連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

.,第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,教學(xué)重點(diǎn)1連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度2正態(tài)分布,要求：1、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的定義和性質(zhì)，2、均勻分布、指數(shù)分布的定義及性質(zhì)；4、正態(tài)分布的定義、性質(zhì)、密度函數(shù)及幾何性質(zhì)；5、一般正態(tài)分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系；6、會(huì)利用正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)求積分,.,一連續(xù)型隨機(jī)變量1定義,.,由定義知道：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù),2概率密度的性質(zhì),1非負(fù)性,2規(guī)范性,這兩個(gè)性質(zhì)是判斷一個(gè)函數(shù)是否為一個(gè)連續(xù)型r.v.X的概率密度的充要條件,分布曲線,面積為1,利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率,.,若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：,=f(x),故X的密度f(x)在x這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.,.,(1)連續(xù)型r.v.取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即,這是因?yàn)?請(qǐng)注意:,當(dāng)時(shí),得到,由P(B)=1,不能推出B=S,由P(A)=0,不能推出,.,對(duì)連續(xù)型r.v.X,有,.,說明:由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題,(此公式非常重要),.,要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.,.,若不計(jì)高階無窮小，有：,它表示隨機(jī)變量X取值于的概率近似等于.,.,例題選講,例題1設(shè)隨機(jī)變量X具有隨機(jī)密度函數(shù),試求(1)c(2)X的分布函數(shù)；,.,.,.,.,.,.,1.均勻分布,則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，,XU(a,b),三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量,若r.vX的概率密度為：,記作,.,與c無關(guān),.,公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等.,均勻分布常見于下列情形：,如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；,.,例2某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即7:00，7:15，7:30,7:45等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.,解,依題意，XU(0,30),以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位,.,為使候車時(shí)間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.,所求概率為：,即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.,.,.,返回目錄,.,則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.,指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命.,若r.vX具有概率密度,常簡(jiǎn)記為XE().,2指數(shù)分布,.,若X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則其分布函數(shù)為,事實(shí)上,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.,注意1）無記憶性；,.,2）電子元件的使用壽命和各種隨機(jī)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間在一般情形認(rèn)為其服從指數(shù)分布；3）指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)論的應(yīng)用比較廣泛。,.,3.正態(tài)分布,若連續(xù)型r.vX的概率密度為,記作,其中和(0)都是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布或高斯分布.,.,曲線關(guān)于軸對(duì)稱；,.,函數(shù)在上單調(diào)增加,在上,單調(diào)減少,在取得最大值；,x=為f(x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；,.,當(dāng)x時(shí)，f(x)0.,f(x)以x軸為漸近線,根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖.,.,正態(tài)分布的圖形特點(diǎn),正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對(duì)稱的鐘形曲線.,特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”.,稱為位置參數(shù),.,決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.,正態(tài)分布的圖形特點(diǎn),.,正態(tài)分布的分布函數(shù),.,4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示：,.,的性質(zhì):,事實(shí)上,.,.,它的依據(jù)是下面的定理：,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題.,定理1,.,證,Z的分布函數(shù)為,則有,.,于是,.,書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.,正態(tài)分布表,當(dāng)x0時(shí),(x)的值.,.,若,N(0,1),若XN(0,1),.,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，,這說明，X的取值幾乎全部集中在-3,3區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%.,當(dāng)XN(0,1)時(shí)，,P(|X|1)=2(1)-1=0.6826,P(|X|2)=2(2)-1=0.9544,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,53準(zhǔn)則,.,將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時(shí)，,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.,.,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn),設(shè),若數(shù)滿足條件,.,.,.,.,例題2,.,這一節(jié)