廣東省汕頭市潮陽(yáng)南僑中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期周一測(cè)4理2

2020屆第二學(xué)期高三年級(jí)理科數(shù)學(xué)周一測(cè)（4）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，則( )A100 B99 C98 D972等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則( )ABCD3我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？” 意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )A1盞 B3盞C5盞 D9盞4記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若，則的公差為( )A1 B2 C4 D85等比數(shù)列滿足，則( )A21 B42 C63 D846設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則( )ABCD7等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0若成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為( )ABC3 D88已知等比數(shù)列滿足，則( )A2 B1CD9數(shù)列滿足，則( )A2 BCD410設(shè)等比數(shù)列滿足，則( )ABC4 D811設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則( )A3 B4 C5 D612幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，依此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)：且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是( )A440 B330 C220 D110二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分13若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是 14設(shè)等比數(shù)列滿足，則的最大值為 15設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則 16等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則的最小值為 三、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和演算步驟17（本小題滿分10分）為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，記，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，(1)求；(2)求數(shù)列的前1000項(xiàng)和18（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中(1)證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若，求19（本小題滿分12分）已知是遞增的等差數(shù)列，是方程的根(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和20（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和21（本小題滿分12分）為數(shù)列的前項(xiàng)和已知，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和22（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中為常數(shù)(1)證明：；(2)是否存在，使得為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由參考答案一、選擇題1【答案】C【解析】法1：，解得，所以法2：，所以，于是，2【答案】C【解析】由，可得，即，由可得，解得3【答案】B【解析】塔的頂層共有燈盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，由可得4【答案】C【解析】，解得5【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，又因?yàn)?，所以，解得于?【答案】D【解析】法1：，法2：，排除A、B、C7【答案】A【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且成等比數(shù)列，設(shè)公差為，則，即，又因?yàn)?，代入上式可得又因?yàn)?，則，所以8【答案】C【解析】由可得，即，解得，所以，所以9【答案】B【解析】由可得，于是，所以數(shù)列的周期為3，于是10【答案】A【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，設(shè)公比為，則，即，顯然，兩式相除，可得，即，代入可得，所以11【答案】C【解析】，所以法1：由，可得，于是法2：根據(jù)的結(jié)果往前寫，可得，此時(shí)，所以12【答案】A【解析】設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來(lái)的兩項(xiàng)為第2組，再接下來(lái)的三項(xiàng)為第3組，以此類推，于是第組的和為，前組的和為要使前項(xiàng)和為2的整效冪，則應(yīng)等于由可知，于是當(dāng)，即時(shí)，滿足條件，此時(shí)最小整數(shù)二、填空題13【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，有，兩式相減，可得，即當(dāng)時(shí)，有，即于是數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，于是14【答案】64【解析】由，可得，由此可知等比數(shù)列的項(xiàng)依次為，所以的最大值為6415【答案】【解析】由已知得，兩邊同時(shí)除以，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以16【答案】【解析】法1：，解得，所以，于是令，則，于是在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的最小值為法2：是等差數(shù)列，于是，所以，下同法1三、解答題17（本小題滿分10分）【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，可得，所以于是，(2)因?yàn)椋詳?shù)列的前1000項(xiàng)和為18（本小題滿分12分）【證明】(1)用取代的位置，可得，兩式相減，可得，即令，可得，由此可知，于是，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是【解析】(2)由(1)可知，由，可得，即，所以，解得19（本小題滿分12分）【解析】(1)由解得或因?yàn)槭沁f增的等差數(shù)列，所以，所以，(2)，乘以，可得，兩式相減，可得，所以20（本小題滿分12分）【解析】(1)用取代的位置，可得，兩式相減，可得，所以當(dāng)時(shí)，有，滿足該式子，所以的通項(xiàng)公式為(2)，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為21（本小題滿分12分）【解析】(1)當(dāng)時(shí)，有，即，解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，用取代的位置，可得，兩式相減，可得，即，即因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以(2)，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為22（本小題滿分12分）【