量子力學(xué)復(fù)習(xí)重點

.,量子力學(xué)QuantumMechanics,.,HeisenbergSchrodinger,矩陣力學(xué),波動力學(xué),.,第一章緒論,1.2光的波粒二象性,1.3原子結(jié)構(gòu)的玻爾理論,1.1經(jīng)典物理學(xué)的困難,1.4微觀粒子的波粒二象性,.,1.1經(jīng)典物理學(xué)的困難,一經(jīng)典物理學(xué)的成就解釋了大到天體小到原子分子的運動和各種電磁現(xiàn)象和光的傳播等現(xiàn)象.,牛頓力學(xué),麥克斯韋方程,統(tǒng)計物理學(xué),低速宏觀,電磁現(xiàn)象,熱現(xiàn)象,.,1.1經(jīng)典物理學(xué)的困難,當時物理學(xué)家們的世界圖樣:,物質(zhì)粒子+電磁場=世界,物質(zhì)粒子的運動由經(jīng)典力學(xué)描述,電磁場運動由經(jīng)典電磁學(xué)描述.,.,二、經(jīng)典物理學(xué)的困難,（1）黑體輻射問題（2）光電效應(yīng)（3）康普頓效應(yīng)（4）原子光譜,.,普朗克能量子假說,*輻射物體中包含大量諧振子，它們的能量取分立值,*存在著能量的最小單元（能量子=h),*振子只能一份一份地按不連續(xù)方式輻射或吸收能量,三、早期的量子論,1、Planck黑體輻射定律,.,2、光量子及光電效應(yīng)理論,第一個肯定光具有微粒性的是Einstein，他認為，光不僅是電磁波，而且還是一種粒子。根據(jù)他的理論，電磁輻射不僅在發(fā)射和吸收時以能量h的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式在空間以光速C傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。由相對論光的動量和能量關(guān)系p=E/C=hv/C=h/提出了光子動量p與輻射波長（=C/v）的關(guān)系。,.,總結(jié)光子能量、動量關(guān)系式如下：,.,2.量子躍遷的概念.原子處于定態(tài)時不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個能級En躍遷到另一個較低（高）的能級Em，同時將發(fā)射（吸收）一個光子。光子的頻率為：,1.3波爾（Bohr）的量子論,1.原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念。Bohr提出了量子化條件：,玻爾假定:,.,假定：與一定能量E和動量p的實物粒子相聯(lián)系的波（他稱之為“物質(zhì)波”）的頻率和波長分別為：,E=h=E/hP=h/=h/p該關(guān)系稱為de.Broglie關(guān)系。,因為自由粒子的能量E和動量p都是常量，所以由deBroglie關(guān)系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率和波矢k（或波長）都不變，即它是一個單色平面波,.,由力學(xué)可知，頻率為，波長為，沿單位矢量n方向傳播的平面波可表為：,寫成復(fù)數(shù)形式,這種波就是與自由粒子相聯(lián)系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的平面波，這種寫成復(fù)數(shù)形式的波稱為deBroglie波,.,二、電子衍射實驗,戴維孫,電子衍射實驗,.,正是有了早期的量子論和德布羅意波才奠定了量子力學(xué)的誕生,.,第二章波函數(shù)和薛定諤方程,1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋2態(tài)疊加原理3Schrdinger方程4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律5定態(tài)Schrdinger方程,.,（三）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,物質(zhì)波是描述粒子在空間的概率分布的概率波。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的概率成比例。,2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,量子力學(xué)的第一條基本假定（或公設(shè)）,.,歸一化波函數(shù),.,將其歸一化,解:令以歸一化波函數(shù)為,.,三、力場中粒子的波函數(shù)方程,2.3薛定諤方程,薛定諤波動方程,.,表示空間中找到粒子的幾率隨時間的變化,表示單位時間內(nèi)通過封閉曲面S而流入V的幾率,2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律,幾率守恒定律的微分形式,結(jié)論：單位時間內(nèi)V中增加幾率應(yīng)等于從體積V外穿過V的邊界面流進V的幾率，所以上式也叫實域幾率守恒方程,.,2.5定態(tài)薛定諤方程,2、能量本征值方程,改寫成,在量子力學(xué)中稱與上類似的方程為本征值方程。常量E稱為算符H的本征值；稱為算符H的本征函數(shù)。,.,2.5定態(tài)薛定諤方程,（四）定態(tài)的性質(zhì),（1）Hamilton算符的本征值E或En必定是實數(shù),.,2.5定態(tài)薛定諤方程,（2）粒子在空間的幾率密度與時間無關(guān),不含時間變量,.,2.5定態(tài)薛定諤方程,（3）幾率流密度與時間無關(guān),不含時間變量,.,2.6一維無限深勢阱,1.勢場,.,勢阱內(nèi)的粒子不可能跑到勢阱外面來,所以勢阱外找到粒子的幾率為零,阱外波函數(shù)為零.,2.6一維無限深勢阱,.,2.定態(tài)薛定諤方程的解:,顯然E0,那么方程變成：,它的通解是：,在勢阱內(nèi)，薛定諤方程為:,2.6一維無限深勢阱,.,3.能級與波函數(shù)考慮波函數(shù)標準條件:單值,有限,連續(xù)要求波函數(shù)在阱內(nèi)外要連續(xù)。所以現(xiàn)在,有兩種情形的解：,（1）,A和B不能同時為零,2.6一維無限深勢阱,.,2.6一維無限深勢阱,.,二者合起來可寫為：,波函數(shù)的歸一化是：,所以，,（與n無關(guān)）,2.6一維無限深勢阱,.,最后得到能級和波函數(shù)是：,2.6一維無限深勢阱,.,第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量,坐標和動量不能同時有確定值，所以狀態(tài)用波函數(shù)表示，力學(xué)量用算符表示。,經(jīng)典粒子,可用坐標和動量來描寫狀態(tài)(坐標、動量、角動量、能量等)，任何狀態(tài)下，力學(xué)量都有確定值。,微觀粒子,.,3.1表示力學(xué)量的算符,量子力學(xué)中力學(xué)量算符的構(gòu)成,量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符必須是線性,厄密算符,且它的本征函數(shù)構(gòu)成完備系.經(jīng)典力學(xué)中力學(xué)量是坐標r和動量p的函數(shù),把坐標保持不變,動量換為動量算符就構(gòu)成了量子力學(xué)中相應(yīng)的力學(xué)量算符.,.,例如,3.1表示力學(xué)量的算符,.,3.2動量算符和角動量算符,(iii)角動量Z方向的分量,角動量的平方,.,3.2動量算符和角動量算符,本征值方程,本征值函數(shù)（球函數(shù)）,由于量子數(shù)表征了角動量的大小，所以稱為角量子數(shù)；m稱為磁量子數(shù)。,.,3.2動量算符和角動量算符,(3)、角動量Z分量算符的本征值方程,.,3.3電子在庫侖場中的運動,（五）總結(jié),（1）本征值和本征函數(shù),（2）能級簡并性,能量只與主量子數(shù)n有關(guān)，而本征函數(shù)與n,m有關(guān)，故能級存在簡并。,當n確定后，=n-nr-1，所以最大值為n-1。當確定后，m=0,1,2,.,。共2+1個值。所以對于En能級其簡并度為：,.,3.5厄密算符本征函數(shù)的正交性,1、本征函數(shù)屬于分立譜,2、本征函數(shù)屬于連續(xù)譜,.,4.力學(xué)量的可能值,若體系的狀態(tài)已知，則體系的可以測量的力學(xué)量的可能測得值的相應(yīng)的幾率就完全確定了。在這個意義上講，波函數(shù)完全描述了體系狀態(tài)。,3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系,.,3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系,例2已知空間轉(zhuǎn)子處于如下狀態(tài),試問：（1）是否是L2的本征態(tài)？（2）是否是Lz的本征態(tài)？（3）求L2的平均值；（4）在態(tài)中分別測量L2和Lz時得到的可能值及其相應(yīng)的幾率。,.,3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系,解：（1）是否是L2的本征態(tài)？,不是L2的本征態(tài)。,.,3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系,（2）是否是Lz的本征態(tài)？,是Lz的本征態(tài)，本征值為。,.,3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系,（3）求L2的平均值,先進行歸一化：,.,3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系,.,3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系,方法II,(4)測量的結(jié)果為:,.,3.7算符的對易關(guān)系兩個力學(xué)量同時有確定值的條件測不準關(guān)系,定理：一組力學(xué)量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算符兩兩對易。,.,第四章態(tài)和力學(xué)量表象,本章要求1、掌握表象的概念和量子態(tài)在不同表象下的表示。2、掌握算符用矩陣表示的概念和量子力學(xué)公式的矩陣表述。3、掌握不同表象之間通過幺正變換聯(lián)系起來的概念。4、掌握狄喇克符號。5、了解一維線性諧振子問題的代數(shù)解法。,.,4.1態(tài)的表象,（二）力學(xué)量表象,任何力學(xué)量Q都可以建立一種表象，稱為力學(xué)量Q表象。,設(shè)算符Q的本征值為：Q1,Q2,.,Qn,.，相應(yīng)本征函數(shù)為：u1(x),u2(x),.,un(x),.。,將(x,t)按Q的本征函數(shù)展開：,a1(t),a2(t),.,an(t),.,就是(x,t)所描寫的狀態(tài)在Q表象中的表示。,.,4.1態(tài)的表象,寫成矩陣形式,共軛矩陣:,.,4.算符的矩陣表示,力學(xué)量算符的矩陣表示,坐標表象：,Q表象：,.,4.3量子力學(xué)公式的矩陣表述,（一）平均值公式,坐標表象平均值公式,在Q表象中,.,4.3量子力學(xué)公式的矩陣表述,（二）本征方程,.,4.3量子力學(xué)公式的矩陣表述,上式是一個齊次線性方程組,.,4.3量子力學(xué)公式的矩陣表述,方程組有不完全為零解的條件是系數(shù)行列式等于零,久期方程,求解此久期方程得到一組值：1,2,.,i,.就是F的本征值。,.,4.3量子力學(xué)公式的矩陣表述,例2：求Lx的本征態(tài)在Lz表象中的矩陣表示，只討論(=1)情況。,Lx的本征方程為：,解,欲得a1,a2,a3不全為零的解，必須要求系數(shù)行列式等于零,.,4.3量子力學(xué)公式的矩陣表述,解久期方程,-(2-2)=0,=0,.,取=代入本征方程得：,.,4.3量子力學(xué)公式的矩陣表述,解得：a1=(1/21/2)a2,a3=(1/21/2)a2,則=1,Lx=的本征態(tài)可記為：,由歸一化條件定a2,.,4.3量子力學(xué)公式的矩陣表述,同理得另外兩個本征值相應(yīng)本征函數(shù),.,第五章微擾理論,微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運行的天體物理學(xué)中，計算行星運行軌道時，就是使用微擾方法。計算中需要考慮其他行星影響的二級效應(yīng)。,.,5.1非簡并的定態(tài)微擾,.,5.1非簡并的定態(tài)微擾,在計及二階修正后，擾動體系能量本征值由下式給出：,擾動體系能量本征函數(shù)由下式給出：,.,5.1非簡并的定態(tài)微擾,（四）微擾理論適用條件,欲使二式有意義，則要求二級數(shù)收斂。由于不知道級數(shù)的一般項，無法判斷級數(shù)的收斂性，我們只能要求級數(shù)已知項中，后項遠小于前項。由此我們得到微擾理論適用條件是：,.,5.1非簡并的定態(tài)微擾,（五）實例,例1.一電荷為q的線性諧振子，受恒定弱電場E作用。電場沿x正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。,解：,（1）電諧振子Hamilton量,將Hamilton量分成H0+H兩部分,.,5.1非簡并的定態(tài)微擾,H0+H,（2）寫出H0的本征值和本征函數(shù)E(0),n(0),.,5.1非簡并的定態(tài)微擾,（3）計算En(1),.,5.1非簡并的定態(tài)微擾,（4）計算能量二級修正,欲計算能量二級修正，首先應(yīng)計算Hmn矩陣元。,利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：,.,5.1非簡并的定態(tài)微擾,將上式代入,.,5.1非簡并的定態(tài)微擾,En(0)-En-1(0)=,En(0)-En+1(0)=-,.,5.1非簡并的定態(tài)微擾,波函數(shù)的一級修正,.,顯然，要實現(xiàn)km的躍遷，必須滿足|rmk|20的條件，或|xmk|,|ymk|,|zmk|不同時為零。,選擇定則,若偶極躍遷幾率為零，則需要計算比偶極近似更高級的近似。在任何級近似下，躍遷幾率都為零的躍遷稱為嚴格禁戒躍遷。,5.9選擇定則,.,第七章自旋與全同粒子,薛定諤方程出發(fā)可以解釋許多微觀現(xiàn)象,但是這個理論還有較大的局限性:,(1)薛定諤方程沒有把自旋包含進去，因而用前面的理論還不能解釋牽涉到自旋的微觀現(xiàn)象，如塞曼效應(yīng)等,(2)對于多粒子體系（原子、分子、原子核、固體等等），前面的理論也不能處理。,.,7.1電子的自旋,Ms在空間任意方向上的投影只能取兩個數(shù)值：,由（7.1-2）式，電子自旋磁矩和自旋角動量之比是,這個比值稱為電子自旋的回轉(zhuǎn)磁比率。,.,引入,則有:,2.,上面兩條完全確定了電子自旋算符,7.2電子自旋算符和自旋函數(shù),.,二、泡利算符,7.2電子自旋算符和自旋函數(shù),反對易關(guān)系,.,（3）矩陣表示,習(xí)慣上選取SZ表象（即Z表象）,泡利矩陣算符在自身表象中的矩陣是對角矩陣，對角元素即算符的本征值。,7.2電子自旋算符和自旋函數(shù),.,x的矩陣形式,7.2電子自旋算符和自旋函數(shù),.,于是,7.2電子自旋算符和自旋函數(shù),.,習(xí)慣上取=0,于是得到：,x的矩陣形式,7.2電子自旋算符和自旋函數(shù),.,得到的泡利矩陣是,泡利矩陣,自旋算符,7.2電子自旋算符和自旋函數(shù),.,電子自旋量子數(shù),S2算符的本征值是,把它記作:,自旋量