《用向量法求直線與平面所成的角》教案

第二講：立體幾何中的向量方法 利用空間向量求直線與平面所成的角大家知道，立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，以往學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，主要采取“形到形”的綜合推理方法，即根據(jù)題設(shè)條件，將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再由線線，線面等關(guān)系確定結(jié)果，這種方法沒(méi)有一般規(guī)律可循，對(duì)人的智力形成極大的挑戰(zhàn)，技巧性較強(qiáng)，致使大多數(shù)學(xué)生都感到束手無(wú)策。高中新教材中，向量知識(shí)的引入，為學(xué)生解決立體幾何問(wèn)題提供了一個(gè)有效的工具。它能利用代數(shù)方法解決立體幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。并且引入向量，對(duì)于某些立體幾何問(wèn)題提供通法，避免了傳統(tǒng)立體幾何中的技巧性問(wèn)題，因此降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，體現(xiàn)了新課程理念。為適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教材改革的需要，需要研究用向量法解決立體幾何的各種問(wèn)題。本文舉例說(shuō)明如何用向量法解決立體幾何的空間角問(wèn)題。以此強(qiáng)化向量的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣，從而達(dá)到提高學(xué)生解題能力的目的。利用向量法求空間角，不需要繁雜的推理，只需要將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)算，方便快捷?？臻g角主要包括線線角、線面角和二面角，下面對(duì)線面角的求法進(jìn)行總結(jié)。教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生學(xué)會(huì)求平面的法向量及直線與平面所成的角的向量方法；2.使學(xué)生能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題；3.使學(xué)生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高.教學(xué)重點(diǎn)求平面的法向量；求解直線與平面所成的角的向量法.教學(xué)難點(diǎn) 求解直線與平面所成的角的向量法.教學(xué)過(guò)程、復(fù)習(xí)回顧一、回顧有關(guān)知識(shí)：1、直線與平面所成的角：（范圍：）思考：設(shè)平面的法向量為，則與的關(guān)系？（圖1）（圖2）據(jù)圖分析可得：結(jié)論：2、用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（化為向量問(wèn)題）（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（進(jìn)行向量運(yùn)算）（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形）、典例分析與練習(xí)例1、如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為，求和所成角的正弦值.分析：直線與平面所成的角步驟： 1. 求出平面的法向量2. 求出直線的方向向量3. 求以上兩個(gè)向量的夾角，(銳角)其余角為所求角ABCA1B1C1xyZD解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 設(shè)平面的法向量為由取，設(shè)和所成角為 和所成角的正弦值.點(diǎn)撥 要注意“直線與平面所成的角”與“直線的方向向量與平面的法向量所成角”之間的關(guān)系，通常求斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其銳角就是斜線和平面所成的角。練習(xí)1：如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求BB1與平面AB1C1所成的角.解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則A(1，0，0)，B(0，0)，B1(0，3)，C1(1，0，3)設(shè)平面AB1C1的一個(gè)法向量為，由令z2，得設(shè)直線BB1與平面AB1C1所成角為，則|cosn，|. 又0， .練習(xí)2：如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，E、F分別是棱的中點(diǎn)求和面EFBD所成的角.解：如圖建立空間坐標(biāo)系，則，設(shè)面的法向量為由 得又記和面所成的角為則 和平面所成的角為、小結(jié)與收