函數(shù)極值的求法及其應(yīng)用

目錄摘 要2ABSTRACT2第一章 引言4第二章 一元函數(shù)的極值52.1極值的充分條件52.2幾種特殊函數(shù)的極值8第三章 多元函數(shù)的極值123.1無條件極值133.2條件極值15第四章 函數(shù)極值的應(yīng)用19參考文獻(xiàn)24致謝25函數(shù)極值的求法及其應(yīng)用曾浪數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2013級(jí) 指導(dǎo)教師:羅家貴摘 要：函數(shù)極值問題是我們?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都能常常遇見的問題，自然學(xué)科、工程技術(shù)及生產(chǎn)活動(dòng)、生活實(shí)踐中很多需要解決的問題，都與求函數(shù)極值有關(guān)，而導(dǎo)數(shù)和微積分的重要應(yīng)用之一，就是求函數(shù)極值。本文從參考書中的例子和生活中的實(shí)際問題入手，分別對(duì)一元函數(shù)和多元函數(shù)的極值的求法及其應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)和分析。關(guān)鍵詞：函數(shù)；極值；應(yīng)用The extreme of function of religion and its applicationZeng LangMathematics and applied mathematics professional，college of mathematics andinformation，Grade 2013 Instructor:Luo JiaguiAbstract: Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.Key word: function; the extreme; applicationThe extreme of function of religion and its applicationZeng LangMathematics and applied mathematics professional，college of mathematics andinformation，Grade 2013 Instructor:Luo JiaguiAbstract: Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.Key word: function; the extreme; application第一章 引言函數(shù)極值問題在我們學(xué)習(xí)和生活中都會(huì)常常遇到。那么什么是極值呢？現(xiàn)實(shí)生活中我們常常遇到的如何使用料最省、路徑最短等這樣的問題，就屬于極值問題。在學(xué)習(xí)生活中，我們常常遇到這樣的問題：如證明在圓的所有外切三角形中，正三角形的面積最??；給定某個(gè)特定的函數(shù)，求它在某個(gè)區(qū)間的極值等問題。對(duì)極值問題的研究，在很早以前就有了痕跡。早在古希臘時(shí)，數(shù)學(xué)家們就研究了等周問題。在歐幾里得的名著幾何原本中，實(shí)際上已經(jīng)證明了很多幾何問題。在生活中也存在很多求極值的問題。我們都知道蜂房的構(gòu)造是很吸引人的。十八世紀(jì)初，法國學(xué)者馬拉爾琪曾經(jīng)測量蜂房的尺寸，發(fā)現(xiàn)六角形窩洞的六個(gè)角都有一致的規(guī)律：鈍角等于10928，銳角等于7032。法國物理學(xué)家列奧繆拉由此得到啟發(fā)：蜂房的形狀是不是用料最省，容積最大呢？列奧繆拉去請(qǐng)教巴黎科學(xué)院院士數(shù)學(xué)家克尼格。這位數(shù)學(xué)家計(jì)算的結(jié)果是，要用最少的材料，制作成容積最大的菱形容器，它的角度應(yīng)該是10926和7034。這與蜂房的角度僅差2。蘇格蘭數(shù)學(xué)家馬克勞林又認(rèn)真再計(jì)算一次，得出的結(jié)果竟然和蜂房的實(shí)際角度完全一致。后來發(fā)現(xiàn)，克尼格并沒有錯(cuò)，而是他用的對(duì)數(shù)表印錯(cuò)了。一九六四年二月，著名數(shù)學(xué)家華羅庚在對(duì)北京市中學(xué)生作報(bào)告時(shí)指出，蜂窩的構(gòu)造問題，正確的提法應(yīng)該是：在密峰的身長，腰圍確定的情況下，尖頂六棱柱用料最省。這樣的提法不僅是純粹的空間形式與數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，而且這與生物體有機(jī)體統(tǒng)一起來了。從這里我們可以看到，函數(shù)極值問題聯(lián)系著我們的學(xué)習(xí)和生活。學(xué)習(xí)中遇到的極值問題我們?cè)趯W(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微積分相關(guān)知識(shí)后就可以解決了，生活中的碰到很多的實(shí)際問題都可以先建立起數(shù)學(xué)模型，再轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀償?shù)學(xué)中的問題來解決。第二章 一元函數(shù)的極值 在說函數(shù)極值之前我們先來談?wù)労瘮?shù)。函數(shù)的定義如下:設(shè)給定兩個(gè)變量x和y，其變動(dòng)區(qū)域?yàn)镸和N,如果M中的每一個(gè)x值，總有一個(gè)確定的y值（在N內(nèi)）和它對(duì)應(yīng)，則變量y稱為變量x的函數(shù)。我們從函數(shù)的定義我們可以看到，函數(shù)主要由三部分組成，變量x的取值范圍M，我們稱它為函數(shù)y的定義域，函數(shù)y的取值范圍N，我們稱它為函數(shù)的值域，而函數(shù)y與x之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們一般用fx表示。我們生活中的很多實(shí)際問題可以歸類轉(zhuǎn)化為與函數(shù)有關(guān)的問題。那么首先我們先來了解函數(shù)極值。什么是極值呢？假設(shè)函數(shù)fx在x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果fx0的值小于（或者大于）在x0附近的所有各點(diǎn)的函數(shù)值，那么稱fx0是函數(shù)fx的極小值（或極大值），記作ymax=fx0,(或ymin=fx0),在大學(xué)數(shù)學(xué)里，極值的概念就更為精密了。若函數(shù)y= fx在（a , b）上有定義且連續(xù)，對(duì)于一點(diǎn)x0有某一領(lǐng)域(x0-，x0+)完全含于（a , b）內(nèi)，對(duì)于任意的x(x0-，x0+)，總存在fxfx0，則稱y= fx在x0處取得極大值，如果總存在fxfx0，則稱y= fx在x0處取得極小值。這是最為嚴(yán)格意義上的極值定義即概念。下面我們從書中的定理入手介紹函數(shù)極值的求法。2.1 極值的充分條件我們學(xué)過費(fèi)馬定理知道了如何判別極值，費(fèi)馬定理表述如下：如果函數(shù)f在x0可導(dǎo)，且x0為f的極值點(diǎn)，則fx0=0。這也告訴我們可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)x0取極值的必要條件是fx0=0。定理2.1 ：設(shè)f在點(diǎn)x0連續(xù)，在某鄰域U0x0;上可導(dǎo)。（i）若當(dāng)x(x0-,x0)時(shí)fx0，則在點(diǎn)x0取得極小值。（ii）若當(dāng)x(x0-,x0)時(shí)fx0，當(dāng)x(x0,x0+)時(shí)fx0，則 在點(diǎn)x0取得極大值。評(píng)價(jià)：華東師范大學(xué)版數(shù)學(xué)分析此定理給出了簡單函數(shù)的極值的求法及其判別，下面我們舉幾個(gè)例子。例1 求函數(shù)fx=2x2-4x+1的極值。 解：因?yàn)楹瘮?shù)fx在上有定義且連續(xù)，由題意可以得到 fx=4x-4，令 fx=0得，當(dāng)x1時(shí)，fx0，函數(shù)fx遞減；當(dāng)x1時(shí)，fx0函數(shù)fx遞增。所以函數(shù)fx在x=1 處取得極小值，fxmin=f1=-1分析：此題展示了如何求已知的一元函數(shù)的極值問題，運(yùn)用到的知識(shí)有函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性。我們?cè)谇蠛唵蔚暮瘮?shù)的極值時(shí)，一般可以先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于零，在求出穩(wěn)定點(diǎn)，最后判斷是極大值還是（極小值）。例2 如果函數(shù)fx=2x3+3ax2+3a+2x+3既有極大值，又有極小值，a應(yīng)該滿足什么條件？ 解：由題意可以得到fx=6x2+6ax+3(a+2)，因?yàn)楹瘮?shù)fx有兩個(gè)極值。所以方程6x2+6ax+3a+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以 =b2-4ac=36a2-463a+2=36(a2-2a-4)0，所以求得a-1+5。既a的取值范圍為（-，-1-5）（-1+5，+）.解析：本題在已知函數(shù)fx在有極值的情況下，考察它的導(dǎo)數(shù)的到fx的特性。把極值問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的判別式的問題，這樣我們就跟清楚了。例3 函數(shù)fx=4x1+x2， 求極值。 解： 由題意fx=4（1-x2）（1+x2）2，令fx=0得穩(wěn)定點(diǎn)x=1，列表討論如下：x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)fx-0+0-fx極小值為-2極大值為2由表格我們可以清楚的看到，函數(shù)fx的極小值為fxmin=f-1=-2，極大值為fxmax=f1=2.解析：對(duì)于復(fù)雜函數(shù)求極值，我們可以先求出導(dǎo)函數(shù)和穩(wěn)定點(diǎn)，再列出表格，我們就可以的到極值了?？偨Y(jié)：利用一元函數(shù)極值的第一充分條件求極值很簡單，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)都是一階可導(dǎo)的。那么如果f是二階可導(dǎo)的函數(shù)呢？我們將在下面討論。定理2.2：設(shè)f在x0某領(lǐng)域Ux0;上可導(dǎo)，在 x=x0出二階可導(dǎo)，且fx=0，fx0。（i） 若fx0，則f在x0取得極大值；（ii） 若fx0.因此由定理2.2得x=3為f的極小值點(diǎn)。極小值f3=153.分析：此題解決了一階導(dǎo)數(shù)不能求出函數(shù)極值的問題，若函數(shù)二階可導(dǎo)，我們可以根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，確定函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)取得極大值還是極小值。 如果我們求出二階導(dǎo)數(shù)仍然沒有辦法判別出函數(shù)的極值，那么我們可以借助更高階的導(dǎo)數(shù)來判別。定理2.3： 設(shè)f 在x0的某鄰域存在直到n-1階導(dǎo)函數(shù)，在x0處n階可導(dǎo)，且fkx0=0 (k=0,1,2,n-1), fnx00,則（i） 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f在x0處取得極值，且當(dāng)fnx00，則f在x0取得極小值；（ii） 當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)，f在x0處不取得極值。分析：此定理是定理2的擴(kuò)充。教材沒給出證明。那么證明如下： 證明： 因?yàn)閒x在x0處的n階泰勒公式為: fx=fx0+fxx-x0+12!fx0(x-x0)2+fnn!x-x0n+o(x-x0)n).由于fkx0=0 (k=0,1,2,n-1),所以有：fx-fx0=1n!fnx0+o(1)x-x0n (1)又因?yàn)閒nx00，當(dāng)xUx0;時(shí)，1n!fnx0和1n!fnx0+o(1)是同號(hào)的。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x-x0n不能判斷它的正負(fù)，故不能取得極值；當(dāng)n為偶數(shù)是x-x0n總是正的。所以當(dāng)fnx00時(shí)，f取得極小值。例5 求函數(shù)fx=(x-1)2(x+1)3的極值解：fx=5x4+4x3-6x2-4x+1=(x-1)x+12(5x-1)，令fx=0得穩(wěn)定點(diǎn)x=-1,15,1.又fx=20x3+12x2-12x-4=4(x+1)(5x2-2x-1)，所以f-1=0，x=-1不是fx的極值點(diǎn)；f15=-144250，x=1是fx的極小值點(diǎn)，極小值為f1=0.到這里判定極值的充分條件就說完了。那么我們會(huì)想會(huì)不會(huì)遇到有些函數(shù)不能夠用這些方法呢？答案是肯定的。我們看看下面的函數(shù)。fx=e-2x20 x0 x=0 ，很顯然，我們可以看到函數(shù)fx在x=0的處任意階倒數(shù)都等于0，所以不能用判定極值的充分條件。2.2 幾種特殊函數(shù)的極值 我們中學(xué)階段我們都學(xué)過二次函數(shù)，我們知道一元二次函數(shù)求極值的方法有很多。我們就一起來探討：1.一元二次函數(shù)的一般式為fx=ax2+bx+c (a0)，當(dāng)x=-b2a時(shí)有極值；當(dāng)a0時(shí)，有極小值。而且我們知道一元二次函數(shù)的極值有且只有一個(gè)。我們畫出二次函數(shù)的圖像就知道，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，開口方向向上（或向下），因此它只有一個(gè)頂點(diǎn)，這些不難從圖上看出。 a0 a0 圖2.2.1 圖2.2.2那么我們?nèi)绾蝸砬蟪龆魏瘮?shù)的極值呢？最簡單的方法就是圖像法，從圖像中可以直觀地看到。圖像的最高點(diǎn)就是函數(shù)的極大值，圖像的最低點(diǎn)就是函數(shù)的極小值。下面說說不用畫出函數(shù)圖像就可以求出函數(shù)的極值。（1）配方法： 對(duì)于二次函數(shù)fx=ax2+bx+c (a0)，我們經(jīng)配方的變形后變?yōu)椋?fx=ax+b2a2+4ac-b24a當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)有極小值，fxmin=f-b2a=4ac-b24a.（2）判別式法： 因?yàn)槎魏瘮?shù)的極值只有一個(gè)，我們把函數(shù)式子變形之后再求二次函數(shù)的極值還可以發(fā)現(xiàn)用判別式法：fx=ax2+bx+c (a0)的極值，我們可以把方程y=ax2+bx+c (a0)改寫為：ax2+bx+（c-y）=0 (a0)顯然這是關(guān)于x的一元二次方程。其x必有實(shí)數(shù)根。則判別式: =b2-4a(c-y)0，解出y得：4ay4ac-b2若a0，則y4ac-b24a。（3）導(dǎo)數(shù)法：第一節(jié)已經(jīng)介紹了，這里不再敘述。了解了一元二次函數(shù)的極值的求法后，我們遇到的很多一元函數(shù)都可以利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為與一元二次函數(shù)有關(guān)問題來求解?，F(xiàn)在我們一起來解決下面幾個(gè)實(shí)際問題。例1 求函數(shù)fx=4sinx-cos2x-1的最值。分析：這是有關(guān)三角函數(shù)求最值的問題，很顯然我們都知道我們要把這個(gè)化為如下兩種形式：fx=Asinx+a fx=Acosx+a.但是這個(gè)題我們很難出化解出這樣的形式，那么還有沒有其他的思路呢？解： fx=4sinx-cos2x-1 =4sinx-1-2(sinx)2-1 =2(sinx)2+4sinx-2 =2(sinx)2+2sinx-1 =2sinx+12-4因?yàn)閟inx的值域是-1,1，所以當(dāng)sinx=1，f(x)max=4;當(dāng)sinx=-1，f(x)min=-4分析：本題我們把本屬于求三角函數(shù)的最值問題經(jīng)過恒等變形轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問題，顯然變得一目了然了。例2 求出函數(shù) fx=x2-x+3的極值.解：將函數(shù)配方得fx=x-122+114，所以當(dāng)x=12時(shí)，函數(shù)fx取得極小值，極小值為114.分析：在求二次函數(shù)最值問題一定注意函數(shù)的定義域，以及在區(qū)間中的最值問題.2.形如有理分函數(shù)y=ax2+bx+cax2+bx+c的極值。觀察這種函數(shù)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)是與二次函數(shù)有關(guān)的。將函數(shù)變形為：ay-ayx2+by-byx+cy-cy=0這是關(guān)于x的一元二次方程，若y有極值，則x必有實(shí)數(shù)解。那么關(guān)于x的一元二次方程的判別式：=by-by2-4ay-aycy-cy0解出y的值。從而求函數(shù)的極值。這種方法這是用最高次冪為二次的函數(shù)，因?yàn)槭歉鶕?jù)判別式來討論函數(shù)的值域的問題，因此只能解決最值問題。例3 求函數(shù)y=x2-4x2-2x-3的極值。解：我們把函數(shù)變形為如下一個(gè)關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程：y-1x2-2y.x-3y+4=0 (1)若方程（1）有實(shí)數(shù)解x,則判別式: =4y2-4y-1-3y+4=16y-782+1540, 因此對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都恒成立。即y的值域?yàn)?，+。所以y沒有極值，也沒最值。如圖： 圖2.2.2 例4求函數(shù)y=x2-4x2+2x+3 的最值.解：將函數(shù)變形為1-yx2-y.2x-3y-4=0 .若方程有實(shí)數(shù)解，則=4y2-41-y-3y-4=-5y2-28y+160,解得7-269-5y7+269-5.所以y說我最值就求出來了.3.形如函數(shù)y=mx+nax2+bx+c 的極值.首先，我們要注意此類函數(shù)的定義域，即ax2+bx+c0。我們函數(shù)變形為：y-mx=nax2+bx+c，兩邊同時(shí)平方整理后得到關(guān)于x的一元二次方程：an2-m2x2+bn2+2myx+cn2-y2=0一般的，如果an2-m20，且x有實(shí)數(shù)解。則判別式：=bn2+2my2-4an2-m2cn2-y20解出該不等式的解集就是函數(shù)的值域，就可以求出函數(shù)的極值了。例5 求函數(shù)y=x+x2+3x+2 極值。解： 函數(shù)的定義域?yàn)?，-2U-1，+.將y=x+x2+3x+2 移項(xiàng)后再平方得：3+2yx=y2-2這是關(guān)于x的一次方程，因此不能用判別式求解。很顯然3+2y0，,即y-32.所以x=y2-23+2y，又x-，-2-1，+。所以y2-23+2y-2，y2-23+2y-1.解得y-32.即函數(shù)的值域?yàn)?，-32-32,+.分析：此題利用函數(shù)的定義域解出了函數(shù)的值域，從而知道了函數(shù)的最值。例6求函數(shù)y=x+2x2-5x+2 極值.解：解不等式x2-5x+20.我們可以知道此函數(shù)的定義域?yàn)閥5+172現(xiàn)在把函數(shù)變形為y-x=2x2-5x+2.兩邊同時(shí)平方整理得：3x2+2y-20x+8-y2 （1）由題可知，x有實(shí)數(shù)解。則關(guān)于x的一元二次方程（1）的判別式=2y-202-128-y20解得：y-3,y-2.所以當(dāng)y5+172時(shí)，函數(shù)有最小值-2.第三章 多元函數(shù)的極值 多元函數(shù)可以說是一元函數(shù)的推廣，它和與一元函數(shù)有很多類似的地方，也保留了很多一元函數(shù)所具備的性質(zhì)。而多元函數(shù)的極值問題是學(xué)習(xí)了多元函數(shù)微分學(xué)之后需要學(xué)習(xí)的一個(gè)重要應(yīng)用。它解決了生活中的很多實(shí)際問題。我們先來看看多元函數(shù)的定義。這里我們先從二元函數(shù)開始，n元函數(shù)我們可以類似的推廣。二元函數(shù)的定義是：如果對(duì)于變量x,y的變化區(qū)域內(nèi)的每一對(duì)數(shù)值x,y，依照某種確定的規(guī)律或者法則，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的值z(mì),則稱z是x,y的（二元函數(shù)），記作z=fx,y，或者z=x,y等。 當(dāng)然變量x,y叫做自變量，而自變量x,y的取值范圍叫做函數(shù)的定義域。而與x,y相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所組成的集合，叫做函數(shù)的值域。二元函數(shù)（一般地說多元函數(shù)）在給定區(qū)域上的最大值或最小值可以在該區(qū)域的某一內(nèi)點(diǎn)上達(dá)到，也可以在邊界點(diǎn)達(dá)到。所以多元函數(shù)的極值可以定義為： 設(shè)函數(shù)z=fx,y定義在區(qū)域（G）上，又設(shè)a,b是這區(qū)域的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，若fa,bfa+h,b+h，fa,bfa+h,b+h，其中h,k是任意的。只要h，k充分小，則我們稱函數(shù)z=fx,y在點(diǎn)a,b達(dá)到極大值（極小值）。而a,b稱為極值點(diǎn)。這些都與一元函數(shù)有類似之處，那么多元函數(shù)的極值問題會(huì)不會(huì)也有相似之處呢？下面我們一起來看看如何來求函數(shù)的極值的？3.1 無條件極值 與一元函數(shù)一樣，我們先來看多元函數(shù)極值的必要條件。如果某一點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)，那么它該滿足些什么？定理3.1 若函數(shù)f在點(diǎn)P0x0,y0存在偏導(dǎo)數(shù)，且在P0處取得極值，則有：fxx0,y0=0, fyx0,y0=0反之若函數(shù)f在點(diǎn)P0滿足上式，則稱P0為f的穩(wěn)定點(diǎn)。這里和一元函數(shù)一樣，極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)，而穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。我們知道求一元函數(shù)的極值有很多種方法。那么多元函數(shù)呢？我們就一起來探討吧！ 如果用微分法求函數(shù)的極值，我們要先先求出函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，那么我們求出函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)一定是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)嗎？答案是不一定。判斷是不是函數(shù)的極值點(diǎn)，書上給出了辦法：引進(jìn)一個(gè)矩陣，若f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，我們記HfP0=fxx(P0)fxy(P0)fyx(P0)fyy(P0)=fxxfxyfyxfyyP0它稱為f在點(diǎn)P0的黑塞 Hesse）矩陣。下面這個(gè)定理給出了判斷穩(wěn)定點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn)定理3.2 （二元函數(shù)極值的充分條件） 假設(shè)二元函數(shù)f在某點(diǎn)P0x0,y0的某鄰域UP0上具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且P0是f的穩(wěn)定點(diǎn)。則當(dāng)HfP0是正定矩陣時(shí)，f在點(diǎn)P0取得極小值；當(dāng)HfP0是負(fù)定矩陣時(shí)，f在點(diǎn)P0取得極大值；當(dāng)HfP0是不定矩陣時(shí)，f在點(diǎn)P0不取極值。定理3.2我們改寫成如下的更容易理解的形式，若二元函數(shù)f在點(diǎn)P0x0,y0的某鄰域UP0上具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且P0是f的穩(wěn)定點(diǎn)。則有：（i） 當(dāng)fxx(P00，fxxfyy-fxy2P00時(shí)，f在點(diǎn)P0取得極小值；（ii） 當(dāng)fxx(P00時(shí)，f在點(diǎn)P0取得極大值；（iii） fxxfyy-fxy2P00.所以函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)P00,0處取得極小值。 我們看到我們求二元函數(shù)的極值與一元函數(shù)的極值有類似之處，但是我們發(fā)現(xiàn)我們二元函數(shù)還需要判定函數(shù)的極值點(diǎn)，顯得較為難些，因?yàn)闃O值點(diǎn)有可能不只一個(gè)，而一元函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)。而我們求二元函數(shù)的最值時(shí)慮邊界上的點(diǎn)，較一元函數(shù)也更為復(fù)雜。3.2 條件極值在前面我們求函數(shù)的極值，都是在函數(shù)的定義域內(nèi)來求的，限制條件也只有定義域。那么我們?cè)谏钪杏龅降膶?shí)際問題的限制條件也許不知一個(gè)?？隙鲿?huì)有很多個(gè)，這樣需要我們考慮的就更多了。在很多限制條件下求函數(shù)的極值，我們稱為條件極值。我們先從一個(gè)常規(guī)的例子入手。例如要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的無蓋的長方體水箱，問長，寬，高各是多少時(shí)，其表面積最??？若轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，則可以轉(zhuǎn)化如下：設(shè)長方體的長，寬，高各是x,y,z,在體積V=xyz 一定的情況下，求Sx,y,z=xy+2xz+yz的極小值。那么我們?nèi)绾蝸砬蟪鲞@個(gè)函數(shù)的極小值呢？我們仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)就會(huì)知道，這個(gè)函數(shù)是三元函數(shù)，我們可以利用消元法條件極值變?yōu)闊o條件極值。如下：Sx,z=Vz+2xz+Vx這是關(guān)于x,z的二元函數(shù)的無條件極值問題，利用前面的知識(shí)就可以求解了。那么還有沒有更為簡單的方法呢？這里我們引用教材中的一種不需要依賴消元法就可以求出條件極值的方法：拉格朗日乘數(shù)法：設(shè)f,都為簡單的二元函數(shù)，欲求函數(shù)zx,y=fx,y的極值，其中x,y受條件x,y=0 的限制。若存在某一常數(shù)0，使得在P0處滿足：fxP0+0xP0=0fyP0+0yP0=0P0=0 （1）現(xiàn)在引入輔助變量和輔助函數(shù)Lx,y,=fx,y+x,y，則（1）式可以表示成：Lxx0,y0,0=fxP0+0xP0=0Lyx0,y0,0=fyP0+0yP0=0Lx0,y0=P0=0 （2）這樣就把條件極值問題轉(zhuǎn)化為（2）式的無條件極值了。這里L(fēng)稱為拉格朗日函數(shù)，稱為拉格朗日乘數(shù)。其中拉格朗日函數(shù)Lx1,x2,xn,1,2,m=fx1,x2,xn+k=1mkkx1,x2,xn其中1,2,m為拉格朗日乘數(shù)，因此教材中給出了一下定理：定理3.2 條件x,y=0 的限制下，求函數(shù)zx,y=fx,y 的極值問題，其中f與kk=1,2,.m在區(qū)域D上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。若D的內(nèi)點(diǎn)P0x10,xn0 上述的極值點(diǎn)，且雅可比矩陣：1x11xnnx1mn的秩為m，則存在m個(gè)常數(shù)10,n0，使得x10,xn0，10,n0為拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，即x10,xn0，10,n0為 n+m 個(gè)方程：Lx1=fx1+k=1mkkx1Lxn=fxn+k=1mkknL1=1x1,x2,xn=0Lm=mx1,x2,xn=0的解?，F(xiàn)在我們用這個(gè)方法來求解本節(jié)首先提出的問題：這里所求的拉格朗日的函數(shù)是Lx,y,z,=2xz+yz+xy+xyz-V ,對(duì)函數(shù)L求偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于0得到：Lx=2x+y+yz=0Ly=2z+x+xz=0Lz=2x+y+xy=0L=xyz-V=0 (3)求解方程組（3）的解，得x=y=2z=32V ，=-432V,所以水箱的表面積在容積一定的情況下存在最小值。當(dāng)高為32V2，長和寬為高的2倍時(shí)，表面積最小，Smin=334V2.我們?cè)诳纯聪旅鎺讉€(gè)例子。例1 已知x+y=2 ，求z=y2-2x2 的極值。解法一：z=y2-2x2=2-x2-2x2=-x2-4x+4=-x+22+8所以z22,當(dāng)x=-2，函數(shù)有極大值22，將x=-2帶入x+y=2 得y=4.解法二： 求函數(shù)zx,y=y2-2x2 條件x+y=2 的極值。所以應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法為：Lx,y,=y2-2x2+x+y-2 ,對(duì)L求偏導(dǎo)數(shù)在令其等于0得：Lx=-2xy2-2x2+=0Ly=yy2-2x2+=0L=x+y-2=0解方程組x=-2,y=4,=2,所以當(dāng)x=-2,y=4 時(shí)，z=y2-2x2取得極大值，極大值z(mì)max=22.分析：此題解法一是不容易想到的解法，具有技巧性；而解法二利用拉格朗日乘數(shù)法過程雖然復(fù)雜，但是思路更為清晰，更易讓人理解。因此我們遇到較為復(fù)雜的問題時(shí)我們可以考慮解法二。例2 求函數(shù)fx,y,z=xyz 在條件 x2+y2+z2=1, x+y+z=0 的約束下的極值。解： 作拉格朗日函數(shù)如下：Lx,y,z,=xyx+x2+y2+z2-1+x+y+z ，求L的偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0得：Lx=yz+2z+=0Ly=zx+2y+=0Lz=xy+2z+=0L=x2+y2+z2-1=0L=x+y+z=0由前三式消得：zy-x+2x-y=0xy-z+2z-y=0 ，在消去得：x-yy-zz-x=0 所以求得x=y ，或x=z 或z=y .將x=y帶入條件函數(shù)解得x0+y0+z0=16,16,-26 。由此得出：fx0+y0+z0=618.同樣將x=z 或z=y 帶入條件函數(shù)也是一樣的結(jié)果。由于函數(shù)f在有界閉集x2+y2+z2=1, x+y+z=0 上必有最值。所以fmax=618 , fmin=-618 .分析：此題是典型的利用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值的問題，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)利用常規(guī)的解法很難解出這道題。第四章 函數(shù)極值的應(yīng)用 在前面我們了解了多種函數(shù)極值的求法，那么如何運(yùn)用它們來解決實(shí)際問題呢？ 下面我們從生活中的實(shí)際問題入手。一、 函數(shù)極值在生活中的應(yīng)用例1 現(xiàn)在運(yùn)輸一批貨物從A城運(yùn)往B城，A、B兩城相距BC=akm。已知輪船運(yùn)費(fèi)的價(jià)格是元/km ，火車運(yùn)費(fèi)的價(jià)格是元/km .現(xiàn)在要在運(yùn)河邊上找到一合適的一點(diǎn)M，修建鐵路MB，使得點(diǎn)A到點(diǎn)M再到點(diǎn)B的總運(yùn)費(fèi)最省。分析：此題的關(guān)鍵在于怎樣來尋找點(diǎn)M，怎樣來建立函數(shù)關(guān)系式。因?yàn)镸點(diǎn)是活動(dòng)的，故我們可以設(shè)MC=xkm.這樣我們就可以建立起函數(shù)關(guān)系式了，從而將題目中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為我們可以研究的數(shù)學(xué)問題。 圖4.1 解：設(shè)MC=xkm ，這我們假設(shè)AC=dkm則BM=a2+x2km,所以總運(yùn)費(fèi)fx=a2+x2+d-x求出導(dǎo)數(shù)得fx=2x2a2+x2-,令fx=0得到：x=a2-2 .由題意知負(fù)值不合題意。所以當(dāng)x=a2-2時(shí)，函數(shù)fx有極值。即MC=a2-2km時(shí)，用費(fèi)最省。所以點(diǎn)M該建在距離點(diǎn)Ca2-2km處。例2 我們都熟悉在很多城市中的大廣場上，都有很高的燈柱，這個(gè)燈柱很高，也很亮。那么用我們數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看待的話就轉(zhuǎn)化為在半徑為R的圓形廣場中央0，豎立一頂端P裝有弧光燈的燈柱0P，經(jīng)研究已知底面上某點(diǎn)Q處的照度I與光線的投射角（PQ與底面在Q點(diǎn)處法線的夾角，它等于角OPQ，如圖4.2所示）的余弦成正比，與該出到光源的距離平方成正比，為使廣場邊緣的圓形道路有最大的照度，燈柱的高度應(yīng)為多高合適？ 解：我們?cè)O(shè)燈柱高為h,則燈到廣場邊緣的距離為： 圖4.2l=R2+h2由題意我們?nèi)菀椎玫焦饩€的投射角=arctanRh.故廣場上某點(diǎn)的照度為：I=kcosPQ2=khR2+h232觀察這個(gè)等式我們結(jié)合題意我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這是以I為目標(biāo)函數(shù)，h為自變量（其中k是與光源強(qiáng)度有關(guān)的正的常數(shù)），它是定義域?yàn)?，+的可導(dǎo)函數(shù)。其導(dǎo)數(shù)為：I=kR2-2h2R2+h252令I(lǐng)=0得，目標(biāo)函數(shù)有唯一穩(wěn)定點(diǎn)h=R2.因?yàn)橹挥形ㄒ环€(wěn)定點(diǎn)，根據(jù)題意，可知I的最大值存在，故燈柱的高度應(yīng)取R2.二、 函數(shù)極值在解析幾何中的應(yīng)用 例3 求橢圓x2a2+y2b2=1 的內(nèi)接矩形的面積最大值。分析：首先我們來猜想一下，要使內(nèi)接的矩形面積最大，那么會(huì)不會(huì)是正方形呢？會(huì)不會(huì)與坐標(biāo)軸存在一定的關(guān)系呢？ 事實(shí)證明橢圓內(nèi)接矩形都與坐標(biāo)軸平行，不平行的矩形是不存在的。解法一： 設(shè)Ax,y 是內(nèi)接矩形ABCD在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)。則矩形的長為2x，寬為2y，面積S=4xy .又y=baa2-x2 ,所以S=4xbaa2-x2=4bax2a2-x2 ,又x20,a2-x20, 且x2+a2-x2=a2是定值。所以當(dāng)x2=a2-x2 ，即x=22a 時(shí)。S最大。此時(shí)y=baa2-22a2=22b ,則Smax=4xy=422a22b=2ab.解法二：由上S=4xy 又1=x2a2+y2b22x2a2y2b2=2abxy .（當(dāng)且僅當(dāng)x2a2=y2b2 取等號(hào)）所以xy2ab ,即S2ab ,Smax=2ab.聯(lián)立方程組可求出x,y 的值。解法三： 由上S=4xy，設(shè)橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為asin,bcos，02 ，則：S=4absincos=2absin22ab (當(dāng)且僅當(dāng)sin2=1 時(shí)取等號(hào)。故當(dāng)=4，x=2a2,y=2b2 時(shí)，Smax=2ab.解法四：S=4baxa2-x2.求導(dǎo)得：S=4baa2-x2-x2a2-x2=4baa2-2x2a2-x2 ，令S=0 得：x=22a .又0xa ,故有穩(wěn)定點(diǎn)x=22a 。列表如下：x0,22a22a22a,aS+0-S極大值2ab則當(dāng)x=22a ，y=22b 時(shí)，Smax=2ab .例4 若四邊形a,b,c,d為定值，證明該四邊形為圓內(nèi)接四邊形時(shí)，面積最大。解：首先我們作圖如下4.3，我們分別設(shè)AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，ABC=x,CDA=y .則可以得到四邊形的面積（可是為目標(biāo)函數(shù)）為： 圖4.3S=12absinx+12cdsiny,0x,0y又因?yàn)锳BC,CDA有共同的一條邊AC，所以由余弦定理得到：a2+b2-2abcosx=c2+d2-2cdcosy由此本題轉(zhuǎn)化為在條件a2+b2-2abcosx=c2+d2-2cdcosy的限制下求目標(biāo)函數(shù)S=12absinx+12cdsiny的極值.因此我們用拉格朗日乘數(shù)法求解如下：首先我們做拉格朗日函數(shù)：L=12absinx+12cdsiny+a2+b2-2abcosx-c2+d2-2cdcosy對(duì)L求偏導(dǎo)數(shù)在令其等于0得：Lx=12abcosx+2absinx=0Ly=12cdcosy-2cdsiny=0L=a2+b2-2abcosx-