第25講　機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用

金版教程一輪復(fù)習(xí)物理（創(chuàng)新版）第25講機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用基礎(chǔ)命題點(diǎn)機(jī)械能守恒的判斷與應(yīng)用1重力做功的特點(diǎn)(1)重力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與初末位置的高度差有關(guān)。(2)重力做功不引起物體機(jī)械能的變化。2重力勢(shì)能(1)定義：物體由于被舉高而具有的能。(2)表達(dá)式：Epmgh。(其中h是相對(duì)于零勢(shì)能面的高度)(3)矢標(biāo)性：重力勢(shì)能是標(biāo)量，正負(fù)表示其大小。3重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系(1)定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能就減少；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能就增加。(2)定量關(guān)系：重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減少量。即WG(Ep2Ep1)Ep。4重力勢(shì)能的特點(diǎn)(1)系統(tǒng)性：重力勢(shì)能是物體和地球所共有的。(2)相對(duì)性：重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取有關(guān)，但重力勢(shì)能的變化與參考平面的選取無(wú)關(guān)。5彈性勢(shì)能(1)定義：物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能。(2)大?。簭椈傻膹椥詣?shì)能的大小與彈簧的形變量及彈簧的勁度系數(shù)有關(guān)，彈簧的形變量越大，勁度系數(shù)越大，彈簧的彈性勢(shì)能越大。(3)彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系類似于重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系，用公式表示：WEp。6機(jī)械能守恒定律(1)機(jī)械能：動(dòng)能和勢(shì)能統(tǒng)稱為機(jī)械能，其中勢(shì)能包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能。(2)機(jī)械能守恒定律：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變。(3)常用的三種表達(dá)式守恒角度轉(zhuǎn)化角度轉(zhuǎn)移角度表達(dá)式E1E2或Ek1Ep1Ek2Ep2EkEp或Ek增Ep減EAEB或EA增EB減物理意義系統(tǒng)初狀態(tài)機(jī)械能的總和與末狀態(tài)機(jī)械能的總和相等系統(tǒng)減少的勢(shì)能等于系統(tǒng)增加的動(dòng)能若系統(tǒng)由A、B兩部分組成，則A部分物體機(jī)械能的增加量與B部分物體機(jī)械能的減少量相等注意事項(xiàng)應(yīng)用時(shí)應(yīng)選好重力勢(shì)能的零勢(shì)能面，且初、末狀態(tài)必須用同一零勢(shì)能面計(jì)算勢(shì)能應(yīng)用時(shí)可不選零勢(shì)能面而直接計(jì)算初、末狀態(tài)的勢(shì)能差常用于解決兩個(gè)或多個(gè)物體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒問題7機(jī)械能守恒的條件(1)只有重力做功，只發(fā)生動(dòng)能和重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化。如自由落體運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)等。(2)只有系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，只發(fā)生動(dòng)能和彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化。如在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)的物體碰到一個(gè)彈簧，和彈簧相互作用的過(guò)程中，對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，機(jī)械能守恒。(3)只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，只發(fā)生動(dòng)能、彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化。如自由下落的物體落到豎直的彈簧上，和彈簧相互作用的過(guò)程中，對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，機(jī)械能守恒。(4)除受重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力外，還受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代數(shù)和為零。如物體在沿斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，其拉力的大小與摩擦力的大小相等，在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其機(jī)械能守恒。8機(jī)械能是否守恒的三種判斷方法(1)利用機(jī)械能的定義判斷：若物體動(dòng)能、勢(shì)能之和不變，機(jī)械能守恒。(2)利用守恒條件判斷。(3)利用能量轉(zhuǎn)化判斷：若物體系統(tǒng)與外界沒有能量交換，物體系統(tǒng)內(nèi)也沒有機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒。9含彈簧類機(jī)械能守恒問題兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體與彈簧組成的系統(tǒng)相互作用的過(guò)程，具有以下特點(diǎn)：(1)若只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。(2)如果系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體除彈簧彈力外所受合力為零，則當(dāng)彈簧伸長(zhǎng)至最長(zhǎng)或壓縮至最短時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢(shì)能最大；當(dāng)彈簧為自然長(zhǎng)度時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)彈簧某一端的物體具有最大速度，例如彈簧振子振動(dòng)過(guò)程中的情形。10機(jī)械能守恒定律應(yīng)用注意(1)機(jī)械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，而是看是否只有重力或彈力做功。(2)對(duì)于一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況，除非題目特別說(shuō)明，否則機(jī)械能必定不守恒。(3)機(jī)械能守恒時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)軌跡可以是曲線也可以是直線，力可以是恒力也可以是變力。(4)在研究單個(gè)物體與地球構(gòu)成的系統(tǒng)時(shí)，通常用守恒觀點(diǎn)和轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)，轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)不用選取零勢(shì)能面。1教材母題(人教版必修2 P67T4)以下說(shuō)法是否正確？如果正確，說(shuō)出一種可能的實(shí)際情況；如果不正確，說(shuō)明這種說(shuō)法為什么錯(cuò)。A物體受拉力作用向上運(yùn)動(dòng)，拉力做的功是1 J，但物體重力勢(shì)能的增加量不是1 J。B物體受拉力作用向上勻速運(yùn)動(dòng)，拉力做的功是1 J，但物體重力勢(shì)能的增加量不是1 J。C物體運(yùn)動(dòng)，重力做的功是1 J，但物體重力勢(shì)能的增加量不是1 J。D沒有摩擦?xí)r物體由A沿直線運(yùn)動(dòng)到B，克服重力做的功是1 J，有摩擦?xí)r物體由A沿曲線運(yùn)動(dòng)到B，克服重力做的功大于1 J。變式子題(多選)下列說(shuō)法正確的是()A物體受拉力作用向上運(yùn)動(dòng)，拉力做的功是1 J，但物體重力勢(shì)能的增加量可能不是1 JB物體受拉力作用向上勻速運(yùn)動(dòng)，拉力做的功是1 J，但物體重力勢(shì)能的增加量可能不是1 JC物體運(yùn)動(dòng)，重力做的功是1 J，物體重力勢(shì)能的增加量一定是1 JD沒有摩擦?xí)r物體由A沿直線運(yùn)動(dòng)到B，克服重力做的功是1 J，有摩擦?xí)r物體由A沿曲線運(yùn)動(dòng)到B，克服重力做的功大于1 J答案AC解析重力勢(shì)能的變化只與重力做功有關(guān)，與其他力做功無(wú)關(guān)，重力做了多少正功，重力勢(shì)能就減少多少，重力做了多少負(fù)功，重力勢(shì)能就增加多少，故A、C正確；物體受拉力向上勻速運(yùn)動(dòng)，拉力做的功是1 J，由動(dòng)能定理知重力做的功是1 J，則物體重力勢(shì)能的增加量一定是1 J，B錯(cuò)誤；重力對(duì)物體做功，與物體運(yùn)動(dòng)的初末位置有關(guān)，與物體運(yùn)動(dòng)路徑和其他力做功無(wú)關(guān)，故有摩擦?xí)r物體由A沿曲線運(yùn)動(dòng)到B，克服重力做的功還是1 J，D錯(cuò)誤。2(多選)如圖所示，A、B兩球質(zhì)量相等，A球用不能伸長(zhǎng)的輕繩系于O點(diǎn)，B球用輕彈簧系于O點(diǎn)，O與O點(diǎn)在同一水平面上，分別將A、B球拉到與懸點(diǎn)等高處，使繩和輕彈簧均處于水平，彈簧處于自然狀態(tài)，將兩球分別由靜止開始釋放，當(dāng)兩球達(dá)到各自懸點(diǎn)的正下方時(shí)，兩球仍處在同一水平面上，則()A兩球到達(dá)各自懸點(diǎn)的正下方時(shí)，兩球動(dòng)能相等B兩球到達(dá)各自懸點(diǎn)的正下方時(shí)，A球動(dòng)能較大C兩球到達(dá)各自懸點(diǎn)的正下方時(shí)，B球動(dòng)能較大D兩球到達(dá)各自懸點(diǎn)的正下方時(shí)，A球受到向上的拉力較大答案BD解析A球機(jī)械能守恒，B球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A球下落過(guò)程中重力勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，B球下落過(guò)程中重力勢(shì)能一部分轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，另一部分轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，因A、B兩球質(zhì)量相等，下落的高度相等，故在最低點(diǎn)時(shí)A球動(dòng)能比B球大，故A、C錯(cuò)誤，B正確；由Tmg，可知在最低點(diǎn)A球受到的拉力比B球大，故D正確。3如圖所示，在地面上以速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上。若以海平面為零勢(shì)能面，不計(jì)空氣阻力，則下列說(shuō)法中正確的是()A物體到達(dá)海平面時(shí)的重力勢(shì)能為mghB重力對(duì)物體做的功為mghC物體在海平面上的動(dòng)能為mvmghD物體在海平面上的機(jī)械能為mv答案C解析物體到達(dá)海平面時(shí)位于零勢(shì)能面上，重力勢(shì)能為零，A錯(cuò)誤；物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程下落了h高度，重力做功mgh，B錯(cuò)誤；根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mghmvmv2，則物體在海平面上的機(jī)械能(或動(dòng)能)為E機(jī)mv2mghmv，C正確，D錯(cuò)誤。4(2019北京市西城區(qū)高三上學(xué)期期末)把一定質(zhì)量的小球放在豎立的彈簧上，并把小球往下按至A位置，如圖甲所示。迅速松手后，彈簧把小球彈起，小球升至最高位置C(圖丙)，途中經(jīng)過(guò)位置B時(shí)彈簧正好恢復(fù)原長(zhǎng)(圖乙)。彈簧質(zhì)量和空氣阻力均可忽略。下列說(shuō)法正確的是()AA到C的過(guò)程，小球的機(jī)械能守恒BA到B的過(guò)程，小球的動(dòng)能一直變大CA到B的過(guò)程，小球動(dòng)能的增加量小于彈簧彈性勢(shì)能的減少量DA到C的過(guò)程，小球重力勢(shì)能的增加量小于彈簧彈性勢(shì)能的減少量答案C解析A到C的過(guò)程，除重力外，彈簧彈力對(duì)小球做正功，小球的機(jī)械能不守恒，故A錯(cuò)誤；小球從A釋放后向上做加速運(yùn)動(dòng)，彈簧彈力減小，當(dāng)彈簧彈力與重力相等時(shí)小球的速度最大，然后彈簧彈力小于重力，小球做減速運(yùn)動(dòng)，A到B的過(guò)程，小球的動(dòng)能先增大后減小，故B錯(cuò)誤；小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A到B的過(guò)程，彈簧減少的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球增加的機(jī)械能，即轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能與重力勢(shì)能，由于小球的重力勢(shì)能增加，因此小球動(dòng)能的增加量小于彈簧彈性勢(shì)能的減少量，故C正確；小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A到C的過(guò)程，彈簧減少的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球的機(jī)械能，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，小球的動(dòng)能為零，彈簧的彈性勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為小球的重力勢(shì)能，因此小球重力勢(shì)能的增加量等于彈簧彈性勢(shì)能的減少量，故D錯(cuò)誤。能力命題點(diǎn)一多物體的機(jī)械能守恒問題1常見多個(gè)物體的機(jī)械能守恒模型兩個(gè)由輕繩或輕桿連接在一起的物體所組成的連接體系統(tǒng)，是機(jī)械能守恒定律應(yīng)用的常考形式，求解的關(guān)鍵是尋找兩物體的速度關(guān)系。兩物體速度關(guān)系和連接方式一般可分為如下三種：模型一：速率相等的連接體模型(1)如圖甲所示的兩物體組成的系統(tǒng)，在釋放B而使A、B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，A、B的速度均沿繩子方向，在相等的時(shí)間內(nèi)A、B運(yùn)動(dòng)的路程相等，則A、B的速率相等。(2)判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒不從做功的角度判斷，而從能量轉(zhuǎn)化的角度判斷，即：如果系統(tǒng)中只有動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。這類題目的典型特點(diǎn)是系統(tǒng)不受摩擦力和空氣阻力作用。(3)根據(jù)系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能等于系統(tǒng)增加的動(dòng)能列方程求解。模型二：角速度相等的連接體模型(1)如圖乙所示的兩物體組成的系統(tǒng)，當(dāng)釋放后A、B在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中相等時(shí)間內(nèi)A、B轉(zhuǎn)過(guò)的角度相等，則A、B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，其線速度的大小與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比。(2)系統(tǒng)機(jī)械能守恒的特點(diǎn)一個(gè)物體的機(jī)械能增加，另一個(gè)物體的機(jī)械能必然減少，機(jī)械能通過(guò)內(nèi)力做功實(shí)現(xiàn)物體間的轉(zhuǎn)移。內(nèi)力對(duì)一個(gè)物體做正功，必然對(duì)另外一個(gè)物體做負(fù)功，且二者代數(shù)和為零。(3)解決角速度相等的連接體問題的三點(diǎn)提醒要注意判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。注意尋找物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用EkEp的形式，即根據(jù)系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能等于系統(tǒng)增加的動(dòng)能列方程求解。(4)對(duì)于輕桿兩端(或兩處)各固定一個(gè)物體，整個(gè)系統(tǒng)繞桿上某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的輕桿模型，題設(shè)中一般忽略空氣阻力和各種摩擦，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩物體的角速度相等，根據(jù)輕桿轉(zhuǎn)軸的位置，可以確定兩物體的線速度是否相等。輕桿對(duì)物體的作用力并不總是沿著輕桿的方向，輕桿能對(duì)物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不守恒。輕桿對(duì)物體做正功，使其機(jī)械能增加，同時(shí)輕桿對(duì)另一物體做負(fù)功，使其機(jī)械能減少，對(duì)于輕桿和物體組成的系統(tǒng)，沒有外力對(duì)系統(tǒng)做功，系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒。模型三：某一方向分速度相等的連接體模型(1)如圖丙所示，A放在光滑斜面上，B穿過(guò)豎直光滑桿PQ下滑，將B的速度v沿繩子和垂直繩子方向分解，如圖丁所示，其中沿繩子的分速度vx與A的速度大小相等。(2)根據(jù)系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能等于系統(tǒng)增加的動(dòng)能列方程求解。2多個(gè)物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題的解題思路(1)首先分析多個(gè)物體組成的系統(tǒng)是否只有重力或彈簧彈力做功，內(nèi)力是否造成了機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，從而判斷系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒。(2)若系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，一個(gè)物體的機(jī)械能增加，則一定有另一個(gè)物體的機(jī)械能減少，且E1E2，或系統(tǒng)的動(dòng)能增加量等于系統(tǒng)的勢(shì)能減少量，即Ek1Ek2(Ep1Ep2)。(2015全國(guó)卷)(多選)如圖，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通過(guò)鉸鏈用剛性輕桿連接。不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g。則()Aa落地前，輕桿對(duì)b一直做正功Ba落地時(shí)速度大小為Ca下落過(guò)程中，其加速度大小始終不大于gDa落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為mg解析當(dāng)a剛釋放時(shí)，兩者的速度都為0，當(dāng)a落地時(shí)，a沿桿的分速度為0，即b最終速度為零，對(duì)系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律可知mghmv，可得a落地時(shí)速度大小為va，B正確；分析可得滑塊b的速度先增加后減小且b的最終速度為0，即輕桿對(duì)b先是推力后是拉力，所以輕桿對(duì)b先做正功，后做負(fù)功，A錯(cuò)誤；當(dāng)輕桿對(duì)b是拉力時(shí)，對(duì)a的拉力斜向下，分析可得此時(shí)a的加速度大于g，C錯(cuò)誤；a落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b的速度最大，此時(shí)桿對(duì)b的作用力為0，這時(shí)b對(duì)地面的壓力大小為mg，D正確。答案BD(1)對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系，繩和桿連接的兩個(gè)物體在沿繩或桿方向速度相等。(3)列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用EkEp或EAEB的形式，且不用選取零勢(shì)能面。列方程時(shí)，選取的表達(dá)角度不同，表達(dá)式也不同，對(duì)參考平面的選取要求也不一定相同。應(yīng)用機(jī)械能守恒定律能解決的問題，應(yīng)用動(dòng)能定理同樣能解決，但其解題思路和表達(dá)式有所不同。1如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)軟輕線連接，跨過(guò)固定在地面上半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的2倍。當(dāng)B位于地面時(shí)，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放，B上升的最大高度是()A2R B. C. D.答案C解析A落地前，A、B兩球構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。如圖所示，設(shè)A質(zhì)量為2m，B質(zhì)量為m，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有2mgRmgR3mv2，A落地后B將以速度v做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，則有mv2mgh，解得hR。故B上升的最大高度為R，C正確。2(多選)如圖所示，物體A、B通過(guò)細(xì)繩及輕質(zhì)彈簧連接在輕滑輪兩側(cè)，物體A、B的質(zhì)量分別為2m、m。開始時(shí)細(xì)繩伸直，用手托著物體A使彈簧處于原長(zhǎng)且A與地面的距離為h，物體B靜止在地面上。放手后物體A下落，與地面即將接觸時(shí)速度大小為v，此時(shí)物體B對(duì)地面恰好無(wú)壓力，不計(jì)一切摩擦及空氣阻力，重力加速度大小為g，則下列說(shuō)法中正確的是()A物體A下落過(guò)程中，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒B彈簧的勁度系數(shù)為C物體A著地時(shí)的加速度大小為D物體A著地時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為mghmv2答案AC解析由題意知，物體A下落過(guò)程中，B一直靜止不動(dòng)，對(duì)于物體A和彈簧組成的系統(tǒng)，只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，則物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故A正確；物體A即將著地時(shí)，物體B對(duì)地面的壓力恰好為零，故彈簧的彈力為Tmg，開始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，由胡克定律知Tkh，則彈簧的勁度系數(shù)為k，故B錯(cuò)誤；物體A著地時(shí)，細(xì)繩對(duì)A的拉力也等于mg，對(duì)A，根據(jù)牛頓第二定律得2mgmg2ma，則a，故C正確；物體A與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有2mghEp彈2mv2，則Ep彈2mghmv2，故D錯(cuò)誤。3有一豎直放置的“T”形架，表面光滑，滑塊A、B分別套在水平桿與豎直桿上，A、B用一根不可伸長(zhǎng)的輕細(xì)繩相連，A、B質(zhì)量相等，且可看做質(zhì)點(diǎn)，如圖所示，開始時(shí)細(xì)繩水平伸直，A、B靜止。由靜止釋放B后，已知當(dāng)細(xì)繩與豎直方向的夾角為60時(shí)，滑塊B沿著豎直桿下滑的速度為v，則連接A、B的繩長(zhǎng)為()A. B. C. D.答案D解析由運(yùn)動(dòng)的合成與分解可知滑塊A和B沿繩方向的速度大小相等，有vAsin60vcos60，解得vAv，滑塊A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)滑塊B下滑的高度為h，有mghmvmv2，解得h，由幾何關(guān)系可知繩長(zhǎng)L2h，故D正確。4質(zhì)量分別為m和2m的兩個(gè)小球P和Q中間用輕質(zhì)桿固定連接，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，在離P球處有一個(gè)光滑固定軸O，如圖所示?，F(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，在Q球順時(shí)針擺動(dòng)到最低位置時(shí)，求：(1)小球P的速度大?。?2)在此過(guò)程中，桿對(duì)小球P做的功。答案(1)(2)mgL解析(1)兩球和桿組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)小球Q擺到最低位置時(shí)P球的速度為v，由于P、Q兩球的角速度相等，Q球的運(yùn)動(dòng)半徑是P球運(yùn)動(dòng)半徑的兩倍，故Q球的速度為2v。由機(jī)械能守恒定律得EkEp，即mv22m(2v)2(2mgLmgL)解得v。(2)桿對(duì)P球做的功等于小球P機(jī)械能的增加量E，即WEmgLmv2mgL。能力命題點(diǎn)二液柱(鏈條)類物體的機(jī)械能守恒問題“液柱”“繩(考慮重力)”“鏈條”“過(guò)山車”等類物體，它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中將發(fā)生形變，其重心位置相對(duì)物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再視為質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理。物體雖然不能看成質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理，但因只有重力做功，物體整體機(jī)械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體各部分的重心位置及其高度變化量，根據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢(shì)能的減少量等于動(dòng)能的增加量列式求解。如圖所示，粗細(xì)均勻，兩端開口的U形管內(nèi)裝有同種液體，管中液柱總長(zhǎng)度為4h，開始時(shí)使兩邊液面高度差為h，后來(lái)讓液體自由流動(dòng)，當(dāng)兩液面高度相等時(shí)，右側(cè)液面下降的速度為()A. B. C. D. 解析液柱移動(dòng)時(shí)，除了重力做功以外，沒有其他力做功，故機(jī)械能守恒。此題等效為原右側(cè)的高的液柱移到左側(cè)(如圖所示)，其重心高度下降了，減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為整柱液體的動(dòng)能，設(shè)液體的總質(zhì)量為4m，則有mg(4m)v2，得v ，A正確。答案A(1)確定物體重力勢(shì)能的變化量時(shí)，既可以根據(jù)整個(gè)物體的重心變化計(jì)算，也可以將物體重力勢(shì)能變化的那部分割補(bǔ)到新位置，采用等效法計(jì)算這部分重力勢(shì)能的變化量(等于整體的重力勢(shì)能變化量)。(2)當(dāng)采用割補(bǔ)等效的方法計(jì)算重力勢(shì)能的變化量時(shí)，要注意系統(tǒng)動(dòng)能的變化量不是割補(bǔ)部分的動(dòng)能變化量，而是整個(gè)物體的動(dòng)能變化量。物體各部分的速度大小在很多情況下是相等的，這種情況下，整個(gè)物體的動(dòng)能為mv2。1如圖所示，一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的柔軟勻質(zhì)鏈條，開始時(shí)靜止在光滑梯形平臺(tái)上，斜面上的鏈條長(zhǎng)為x0，已知重力加速度為g，Lx0)。答案解析鏈條各部分和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)鏈條的總質(zhì)量為m，以平臺(tái)所在位置為零勢(shì)能面，當(dāng)斜面上鏈條長(zhǎng)為x時(shí)，設(shè)鏈條的速度為v，則在此過(guò)程對(duì)鏈條整體由機(jī)械能守恒定律有mgx0sinmv2mgxsin解得v 。2如圖所示，露天娛樂場(chǎng)的空中列車由許多節(jié)完全相同的車廂組成，列車先沿光滑水平軌道行駛，然后滑上一固定的半徑為R的空中圓形光滑軌道，若列車全長(zhǎng)為L(zhǎng)(L2R)，R遠(yuǎn)大于一節(jié)車廂的長(zhǎng)度和高度，那么列車在運(yùn)行到圓形光滑軌道前的速度至少要多大，才能使整個(gè)列車安全通過(guò)固定的圓形軌道(車廂間的距離不計(jì))?答案解析當(dāng)列車進(jìn)入圓形軌道后，其動(dòng)能逐漸減小，重力勢(shì)能逐漸增大，車速逐漸減小，當(dāng)車廂占滿圓形軌道時(shí)列車的速度最小，設(shè)此時(shí)列車的速度為v，列車的質(zhì)量為M，圓軌道上那部分列車的質(zhì)量M2R由機(jī)械能守恒定律可得：MvMv2MgR又因列車運(yùn)行速度最小時(shí)，圓形軌道頂部車廂應(yīng)滿足：mgm，m為圓形軌道頂部車廂的質(zhì)量。聯(lián)立解得：v0 。課時(shí)作業(yè)1(多選)如圖所示，斜面體置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物體由靜止沿斜面下滑，在物體下滑過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()A物體的重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加B斜面體的機(jī)械能不變C斜面體對(duì)物體的彈力垂直于接觸面，不對(duì)物體做功D物體和斜面體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒答案AD解析物體下滑過(guò)程中重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加，A正確；地面光滑，斜面體會(huì)向右運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能增加，機(jī)械能增加，B錯(cuò)誤；斜面體對(duì)物體的彈力垂直于接觸面，與物體的位移并不垂直，彈力對(duì)物體做負(fù)功，C錯(cuò)誤；物體與斜面體組成的系統(tǒng)只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，D正確。2如圖所示，在傾角30的光滑固定斜面上，放有兩個(gè)質(zhì)量分別為1 kg和2 kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B，兩球之間用一根長(zhǎng)L0.2 m的輕桿相連，小球B距水平面的高度h0.1 m，兩球由靜止開始下滑到光滑地面上，不計(jì)球與地面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，g取10 m/s2，則下列說(shuō)法中正確的是()A整個(gè)下滑過(guò)程中A球機(jī)械能守恒B整個(gè)下滑過(guò)程中B球機(jī)械能守恒C整個(gè)下滑過(guò)程中A球機(jī)械能的增加量為 JD整個(gè)下滑過(guò)程中B球機(jī)械能的增加量為 J答案D解析在下滑的整個(gè)過(guò)程中，只有重力對(duì)A、B和輕桿組成的系統(tǒng)做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A球沿斜面滑行時(shí)，桿的彈力對(duì)A、B球做功，所以A、B球各自機(jī)械能不守恒，故A、B錯(cuò)誤；根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：mAg(hLsin)mBgh(mAmB)v2，解得：v m/s，在下滑的整個(gè)過(guò)程中B球機(jī)械能的增加量為mBv2mBgh J，故D正確；A球機(jī)械能的減少量為 J，C錯(cuò)誤。3如圖所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻鐵鏈對(duì)稱掛在一輕質(zhì)小滑輪上，由于某一微小的擾動(dòng)使得鏈條向一側(cè)滑動(dòng)，滑輪離地面足夠高，則鐵鏈完全離開滑輪時(shí)的速度大小為()A. B.C. D.答案C解析鐵鏈向一側(cè)滑動(dòng)的過(guò)程受重力和滑輪彈力的作用，彈力始終與對(duì)應(yīng)各節(jié)鏈條的運(yùn)動(dòng)方向垂直，故彈力不做功，只有重力做功。設(shè)鐵鏈剛好完全離開滑輪時(shí)的速度為v，由機(jī)械能守恒定律有：mv2Ep0，其中鐵鏈重力勢(shì)能的變化量相當(dāng)于滑離時(shí)下半部分的重力勢(shì)能減去滑動(dòng)前左半部分的重力勢(shì)能，如圖所示，即Epmg，解得v，故C正確。4(多選)如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿OB，O端裝有轉(zhuǎn)軸，B端固定一個(gè)質(zhì)量為2m的小球B，OB中點(diǎn)固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，若OB桿從水平位置靜止開始釋放轉(zhuǎn)到豎直位置的過(guò)程中，不計(jì)一切摩擦，下列說(shuō)法中正確的有()AA、B兩球總機(jī)械能守恒B輕桿對(duì)A球做正功，輕桿對(duì)B球做負(fù)功C輕桿對(duì)A球不做功，輕桿對(duì)B球不做功D輕桿對(duì)A球做負(fù)功，輕桿對(duì)B球做正功答案AD解析兩球組成的系統(tǒng)只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，兩球的角速度相等，到達(dá)底端時(shí)，設(shè)A球的速度為v，則B球的速度為2v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mg2mgLmv22m(2v)2，計(jì)算得出v；對(duì)A球運(yùn)用動(dòng)能定理得Wmgmv2，計(jì)算得出WmgL，則輕桿對(duì)A球做負(fù)功；對(duì)B球運(yùn)用動(dòng)能定理得W2mgL2m(2v)2，計(jì)算得出WmgL，則輕桿對(duì)B球做正功。故A、D正確，B、C錯(cuò)誤。5(2019黑龍江高考模擬)如圖所示，一光滑半圓形軌道固定在水平地面上，圓心為O、半徑為R，一根輕橡皮筋一端連在可視為質(zhì)點(diǎn)的小球上，另一端連在距離O點(diǎn)正上方R處的P點(diǎn)。小球放在與O點(diǎn)等高的軌道上A點(diǎn)時(shí)，輕橡皮筋處于原長(zhǎng)?，F(xiàn)將小球從A點(diǎn)由靜止釋放，小球沿圓軌道向下運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)圓軌道的壓力恰好為零。已知小球的質(zhì)量為m，重力加速度為g，則小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()A小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，橡皮筋的彈力等于mgB橡皮筋彈力做功的功率逐漸變大C小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，橡皮筋彈力所做的功等于小球動(dòng)能增加量D小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能的減少量等于橡皮筋彈性勢(shì)能的增加量答案D解析小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可得Fmgm，橡皮筋的彈力Fmgm，故F大于mg，故A錯(cuò)誤；根據(jù)PFvcos可知，開始時(shí)v0，則橡皮筋彈力做功的功率P0，在最低點(diǎn)時(shí)，速度方向與F方向垂直，90，則橡皮筋彈力做功的功率P0，故橡皮筋彈力做功的功率先變大后變小，故B錯(cuò)誤；小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理知，重力做功和橡皮筋彈力所做的功之和等于小球動(dòng)能增加量，故C錯(cuò)誤；小球和橡皮筋組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，知小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能的減少量等于橡皮筋彈性勢(shì)能的增加量，故D正確。6(2019福建省福州市高中畢業(yè)班第二次質(zhì)檢)如圖所示為魚餌自動(dòng)投放器的裝置示意圖，其下部是一個(gè)高度可以調(diào)節(jié)的豎直細(xì)管，上部是四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向。豎直細(xì)管下端裝有原長(zhǎng)為L(zhǎng)0的輕質(zhì)彈簧，彈簧下端與水面平齊，將彈簧壓縮并鎖定，把魚餌放在彈簧上，解除鎖定，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)魚餌獲得速度v0。不考慮一切摩擦，重力加速度取g，調(diào)節(jié)豎直細(xì)管的高度，可以改變魚餌拋出后落水點(diǎn)距管口的水平距離，則該水平距離的最大值為()A.L0 B.2L0C.L0 D.2L0答案A解析設(shè)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)彈簧上端距離水平管口的豎直距離為h，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mghmv2mv，魚餌離開管口后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有hL0gt2，魚餌被平拋的水平距離xvt，聯(lián)立解得x（2L0）L0，所以調(diào)節(jié)豎直細(xì)管的高度時(shí)，魚餌拋出后落水點(diǎn)離管口水平距離的最大值為L(zhǎng)0，A正確。7(2019武漢十一中學(xué)高三?？?(多選)如圖所示，傾角為的光滑斜面固定在水平面上，質(zhì)量分別為mA和mB的物體A和B疊放在一起，它們一起沿斜面下滑，已知重力加速度為g，則在物體A和B沿斜面下滑的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()A物體B對(duì)物體A的摩擦力大小為mAgcos2B物體B對(duì)物體A的支持力大于物體A的重力C物體B的機(jī)械能守恒D物體A克服支持力做的功等于摩擦力對(duì)物體A做的功答案CD解析對(duì)于A、B組成的整體分析，整體具有沿斜面向下的加速度a，將a正交分解為豎直方向分量a1和水平分量a2，如圖所示，對(duì)整體，由牛頓第二定律得(mAmB)gsin(mAmB)a，得agsin，對(duì)A，由牛頓第二定律得，豎直方向上：mAgNmAa1mAgsinsin，水平方向上：fmAa2mAgsincos，則得支持力NmAgmAgsin2mAgcos2mAg，摩擦力fmAgsincos，方向水平向右，故A、B錯(cuò)誤；物體A克服支持力做的功為：WNmAgcos2Lsin，摩擦力對(duì)物體A做的功為：WfmAgsincosLcosmAgcos2Lsin，故B對(duì)A做的總功為零，A對(duì)B做的總功也為零，故只有重力對(duì)B做功，B的機(jī)械能守恒。所以C、D正確。8(2019廣東汕頭高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè))(多選)如圖所示，內(nèi)壁光滑的環(huán)形凹槽半徑為R，固定在豎直平面內(nèi)，一根長(zhǎng)度為R的輕桿，一端固定小球甲，另一端固定小球乙，兩球質(zhì)量均為m。將兩小球放入凹槽內(nèi)，小球乙恰好位于凹槽的最低點(diǎn)，由靜止釋放后()A整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，甲球的速率始終等于乙球的速率B當(dāng)甲、乙兩球到達(dá)同一高度時(shí)，甲球的速率達(dá)到最大值C甲球在下滑過(guò)程，輕桿對(duì)甲球先做正功后做負(fù)功D甲球可沿凹槽下滑到槽的最低點(diǎn)答案ABD解析整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，兩球沿桿方向速度相等，即：v甲cos45v乙sin45，則有：v甲v乙，所以甲球的速率始終等于乙球的速率，故A正確；設(shè)甲球與圓心的連線與豎直方向的夾角為，則乙球與圓心的連線與豎直方向的夾角為90，對(duì)于甲、乙組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律，則有：mgRcosmgR(1sin)mvmv，解得：v甲v乙 ，當(dāng)45時(shí)，即甲、乙兩球到達(dá)同一高度時(shí)，甲球的速率達(dá)到最大值，故B正確；甲球在下滑過(guò)程中，輕桿對(duì)甲球的作用力表現(xiàn)為支持力，力的方向與運(yùn)動(dòng)方向間的夾角始終為135，輕桿對(duì)甲球一直做負(fù)功，故C錯(cuò)誤；假設(shè)甲球能沿凹槽下滑到槽的最低點(diǎn)，則此時(shí)乙球運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的位置，對(duì)于系統(tǒng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得v甲v乙0，故假設(shè)成立，D正確。9(2016全國(guó)卷)(多選)如圖所示，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連?，F(xiàn)將小球從M點(diǎn)由靜止釋放，它在下降的過(guò)程中經(jīng)過(guò)了N點(diǎn)。已知在M、N兩點(diǎn)處，彈簧對(duì)小球的彈力大小相等，且ONMOMN。在小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中()A彈力對(duì)小球先做正功后做負(fù)功B有兩個(gè)時(shí)刻小球的加速度等于重力加速度C彈簧長(zhǎng)度最短時(shí)，彈力對(duì)小球做功的功率為零D小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能等于其在M、N兩點(diǎn)的重力勢(shì)能差答案BCD解析初態(tài)彈簧處于壓縮狀態(tài)，末態(tài)彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，且彈簧彈力大小相等，則彈簧彈力先增大后減小再增大，根據(jù)彈簧彈力與速度方向間的夾角變化可知彈簧彈力對(duì)小球先做負(fù)功再做正功再做負(fù)功，A錯(cuò)誤。小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受重力、彈簧的彈力、桿的彈力，其中桿的彈力始終垂直于桿，彈簧的彈力沿彈簧方向，當(dāng)彈簧與光滑桿垂直時(shí)，小球豎直方向只受重力的作用，加速度為重力加速度；當(dāng)彈簧為原長(zhǎng)時(shí)，小球只受重力作用，小球的加速度也為重力加速度，B正確。當(dāng)彈簧與光滑桿垂直時(shí)，彈簧長(zhǎng)度最短，彈簧彈力與速度垂直，則彈力對(duì)小球做功的功率為零，C正確。M、N兩點(diǎn)彈簧彈性勢(shì)能相等，從M到N小球的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，則小球在N點(diǎn)的動(dòng)能等于其在M、N兩點(diǎn)的重力勢(shì)能差，D正確。10(2019福建寧德高三上學(xué)期期末)(多選)如圖所示，豎直光滑桿固定在地面上，套在桿上的輕質(zhì)彈簧下端固定，將套在桿上的滑塊向下壓縮彈簧(在彈性限度范圍內(nèi))至離地高度h0.1 m處，滑塊與彈簧不拴接?，F(xiàn)由靜止釋放滑塊，通過(guò)傳感器測(cè)量滑塊的速度和離地高度并作出滑塊的Ekh圖象，其中高度從0.2 m上升到0.35 m范圍內(nèi)圖象為直線，其余部分為曲線。滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)，以地面為零勢(shì)能參考面，重力加速度g取10 m/s2，由圖象可知()A輕彈簧原長(zhǎng)為0.2 mB滑塊的質(zhì)量為0.2 kgC彈簧彈性勢(shì)能最大為0.5 JD滑塊機(jī)械能最大為0.5 J答案ABC解析在Ekh圖象中，圖線的斜率表示滑塊所受的合外力，由于高度從0.2 m上升到0.35 m范圍內(nèi)圖象為直線，其余部分為曲線，說(shuō)明滑塊在從0.2 m上升到0.35 m范圍內(nèi)所受作用力為恒力，所以從h0.2 m起，滑塊與彈簧分離，故A正確；在從0.2 m上升到0.35 m范圍內(nèi)，圖線斜率的絕對(duì)值為：kmg2 N，所以m0.2 kg，故B正確；滑塊與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故當(dāng)滑塊上升至最大高度時(shí)，增加的重力勢(shì)能即為彈簧最大彈性勢(shì)能，所以Epmmgh0.210(0.350.1) J0.5 J，故C正確；h0.1 m時(shí)，滑塊具有的重力勢(shì)能為Ep1mgh0.2 J，彈簧的彈性勢(shì)能為Epm0.5 J，滑塊上升到h0.2 m時(shí)與彈簧分離，彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為滑塊的機(jī)械能，此時(shí)滑塊機(jī)械能最大，為Ep1Epm0.7 J，D錯(cuò)誤。11(2016全國(guó)卷)如圖，在豎直平面內(nèi)有由圓弧AB和圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接。AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為。一小球在A點(diǎn)正上方與A相距處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)。(1)求小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比；(2)通過(guò)計(jì)算判斷小球能否沿軌道運(yùn)