理論力學第三章剛體力學

.,理論力學,電子科技大學物理電子學院付傳技Email:fcj,.,第三章剛體力學,剛體也是一個理想模型，它可以看作是一種特殊的質點組，這個質點組中任何兩個質點之間的距離不變，這使得問題大為簡化，使我們能更詳細地研究它的運動性質，得到的結果對實際問題很有用。我們先研究剛體運動的描述，在建立動力學方程后，著重研究平面平行運動和定點運動。,.,3.2角速度矢量,3.1剛體運動的分析,第三章剛體力學,3.3歐勒角,3.4剛體運動方程與平衡方程,3.5轉動慣量,3.6剛體的平動與繞固定軸的轉動,3.7剛體的平面平行運動,3.8剛體繞固定點的運動,3.9重剛體繞固定點轉動的解,3.10拉莫爾進動,.,3.1剛體運動的分析,1.描寫剛體位置的獨立變量,質點3個變量,質點組3n個變量,.,確定剛體在空間的位置，需要幾個變量？,6個變量可以確定剛體位置,2.剛體運動的分類,平動的獨立變量為三個,1）平動,定軸轉動的獨立變量只有一個,2）定軸轉動,世界最大的摩天輪“倫敦眼”,平面平行運動的獨立變量有三個,3）平面平行運動,定點轉動的獨立變量有三個，其中兩個確定轉動軸的方向，一個確定其它點繞軸轉動的角度。,4）定點轉動,.,Euler定理,定點運動剛體的任何位移都可以通過繞過該定點某軸的一次轉動來實現(xiàn)。,.,5）一般運動(Chasles定理),剛體的最一般位移可以視為其上任意一點的平移加上繞該點的一個轉動，即剛體的一般運動基點的平動繞基點的轉動剛體一般運動的獨立變量有六個,有限轉動不是矢量，它不滿足矢量加法對易律,3.2角速度矢量,1.有限轉動與無限小轉動,.,無限小轉動是矢量，它滿足矢量加法交換律,證明,.,2）轉動后：,1）轉動前：,3）再轉動后：,不計二階微量，則有,交換轉動次序，則有,已知對線位移，有,即,可得,2.角速度矢量,.,角速度的絕對性（即角速度與基點的選取無關）,.,正交變換對于作定點運動的剛體，如何描述其轉軸的取向？一種可行的方法是，以定點O為原點，建立兩個坐標系：一個固定在地球上，稱為空間坐標系或靜止坐標系，另一個固定在剛體上，稱為本體坐標系，也叫隨體坐標系或體軸坐標系。后者可以看作擴展的剛體。本體坐標系相對于空間坐標系的取向就代表了剛體在空間中的取向。,3.3歐勒角,.,.,.,.,轉動矩陣的性質：,.,.,.,.,.,.,.,張量,.,.,.,求證C為一張量,.,.,討論階數(shù)N取幾種特定值的張量,.,.,.,.,.,用9個方向余弦描述剛體的定點轉動引入了冗余的參數(shù)，實際上只需要用3個獨立的參數(shù)就可以確定它在任何一個時刻的位形。在文獻中可以找到多種對這組參量的描述，但最有用的是歐勒角?，F(xiàn)在，我們來引入這些角度，并用它們來表示變換矩陣。,1.歐勒角,節(jié)線ON,進動角,自轉角,章動角,Z軸位置由，角決定,.,.,.,將3個矩陣按照從右到左的順序相乘，便得到從空間系到本體系的變換矩陣,.,.,2.歐勒運動學方程,.,.,1.力系的簡化,3.4剛體運動方程與平衡方程,力的作用線不能隨意移動,力的可傳性原理,.,共點力系的簡化平行四邊形法則,共面非平行力系的簡化力的可傳性原理+平行四邊形法則,平行力系的簡化合力的量值和方向由代數(shù)和確定合力的作用線用力矩關系確定（合力對垂直于諸力的某軸的力矩與諸分力對同一軸線力矩的代數(shù)和相等）,.,力偶矩,.,空間力系的簡化,空間力系可簡化為對某一簡化中心的主矢和主矩,2.剛體運動微分方程,質心的運動方程,對質心的角動量定理,思路將作用在剛體上的力簡化為過質心的力及對質心的力矩。,6個方程正好確定剛體的6個獨立變量,動能定理可作為輔助方程,.,3.剛體平衡方程,對共面力系，有,.,例p171，如圖，求A處的摩擦系數(shù)。,解是共面力系的平衡問題,解出,1.剛體的動量矩,3.5轉動慣量,剛體對O點的動量矩,.,令,有,.,2.剛體的轉動動能,3.轉動慣量,轉動慣量,.,令,回轉半徑,平行軸定理,4.慣量張量和慣量橢球,對質量連續(xù)分布的剛體，轉動慣量,注意剛體繞不同軸轉動，轉動慣量不同,至轉動瞬軸的垂直距離,是否有簡單的計算公式？,.,因為,由,可得,上式也可用慣量張量表出,.,一般說來，慣量張量矩陣的每個元素都是時間的函數(shù)，且與坐標系的選擇有關，但在本體坐標系中這些矩陣元不隨時間變化。,慣量橢球方程,在轉動軸上取線段,Q點的坐標,利用,得到,.,在各種本體坐標系中，有一類特別重要，就是主軸坐標系。慣量張量矩陣在主軸坐標系中簡單地取對角形式。,5.慣量主軸及其求法,.,.,這種使慣量張量矩陣取對角形式的坐標系稱為主軸坐標系，它的3個互相垂直的坐標軸稱為慣量主軸。對角元稱為主轉動慣量。由初始坐標系到主軸坐標系的正交變換稱為主軸變換。,一般坐標系下的慣量橢球,若取橢球三主軸為坐標軸，交叉項消失，得到主軸坐標系下的慣量橢球,動能和角動量簡化為,一般坐標系下的慣量橢球,主軸坐標系下的慣量橢球,.,慣量主軸的求法,從數(shù)學方面看，就是解析幾何里求二次曲面主軸的方法，或者線性代數(shù)里求本征值的方法。,在力學里，對于具有對稱性的均勻剛體，可利用對稱性方便地求出。,x軸對稱(x為主軸),xy面對稱(z為主軸),.,例均勻長方形薄片繞對角線的轉動慣量。p182,解（A）直接用定積分,.,解（B）用(3.5.15)計算,.,解（C）取慣量主軸為坐標軸,.,3.6剛體的平動與繞固定軸的轉動,1.剛體平動,2.定軸轉動,定軸轉動時只有一個變量，用角位移就可以確定剛體位置。,.,定軸轉動動力學方程,機械能守恒,.,例復擺,解運動微分方程,由轉動方程,周期,.,討論等值單擺長,若以O為懸點,振動周期,3.定軸轉動軸上的附加力,剛體作定軸轉動，可看作是AB兩點不動的約束運動，去掉約束代之以約束反力，就可以動量定理和動量矩定理求運動和約束反力。,.,為平衡方程，可求靜約束反力。,為運動方程，可求動約束反力。,要使剛體轉動時軸上沒有附加壓力，要有,該方程組有解的條件是xc,yc,Iyz和Izx同時為零，即重心在轉動軸（慣量主軸）上。,.,例2渦輪可以看作是一個均質圓盤由于安裝不善，渦輪轉動軸與盤面法線成交角1o巳知渦輪圓盤質量為20千克，半徑r=0.2米，重心O在轉軸上，O至兩軸承A與B的距離各為a=b0.5米設軸以12000轉分的角速度勻速轉動時，試求軸承上某一時刻的最大壓力。,.,.,代入數(shù)據得附加壓力,靜壓力為,靜約束反力,動約束反力,平面平行運動剛體中的任一點始終在平行于某固定平面的平面內運動。,3.7剛體的平面平行運動,1.平面平行運動運動學,平面平行運動=基點平動+繞基點的轉動,加速度表達式,P點對O點的絕對加速度,A點相對O點加速度,P點的相對A點加速度,在固定參考系的表示,剛體角速度不為零時，在任一時刻恒有一點的速度為零，稱為轉動瞬心。,2.轉動瞬心,對實驗室坐標系,對固著剛體坐標系,利用轉動瞬心C與剛體上任一點連線與其速度方向垂直，可以用幾何法求瞬心,轉動瞬心的求法,轉動瞬心C在固定平面xy上的軌跡稱為空間極跡，而在薄片上（動平面）的軌跡稱為本體極跡。剛體的運動是本體極跡在空間極跡上的無滑滾動。例如車輪在軌道上的滾動。,.,例1試用轉動瞬心法求橢圓規(guī)尺M點的速度、加速度，并求本體極跡和空間極跡的方程式。,轉動瞬心,空間極跡,本體極跡,解,.,3.平面平行運動動力學,平面平行一般分解為繞過質心C點的軸的轉動和質心C的平動。,若外力只有保守力作功，剛體的機械能守恒,質心平動動能,繞質心軸轉動動能,繞過質心軸的轉動方程,.,例2無滑下滾圓柱體的加速度和約束反力。,解（A）機械能守恒定律,動能,勢能,機械能,求微商，得,實心圓柱體,空心圓柱體,不能求約束反力,質心C點的平動方程：,繞質心C點的轉動方程：,聯(lián)立方程可求得：,解（B）運動定理,剛體定點轉動的例子,3.8剛體繞固定點的運動,陀螺,常平架,.,1.剛體定點轉動運動學,定點轉動的獨立變量有三個，其中兩個確定轉動軸的方向，一個確定其它點繞軸轉動的角度。,定點轉動時，轉動軸的方向隨時間變化，轉動瞬軸在空間描繪的錐面稱空間極面，在剛體內描繪的錐面稱本體極面。,定點轉動時，一個角速度矢量（有三個分量）就足以描述剛體運動。,轉動加速度,向軸加速度,速度,加速度,解：這個是一般運動問題,例B當飛