不等式證明的若干方法

不等式證明的若干方法摘要不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。關(guān)鍵詞 不等式 證明 定義 性質(zhì)一、 不等式的定義及分類(lèi)用不等號(hào)將兩個(gè)解析式連結(jié)起來(lái)所成的式子叫做不等式，不等號(hào)包括“”“”“”“”“”.通常不等式中的數(shù)是實(shí)數(shù)，字母也代表實(shí)數(shù)，不等式的一般形式為（其中不等號(hào)也可以為 中某一個(gè)），兩邊的解析式的公共定義域?yàn)椴坏仁降亩x域.根據(jù)不等號(hào)的不同可以將不等式分為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式.一般地，用純粹的大于號(hào)“”、小于號(hào) “”連接的不等式稱(chēng)為嚴(yán)格不等式，用不小于號(hào)（大于或等于號(hào)“”）、不大于號(hào)（小于或等于號(hào)“”）連接的不等式稱(chēng)為非嚴(yán)格不等式，或稱(chēng)廣義不等式. 根據(jù)不等式成立于否，可以講不等式分為絕對(duì)不等式、矛盾不等式和條件不等式.恒成立的不等式為絕對(duì)不等式，例如：23；恒不成立的不等式為矛盾不等式，例如333；在一定條件下成立的不等式為條件不等式，例如：如果X5，那么X10.不等式既可以表達(dá)一個(gè)命題，也可以表示一個(gè)問(wèn)題.二、不等式證明的若干方法：1、運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)證明由不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，可以論證大量的初等不等式.以下是其中比較常用的不等式的基本性質(zhì)： （1）如果，那么；如果，那么；（對(duì)稱(chēng)性）（2）如果，；那么；（傳遞性） （3）如果，而為任意實(shí)數(shù)或整式，那么；（加法法則） （4） 如果，那么；如果，那么；（乘法法則） （5）如果，,那么；如果，,那么 （6）如果，那么(充分不必要條件) （7）如果，那么（8）如果，那么的次冪的次冪（為正數(shù)）, ,那么的次冪的次冪（為正數(shù)）2、應(yīng)用基本不等式證明其他不等式基本不等式是指已被人們證明了的較為常用的不等式，它常被當(dāng)做定理，用于證明其他的不等式.常用的基本不等式有：（1）、平均值不等式 概念： 、調(diào)和平均數(shù)：、幾何平均數(shù)：、算術(shù)平均數(shù)： 、平方平均數(shù)： 這四種平均數(shù)滿(mǎn)足： （2）、柯西不等式 一般形式 等號(hào)成立條件：，或、均為零. （3）、排序不等式 設(shè)有兩組數(shù) 和 滿(mǎn)足，則有 式中是 的任意一個(gè)排列， 當(dāng)且僅當(dāng) 或 時(shí)成立.以上排序不等式也可簡(jiǎn)記為： 反序和亂序和同序和. （4）、琴生不等式（冪平均） 設(shè)f(x)為凸函數(shù)，則（上凸）.（下凸）.加權(quán)形式為：（上凸） （下凸）其中，且.（5）、貝努利不等式 伯努利不等式的一般式為 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. （6）、切比雪夫不等式切比雪夫不等式有兩個(gè) （1）設(shè)存在數(shù)列和滿(mǎn)足和 那么， （2）設(shè)存在數(shù)列和滿(mǎn)足和那么，常用的基本不等式還有加權(quán)冪平均不等式、赫爾德不等式等. 3、比較法： 比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱(chēng)為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱(chēng)為求商法)。(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“”.其一般步驟為：作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個(gè)整體；變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào)，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論.應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法.例：證明 ；證明： 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立， （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號(hào)）.(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若”.其一般步驟為：作商：將左右兩端作商；變形：化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式；判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1.應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí)，一般使用商值比較法.例：證明 (均為正實(shí)數(shù)，且)4、綜合法 證明不等式時(shí)，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、定理、法則等，逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱(chēng)為綜合法，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：，即從已知逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論.例： 是不全相等的正數(shù)，求證： 證明： 由得，同理b(c2+a2)2abc，c(a2+b2)2abc不全相等，上述三個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，三式相加有：. 5、分析法 證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過(guò)的定理、簡(jiǎn)單事實(shí)或題設(shè)的條件，這種證明的方法稱(chēng)為分析法.其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.其邏輯關(guān)系為：，書(shū)寫(xiě)的模式是：為了證明命題成立，只需證明命題為真，從而有，這只需證明為真，從而又有，這只需證明為真，而已知為真，故必為真.例： 已知且 ，求證：證明：要證，只需證：即證：，即證，只需證已知上式成立，原不等式成立.6、放縮法 證明不等式時(shí)，有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小，使其化繁為簡(jiǎn)，化難為易，達(dá)到證明的目的，這種方法稱(chēng)為放縮法。放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較.放縮法的基本策略有：（1）、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）（2）、先放縮再求和（或先求和再放縮）（3）、先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮）（4）、放大或縮小“因式”；（5）、逐項(xiàng)放大或縮小（6）、固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)；（7）、利用基本不等式放縮（8）、先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮放縮法應(yīng)用舉例：例1、 已知求證：證明： 若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。本題在放縮時(shí)就舍去了，從而是使和式得到化簡(jiǎn).例2、函數(shù)，求證：.證明：由 得 .此題不等式左邊不易求和,此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和. 若分子, 分母如果同時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。例3、已知，證明：不等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.證明：要證，只要證 .因?yàn)?，故只要證 ，即只要證 .因?yàn)?，所以命題得證.本題通過(guò)化簡(jiǎn)整理之后，再利用基本不等式由放大即可.7、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種先得出首個(gè)例子的正確性,而后通過(guò)遞推的方式證明命題是否正確的一種方法， 常用來(lái)證明與自然數(shù)有關(guān)的相關(guān)命題. 數(shù)歸法是以皮亞諾的歸納公理作為依據(jù)，把歸納法與演繹法結(jié)合起來(lái)的一種完全歸納法數(shù)學(xué)歸納法步驟嚴(yán)謹(jǐn),如果把要證明的命題記作,那么數(shù)學(xué)歸納法的步驟為:(1) 證明當(dāng)取對(duì)命題適用的第一個(gè)自然數(shù)時(shí), 正確.(2)假設(shè)(且)時(shí),命題成立,即正確.證明當(dāng)時(shí)命題成立. 在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法.(3)根據(jù)(1) 、(2) 當(dāng)且 時(shí) ,即正確.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí), 以上三個(gè)步驟缺一不可, 步驟(1)是正確的奠基步驟,稱(chēng)之為歸納基礎(chǔ), 步驟(2)反應(yīng)了無(wú)限遞推關(guān)系,即命題的正確性具有傳遞性,步驟(3)是將步驟(1)步驟(2)結(jié)合完成數(shù)學(xué)歸納法中遞推的全過(guò)程,因此三個(gè)步驟缺一不可.8、反證法 反證法是指“證明某個(gè)命題時(shí)，先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過(guò)推理，得出與已知事實(shí)（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結(jié)果這樣，就證明了結(jié)論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結(jié)論成立”這種證明的方法，叫做反證法反證法有時(shí)也用于整個(gè)命題論證過(guò)程的某個(gè)局部環(huán)節(jié)上正難則反，直接的東西較少、較抽象、較困難時(shí)，其反面常會(huì)較多、較具體、較容易反證法中有歸謬法和窮舉法兩種：原命題的結(jié)論的否定只有一種情況，只要把這種情況推翻，就可以肯定原命題結(jié)論成立，這種反證法叫做歸謬法；如果原命題的結(jié)論的否定不止一種情況，那么就必須把這幾種情況一一否定，才能肯定原命題結(jié)論成立，這種反證法叫做窮舉法用反證法證題一般分為三個(gè)步驟：（1）、假設(shè)命題的結(jié)論不成立；（2）、從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；（3）、由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確即：提出假設(shè)推出矛盾肯定結(jié)論反證法的適用范圍：（1）已知條件很少或由已知條件能推得的結(jié)論很少；（2）命題的結(jié)論以否定形式出現(xiàn)時(shí)；（3）命題的結(jié)論以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時(shí)；（4）命題的結(jié)論以“唯一”的形式出現(xiàn)；（5）命題的結(jié)論以“無(wú)限”的形式出現(xiàn)時(shí)；（6）關(guān)于存在性命題；（7）某些定理的逆定理用反證法證明不等式舉例：例 ：已知、 、 、 ，且 .求證： 、 、 、 中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).證明：假設(shè) 、 、 、 都是非負(fù)數(shù)， ， .又 .這與已知 矛盾. 、 、 、 中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).9、換元法 換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來(lái)新的啟迪和方法.主要有兩種換元形式：(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示，將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題.根據(jù)具體問(wèn)題，實(shí)施的三角代換方法有：若，可設(shè)；若，可設(shè)；對(duì)于含有的不等式，由于，可設(shè)；若，由知，可設(shè)其中.(2)增量換元法：在對(duì)稱(chēng)式(任意交換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過(guò)換元達(dá)到減元，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn).如，可以用或進(jìn)行換元.10、構(gòu)造法 根據(jù)欲證不等式的具體結(jié)構(gòu)特證，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、圖形等達(dá)到促進(jìn)轉(zhuǎn)化、簡(jiǎn)化證明的目的，這種方法叫做構(gòu)造法. 構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)思維方法，在解題過(guò)程中通過(guò)觀(guān)察分析給出式和欲證式，充分挖掘題目的隱含信息，并進(jìn)行聯(lián)想與思考，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造