED =以上數(shù)值數(shù)據(jù)為程序運(yùn)行前輸入的初始數(shù)據(jù)，存為“.txt”文本格式，同時(shí)必須放在Matlab工作目錄下，路徑不對(duì)程序不能自動(dòng)讀取指定初始文件，運(yùn)行出錯(cuò)。初始數(shù)據(jù)文本文件輸入格式如下圖：四、 Matlab語言程序源代碼：1. 程序中變量說明NNODE 單元節(jié)點(diǎn)數(shù) NPION 總結(jié)點(diǎn)數(shù)NELEM 單元數(shù) NVFIX 受約束邊界點(diǎn)數(shù)FIXED 約束信息數(shù)組 NFORCE 節(jié)點(diǎn)力數(shù)FORCE 節(jié)點(diǎn)力數(shù)組 COORD 結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組 LNODS 單元定義數(shù)組YOUNG 彈性模量 POISS 泊松比THICK 厚度 B 單元應(yīng)變矩陣(3*6) D 單元彈性矩陣(3*3) S 單元應(yīng)力矩陣(3*6)A 單元面積 ESTIF 單元?jiǎng)偠染仃嘇STIF 總體剛度矩陣 ASLOD 總體荷載向量 ASDISP 節(jié)點(diǎn)位移向量 ELEDISP 單元節(jié)點(diǎn)位移向量STRESS 單元應(yīng)力 FP1 數(shù)據(jù)文件指針2. Matlab語言程序代碼%*%初始化及數(shù)據(jù)調(diào)用format short e %設(shè)定輸出類型clear %清除內(nèi)存變量FP1=fopen(.txt,rt); %打開輸入數(shù)據(jù)文件，讀入控制數(shù)據(jù)NELEM=fscanf(FP1,%d,1), %單元個(gè)數(shù)（單元編碼總數(shù)）NPION=fscanf(FP1,%d,1), %結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)（結(jié)點(diǎn)編碼總數(shù)）NVFIX=fscanf(FP1,%d,1) %受約束邊界點(diǎn)數(shù)NFORCE=fscanf(FP1,%d,1), %結(jié)點(diǎn)荷載個(gè)數(shù)YOUNG=fscanf(FP1,%e,1), %彈性模量POISS=fscanf(FP1,%f,1), %泊松比 THICK=fscanf(FP1,%f,1) %厚度LNODS=fscanf(FP1,%d,3,NELEM) %單元定義數(shù)組（單元結(jié)點(diǎn)號(hào)）%相應(yīng)為單元結(jié)點(diǎn)號(hào)（編碼）、按逆時(shí)針順序輸入COORD=fscanf(FP1,%f,2,NPION) %結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組 %坐標(biāo)：x，y坐標(biāo)（共NPOIN組）FORCE=fscanf(FP1,%f,3,NFORCE) %結(jié)點(diǎn)力數(shù)組（受力結(jié)點(diǎn)編號(hào), x方向,y方向）FIXED=fscanf(FP1,%d,3,NVFIX) %約束信息（約束點(diǎn)，x約束，y約束） %有約束為1，無約束為0%*%生成單元?jiǎng)偠染仃嚥⒔M成總體剛度矩陣ASTIF=zeros(2*NPION,2*NPION); %生成特定大小總體剛度矩陣并置0%*for i=1:NELEM%生成彈性矩陣D D= 1 POISS 0; POISS 1 0; 0 0 (1-POISS)/2*YOUNG/(1-POISS2)%*%計(jì)算當(dāng)前單元的面積A A=det(1 COORD(LNODS(i,1),1) COORD(LNODS(i,1),2); 1 COORD(LNODS(i,2),1) COORD(LNODS(i,2),2); 1 COORD(LNODS(i,3),1) COORD(LNODS(i,3),2)/2%*%生成應(yīng)變矩陣B for j=0:2 b(j+1)= COORD(LNODS(i,(rem(j+1),3)+1),2)-COORD(LNODS(i,(rem(j+2),3)+1),2); c(j+1)=-COORD(LNODS(i,(rem(j+1),3)+1),1)+COORD(LNODS(i,(rem(j+2),3)+1),1); end B=b(1) 0 b(2) 0 b(3) 0;. 0 c(1) 0 c(2) 0 c(3);. c(1) b(1) c(2) b(2) c(3) b(3)/(2*A);B1( :,:,i)=B;%*%求應(yīng)力矩陣S=D*BS=D*B; ESTIF=B*S*THICK*A; %求解單元?jiǎng)偠染仃?a=LNODS(i,:); %臨時(shí)向量,用來記錄當(dāng)前單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào) for j=1:3 for k=1:3 ASTIF(a(j)*2-1):a(j)*2,(a(k)*2-1):a(k)*2) =ASTIF(a(j)*2-1):a(j)*2,(a(k)*2-1):a(k)*2)+ESTIF(j*2-1:j*2,k*2-1:k*2); %根據(jù)節(jié)點(diǎn)編號(hào)對(duì)應(yīng)關(guān)系將單元?jiǎng)偠确謮K疊加到總剛%度矩陣中 end end end%*%將約束信息加入總體剛度矩陣（對(duì)角元素改一法） for i=1:NVFIX if FIXED(i,2)=1 ASTIF(:,(FIXED(i,1)*2-1)=0; %一列為零 ASTIF(FIXED(i,1)*2-1),:)=0; %一行為零 ASTIF(FIXED(i,1)*2-1),(FIXED(i,1)*2-1)=1; %對(duì)角元素為1 end if FIXED(i,3)=1 ASTIF( :,FIXED(i,1)*2)=0; %一列為零 ASTIF(FIXED(i,1)*2,:)=0; %一行為零 ASTIF(FIXED(i,1)*2 ,FIXED(i,1)*2)=1; %對(duì)角元素為1 end end%*%生成荷載向量 ASLOD(1:2*NPION)=0; %總體荷載向量置零 for i=1:NFORCE ASLOD(FORCE(i,1)*2-1):FORCE(i,1)*2)=FORCE(i,2:3); end%*%求解內(nèi)力 ASDISP=ASTIFASLOD %計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移向量 ELEDISP(1:6)=0; %當(dāng)前單元節(jié)點(diǎn)位移向量 for i=1:NELEM for j=1:3 ELEDISP(j*2-1:j*2)=ASDISP(LNODS(i,j)*2-1:LNODS(i,j)*2); %取出當(dāng)前單元的節(jié)點(diǎn)位移向量 end i STRESS=D*B1(:, :, i)*ELEDISP %求內(nèi)力 end fclose(FP1); %關(guān)閉數(shù)據(jù)文件五、 程序運(yùn)行結(jié)果NELEM = 4NPION = 6NVFIX = 2NFORCE = 1YOUNG = POISS = 2.0000e-001THICK = 2.0000e-003LNODS = 1 2 6 2 3 4 2 4 5 2 5 6COORD = 0 0 1 0 2 0 2 1 1 1 0 1FORCE = 4 0 -150FIXED = 1 1 1 6 1 1D = 2.0833e+008 4.1667e+007 0 4.1667e+007 2.0833e+008 0 0 0 8.3333e+007A = 5.0000e-001D = 2.0833e+008 4.1667e+007 0 4.1667e+007 2.0833e+008 0 0 0 8.3333e+007A = 5.0000e-001D = 2.0833e+008 4.1667e+007 0 4.1667e+007 2.0833e+008 0 0 0 8.3333e+007A = 5.0000e-001D = 2.0833e+008 4.1667e+007 0 4.1667e+007 2.0833e+008 0 0 0 8.3333e+007A = 5.0000e-001ASDISP = 0 0 -8.0607e-004 -1.5848e-003 -1.0281e-003 -4.4727e-003 1.1937e-003 -4.6947e-003 8.6670e-004 -1.8880e-003 0 0（說明：以上12個(gè)ASDISP輸出結(jié)果數(shù)據(jù)表示節(jié)點(diǎn)位移向量，即各節(jié)點(diǎn)分別在X，Y方向上產(chǎn)生的位移。）i = 1STRESS = -1.6793e+005 -3.3586e+004 -1.3207e+005i = 2STRESS = -5.5503e+004 -5.5503e+004 -5.5503e+004i = 3STRESS = 5.5503e+004 -4.9526e+004 -9.4497e+004i = 4STRESS = 1.6793e+005 -2.7040e+004 -1.7932e+004（說明：以上四組STRESS輸出結(jié)果數(shù)據(jù)表示單元應(yīng)力SX,SY,SXY，i為單元號(hào)。）六、 ANSYS建模比較分析利用ANSYS有限元分析軟件，完全按照前面Matlab程序設(shè)計(jì)的各項(xiàng)條件參數(shù)以及單元?jiǎng)澐址绞浇NSYS模型，其求解結(jié)果與以上程序計(jì)算結(jié)果比較，驗(yàn)證程序是否正確。ANSYS模型節(jié)點(diǎn)單元如下圖所示：ANSYS模型求解變形圖如下所示：ANSYS求解節(jié)點(diǎn)位移結(jié)果列表顯示如下：（單位：m）PRINT U NODAL SOLUTION PER NODE* POST1 NODAL DEGREE OF FREEDOM LISTING * THE FOLLOWING DEGREE OF FREEDOM RESULTS ARE IN THE GLOBAL COORDINATE SYSTEM NODE UX UY UZ USUM 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 -0.80607E-03-0.15848E-02 0.0000 0.17780E-02 3 -0.10281E-02-0.44727E-02 0.0000 0.45893E-02 4 0.11937E-02-0.46947E-02 0.0000 0.48441E-02 5 0.86670E-03-0.18880E-02 0.0000 0.20774E-02 6 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 MAXIMUM ABSOLUTE VALUES NODE 4 4 0 4 VALUE 0.11937E-02-0.46947E-02 0.0000 0.48441E-02ANSYS求解單元應(yīng)力結(jié)果列表顯示如下：（單位：KN/m2）PRINT S ELEMENT SOLUTION PER ELEMENT* POST1 ELEMENT NODAL STRESS LISTING * THE FOLLOWING X,Y,Z VALUES ARE IN GLOBAL COORDINATES ELEMENT= 1 PLANE182 NODE SX SY SZ SXY SYZ 1 -0.16793E+06 -33586. 0.0000 -0.13207E+06 0.0000 2 -0.16793E+06 -33586. 0.0000 -0.13207E+06 0.0000 6 -0.16793E+06 -33586. 0.0000 -0.13207E+06 0.0000 ELEMENT= 2 PLANE182 NODE SX SY SZ SXY SYZ 2 -55503. -55503. 0.0000 -55503. 0.0000 3 -55503. -55503. 0.0000 -55503. 0.0000 4 -55503. -55503. 0.0000 -55503. 0.0000 ELEMENT= 3 PLANE182 NODE SX SY SZ SXY SYZ 2 55503. -49526. 0.0000 -94497. 0.0000 4 55503. -49526. 0.0000 -94497. 0.0000 5 55503. -49526. 0.0000 -94497. 0.0000 ELEMENT= 4 PLANE182 NODE SX SY SZ SXY SYZ 2 0.16793E+06 -27040. 0.0000 -17932. 0.0000 5 0.16793E+06 -27040. 0.0000 -17932. 0.0000 6 0.16793E+06 -27040. 0.0000 -17932. 0.0000 結(jié)論通過比較Matlab語言設(shè)計(jì)程序運(yùn)行結(jié)果和ANSYS建模分析結(jié)果可知，兩種方式算出的結(jié)果完全一致，說程序設(shè)計(jì)正確。所以本程序適用于按三角形單元?jiǎng)澐值钠矫娼Y(jié)構(gòu)有限元分析。format short eclearFP1=fopen(LinearTriangleElement of Thin plate.txt,rt);NELEM=fscanf(FP1,%d,1)NPION=fscanf(FP1,%d,1)NVFIX=fscanf(FP1,%d,1)NFORCE=fscanf(FP1,%d,1)YOUNG=fscanf(FP1,%e,1)POISS=fscanf(FP1,%f,1)THICK=fscanf(FP1,%f,1)LNODS=fscanf(FP1,%d,3,NELEM)COORD=fscanf(FP1,%f,2,NPION)FORCE=fscanf(FP1,%f,3,NFORCE)FIXED=fscanf(FP1,%d,3,NVFIX)ASTIF=zeros(2*NPION,2*NPION); %生成特定大小總體剛度矩陣并置0for i=1:NELEM%生成彈性矩陣DD= YOUNG/(1-POISS2)*1 POISS 0;POISS 1 0;0 0 (1-POISS)/2%計(jì)算當(dāng)前單元的面積AA=det(1 COORD(LNODS(i,1),1) COORD(LNODS(i,1),2);1 COORD(LNODS(i,2),1) COORD(LNODS(i,2),2);1 COORD(LNODS(i,3),1) COORD(LNODS(i,3),2)/2%生成應(yīng)變矩陣Bfor j=0:2b(j+1)= COORD(LNODS(i,(rem(j+1),3)+1),2)-COORD(LNODS(i,(rem(j+2),3)+1),2);c(j+1)=-COORD(LNODS(i,(rem(j+1),3)+1),1)+COORD(LNODS(i,(rem(j+2),3)+1),1);endB=b(1) 0 b(2) 0 b(3) 0;.0 c(1) 0 c(2) 0 c(3);.c(1) b(1) c(2) b(2) c(3) b(3)/(2*A);B1( :,:,i)=B;%求應(yīng)力矩陣S=D*BS=D*B;ESTIF=B*S*THICK*A;a=LNODS(i,:);for j=1:3for k=1:3ASTIF(a(j)*2-1):a(j)*2,(a(k)*2-1):a(k)*2)=ASTIF(a(j)*2-1):a(j)*2,(a(k)*2-1):a(k)*2)+ESTIF(j*2-1:j*2,k*2-1:k*2);endendend%將約束信息加入總體剛度矩陣for i=1:NVFIXif FIXED(i,2)=1ASTIF(:,(FIXED(i,1)*2-1)=0;ASTIF(FIXED(i,1)*2-1),:)=0;ASTIF(FIXED(i,1)*2-1),(FIXED(i,1)*2-1)=1;endif FIXED(i,3)=1ASTIF( :,FIXED(i,1)*2)=0;ASTIF(FIXED(i,1)*2,:)=0;ASTIF(FIXED(i,1)*2 ,FIXED(i,1)*2)=1;endend%生成荷載向量ASLOD(1:2*NPION)=0;for i=1:NFORCEASLOD(FORCE(i,1)*2-1):FORCE(i,1)*2)=FORCE(i,2:3)end%求解內(nèi)力ASDISP=ASTIFASLODELEDISP(1:6)=0;for i=1:NELEMfor j=1:3ELEDISP(j*2-1:j*2)=ASDISP(LNODS(i,j)*2-1:LNODS(i,j)*2);endiSTRESS=D*B1(:, :, i)*ELEDISPendfclose(FP1);format short eclearFP1=fopen(LinearTriangleElement of Thin plate.txt,rt);NELEM=fscanf(FP1,%d,1)NPION=fscanf(FP1,%d,1)NVFIX=fscanf(FP1,%d,1)NFORCE=fscanf(FP1,%d,1)YOUNG=fscanf(FP1,%e,1)POISS=fscanf(FP1,%f,1)THICK=fscanf(FP1,%f,1)LNODS=fscanf(FP1,%d, NELEM,3)COORD=fscanf(FP1,%f, NPION,2)FORCE=fscanf(FP1,%f, NFORCE,3)FIXED=fscanf(FP1,%d, NVFIX,3)ASTIF=zeros(2*NPION,2*NPION); %生成特定大小總體剛度矩陣并置0for i=1:NELEM%生成彈性矩陣DD= YOUNG/(1-POISS2)*1 POISS 0;POISS 1 0;0 0 (1-POISS)/2%計(jì)算當(dāng)前單元的面積AA=det(1 COORD(LNODS(i,1),1) COORD(LNODS(i,1),2);1 COORD(LNODS(i,2),1) COORD(LNODS(i,2),2);1 COORD(