2020年高考數(shù)學復習：數(shù)列求和的8種常用方法VIP

求數(shù)列前n項和的8種常用方法一.公式法（定義法）：1.等差數(shù)列求和公式：特別地，當前項的個數(shù)為奇數(shù)時，即前項和為中間項乘以項數(shù)。這個公式在很多時候可以簡化運算；2.等比數(shù)列求和公式：（1），；（2），特別要注意對公比的討論；3.可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；4.常用公式:（1）；（2）；（3）；（4）.例1 已知，求的前項和.解：由由等比數(shù)列求和公式得 1例2 設(shè)，,求的最大值.解：易知 ， 當 ，即時，.二.倒序相加法:如果一個數(shù)列，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法。如：等差數(shù)列的前項和即是用此法推導的，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個.例3 求的值解：設(shè)將式右邊反序得 （反序） 又因為 +得 （反序相加）89 S44.5三.錯位相減法：適用于差比數(shù)列（如果等差，等比，那么叫做差比數(shù)列）即把每一項都乘以的公比，向后錯一項，再對應(yīng)同次項相減，即可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.如：等比數(shù)列的前項和就是用此法推導的. 例5 求和：解：由題可知，的通項是等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè) （設(shè)制錯位）得 （錯位相減）即： 變式 求數(shù)列前項的和.解：由題可知，的通項是等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè) （設(shè)制錯位）得， （錯位相減） 四.裂項相消法:即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限幾項，可求和。這是分解與組合思想（分是為了更好地合）在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 適用于，其中是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。其基本方法是.常見裂項公式：（1），；（的公差為）；（2）.（根式在分母上時可考慮利用分母有理化，因式相消求和）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）常見放縮公式：.例6 求數(shù)列的前項和.解：設(shè) （裂項）則 （裂項求和） 例7 求和.例8 在數(shù)列中，又，求數(shù)列的前項的和.解： （裂項） 數(shù)列的前項和 （裂項求和） 例9 求證：解：設(shè) （裂項） （裂項求和） 原等式成立變式 求.解：五.分組求和法: 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列， 可把數(shù)列的每一項分成多個項或把數(shù)列的項重新組合，使其轉(zhuǎn)化成常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例11 求數(shù)列的前項和：，解：設(shè)將其每一項拆開再重新組合得 （分組）當a1時， （分組求和）當時，.例12 求數(shù)列的前項和.解：設(shè) 將其每一項拆開再重新組合得 （分組） （分組求和）變式 求數(shù)列的前項和.解： 六.并項求和法：在數(shù)列求和過程中，將某些項分組合并后即可轉(zhuǎn)化為具有某種特殊的性質(zhì)的特殊數(shù)列，可將這些項放在一起先求和，最后再將它們求和，則稱之為并項求和.形如類型，可采用兩項合并求.利用該法時要特別注意有時要對所分項數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)進行討論.例13 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：設(shè)Sn cos1+ cos2+ cos3+.+ cos178+ cos179 （找特殊性質(zhì)項）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例14 數(shù)列：，求.解：設(shè)由可得 （找特殊性質(zhì)項） （合并求和）5例15 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì) 得 （合并求和） 10七.利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前項和，是一個重要的方法.例16 求之和.解：由于 （找通項及特征） （分組求和） 例17 已知數(shù)列：的值.解： （找通項及特征） （設(shè)制分組） （裂項） （分組、裂項求和） 變式 求的前項和.解：以上七種方法雖然各有其特點，但總的原則是