參數(shù)方程的概念(教學設(shè)計)

曲線的參數(shù)方程（孫雷）教材 人民教育出版社高中數(shù)學選修4-4第二講第一節(jié)授課教師 孫雷教學目標 1、理解曲線參數(shù)方程的概念，能選取適當?shù)膮?shù)建立參數(shù)方程； 2、通過對圓和直線的參數(shù)方程的研究，了解某些參數(shù)的幾何意義和物理意義； 3、初步了解如何應(yīng)用參數(shù)方程來解決某些具體問題，在問題解決的過程中，形成數(shù)學抽象思維能力，初步體驗參數(shù)的基本思想。教學重點 曲線參數(shù)方程的概念。教學難點曲線參數(shù)方程的探求。教學過程 （一）曲線的參數(shù)方程概念的引入 引例：當兩個齒輪接觸時，藍色齒輪會帶動紅色齒輪轉(zhuǎn)動，當兩個齒輪沒有接觸時，藍齒輪要帶動紅色齒輪轉(zhuǎn)動，有一種方法是加入一個新的齒輪，使之與紅藍兩個齒輪同時接觸。(上述過程讓學生感受中間變量的作用，為參數(shù)方程中的參變量的引出作鋪墊。)思考1：若齒輪A、B、C的半徑相等，他們轉(zhuǎn)動時的角速度分別是x、y、t，方向忽略不計(1) 第一組圖中，A與B角速度之間的關(guān)系是_；(2) 第二組圖中，A與C角速度之間的關(guān)系是_； B與C角速度之間的關(guān)系是_；思考2：思考：若齒輪A、B、C的半徑分別為4、1、2，他們轉(zhuǎn)動時的角速度分別是x、y、t，方向忽略不計(1) 第一組圖中，它們角速度之間的關(guān)系是_；(2) 第二組圖中，它們角速度之間的關(guān)系是_；引導(dǎo)學生建立平面直角坐標系，把實際問題抽象到數(shù)學問題，并加以解決（1、通過生活中的實例，引發(fā)學生研究的興趣；2、通過引例明確學習參數(shù)方程的現(xiàn)實意義；3、通過對問題的解決，使學生體會到僅僅運用一種方程來研究往往難以獲得滿意的結(jié)果，從而了解學習曲線的參數(shù)方程的必要性；4、通過具體的問題，讓學生找到解決問題的途徑，為研究圓的參數(shù)方程作準備。） （二）曲線的參數(shù)方程例1、圓的參數(shù)方程的推導(dǎo)（1）一般的，設(shè)的圓心為原點，半徑為，所在直線為軸，如圖，以為始邊繞著點按逆時針方向繞原點以勻角速度作圓周運動，則質(zhì)點的坐標與時刻的關(guān)系該如何建立呢？（其中與為常數(shù)，為變數(shù)） 結(jié)合圖形，由任意角三角函數(shù)的定義可知： 為參數(shù) （2）點的角速度為，運動所用的時間為，則角位移，那么方程組可以改寫為何種形式？ 結(jié)合勻速圓周運動的物理意義可得： 為參數(shù) （在引例的基礎(chǔ)上，把原先具體的數(shù)據(jù)一般化，為圓的參數(shù)方程概念的形成作準備，同時也培養(yǎng)了學生數(shù)學抽象思維能力）（3）方程、是否是圓心在原點，半徑為的圓方程？為什么？由上述推導(dǎo)過程可知：對于上的每一個點都存在變數(shù)（或）的值，使，（或，）都成立。對于變數(shù)（或）的每一個允許值，由方程組所確定的點都在圓上； （1、對曲線的方程以及方程的曲線的定義進行必要的復(fù)習；2、學生從曲線的方程以及方程的曲線的定義出發(fā)，可以說明以上由變數(shù)（或）建立起來的方程是圓的方程；）（4）若要表示一個完整的圓，則與的最小的取值范圍是什么呢？ ， （5）圓的參數(shù)方程及參數(shù)的定義 我們把方程（或）叫做的參數(shù)方程，變數(shù)（或）叫做參數(shù)。（6）圓的參數(shù)方程的理解與認識（）參數(shù)方程與是否表示同一曲線？為什么？（）根據(jù)下列要求，分別寫出圓心在原點、半徑為的圓的部分圓弧的參數(shù)方程：在軸左側(cè)的半圓（不包括軸上的點）；在第四象限的圓弧。（通過具體問題的解決，加深對圓的參數(shù)方程的理解與認識，體會到參數(shù)的取值范圍也是圓的參數(shù)方程的重要組成部分；并為曲線的參數(shù)方程的定義及其理解與認識作鋪墊。）（7）曲線的參數(shù)方程的定義（）一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標、都是某個變數(shù)的函數(shù) ，并且對于的每一個允許值，由方程組所確定的點都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程。變數(shù)叫做參變量或參變數(shù)，簡稱參數(shù)。（）相對于參數(shù)方程來說，直接給出曲線上點的坐標、間關(guān)系的方程叫做曲線的普通方程。 （8）曲線的參數(shù)方程的理解與認識 （）參數(shù)方程的形式；（橫、縱坐標、都是變量的函數(shù)，給出一個能唯一的求出對應(yīng)的、 的值，因而得出唯一的對應(yīng)點；但橫、縱坐標、之間的關(guān)系并不一定是函數(shù)關(guān)系。）（）參數(shù)的取值范圍；（在表述曲線的參數(shù)方程時，必須指明參數(shù)的取值范圍；取值范圍的不同，所表示的曲線也可能會有所不同。）（）參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性；（普通方程是相對參數(shù)方程而言的，普通方程反映了坐標變量與之間的直接聯(lián)系，而參數(shù)方程是通過變數(shù)反映坐標變量與之間的間接聯(lián)系；普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不同表達形式；參數(shù)方程可以與普通方程進行互化。）（）參數(shù)的作用；（參數(shù)作為間接地建立橫、縱坐標、之間的關(guān)系的中間變量，起到了橋梁的作用。）（）參數(shù)的意義。（如果參數(shù)選擇適當，參數(shù)在參數(shù)方程中可以有明確的幾何意義，也可以有明確的物理意義，可以給問題的解決帶來方便。即使是同一條曲線，也可以用不同的變數(shù)作為參數(shù)。）（三）鞏固曲線的參數(shù)方程的概念例2.已知曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù))(1) 判斷點M1(0,1)，M2(5,4)與曲線C的位置關(guān)系(2) 已知點M3(6,a)在曲線C上，求a的值練習：1.曲線(t為參數(shù))與x軸的焦點坐標是( ) A.(1,4) B.(,0) C.(1,-3) D.(,0)2.方程所表示的曲線上一點是( ) A.(2,7) B.() C.() D.(1,0) （通過普通方程化為參數(shù)方程求得函數(shù)的最值，使學生初步體驗參數(shù)方程的作用與意義。）例3.如圖所示，已知點A(1，2)，B(5，6)，點M是線段AB上的一個動點，試求點M(x,y)軌跡的參數(shù)方程OABxyM（通過直線的參數(shù)方程的求解，使學生初步體驗同一條曲線的參數(shù)方程隨參數(shù)選取的變化而不同，這一點與普通方程不同。）（四）課堂小結(jié)1、知識內(nèi)容：知道圓的參數(shù)方程以及曲線參數(shù)方程的概念；能選取適當?shù)膮?shù)建立參數(shù)方程；通過對圓和直線的參數(shù)方程的研究，理解其中參數(shù)的意義。2、思想與方法：參數(shù)思想。（引導(dǎo)學生回顧本節(jié)課的學習過程，小結(jié)與交流學習體會，包括數(shù)學知識的獲得，數(shù)學思想方法的領(lǐng)悟。）（五）作業(yè)課本，練習17.1（1），第2、3題。 （六）思考若圓的一般方程為，你能寫出它的一個參數(shù)方程嗎？ 教學設(shè)計說明 一、教材分析本節(jié)課所用的教材是由人民教育出版社出版的高中數(shù)學選修4-4課本，內(nèi)容為第二講，第一節(jié)?！皡?shù)方程和極坐標方程”這一章節(jié)內(nèi)容是在“圓錐曲線”這一章的基礎(chǔ)上進一步展開研究曲線的方程。學習曲線的參數(shù)方程是為了進一步探討直線、圓錐曲線的性質(zhì)，也是進一步學習數(shù)學、運動學的基礎(chǔ)，它在生產(chǎn)實踐中有很多實際的應(yīng)用。本章主要學習參數(shù)方程的基本概念、基本原理、基本方法，因此在教學中要求應(yīng)適當，難度要控制，基本應(yīng)以課本例題與習題為主。通過本章節(jié)的教學應(yīng)使學生感悟到現(xiàn)實世界的問題是多種多樣的，僅用一種坐標系，一種方程來研究各種不同的問題是不適合的，有時難以獲得滿意的效果。參數(shù)方程有其自身的優(yōu)越性，學習參數(shù)方程有其必要性。通過學習參數(shù)方程的有關(guān)概念，以及方程之間、坐標之間的互化，使學生感悟到坐標系及各種方程的表示方法是可以視實際需要，主觀能動的加以選擇的。“曲線的參數(shù)方程”為本章節(jié)的第一部分。主要讓學生了解參數(shù)方程的有關(guān)概念，通過探索圓錐曲線的參數(shù)方程初步掌握求曲線的參數(shù)方程的方法，并且在此基礎(chǔ)上進行參數(shù)方程與普通方程的互化及其簡單應(yīng)用。二、教學目標設(shè)計根據(jù)以上分析，本節(jié)課設(shè)置的教學目標為：1、理解曲線參數(shù)方程的概念，能選取適當?shù)膮?shù)建立參數(shù)方程。 2、通過對圓和直線的參數(shù)方程的研究，了解某些參數(shù)的幾何意義和物理意義。 3、初步了解如何應(yīng)用參數(shù)方程來解決某些具體問題，在問題解決的過程中，培養(yǎng)數(shù)學抽象思維能力，初步體驗參數(shù)的基本思想。三、教學過程設(shè)計我校是湖北省示范型高中，我校的學生數(shù)學基礎(chǔ)良好，思維活躍，具備一定的分析問題和自主探究能力。因此在教學設(shè)計中強調(diào)學生的自主探究，強調(diào)數(shù)學思想方法的滲透與運用，希望加深學生對知識本質(zhì)的理解。本課設(shè)置如下教學環(huán)節(jié)以體現(xiàn)重點，突破難點，實現(xiàn)教學目標。1、作為曲線的參數(shù)方程的概念課，一味的灌輸是不可取的。而是要讓學生體會到為什么要建立曲線的參數(shù)方程，感受其產(chǎn)生的必要性、合理性以及可行性。因此，由齒輪的轉(zhuǎn)動這一實例引入，一方面使學生了解參數(shù)方程是基于生產(chǎn)、生活發(fā)展的實際需要而產(chǎn)生的，在引發(fā)學生研究的興趣時，通過對問題的解決，使學生體會到僅僅運用一種方程來研究不同的問題不一定方便，往往難以獲得滿意的結(jié)果，從而了解研究曲線的參數(shù)方程的必要性；另一方面通過具體問題的解決，找到解決問題的途徑，也為圓的參數(shù)方程的研究作必要的準備。 2、由特殊到一般，從具體到抽象。以“引導(dǎo)設(shè)問”為主線，學生通過對問題的思考和解答，體驗學習過程，自主探索和獲取知識，從而得到圓的參數(shù)方程。同時在探索的過程中也提高學生的數(shù)學抽象思維能力。 3、作為一堂概念課，學生對于概念的理解必須精確，深入，為后續(xù)課程打下扎實的基礎(chǔ)，教師必須在這一環(huán)節(jié)進行深入的分析。因此，在圓以及曲線的參數(shù)方程的概念引入之后，針對參數(shù)方程的形式、參數(shù)的取值范圍、參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性、參數(shù)的作用以及參數(shù)的意義進行深入的理解與探討。通過這一環(huán)節(jié)，學生活躍的思維逐步從感性上升到理性；同時，對于概念的理解得到鞏固與深化。通過加強師生交流、關(guān)注學生思維，把握課堂教學重點，讓學生體驗知識產(chǎn)生的原因，發(fā)展的過程及其應(yīng)用的價值。4、在本節(jié)課中，設(shè)計了適當?shù)木毩暸c例題。一方面可以鞏固學生對曲線的參數(shù)方程概念的理解認識；另一方面通過簡單的應(yīng)用，使學生體會曲線的參數(shù)方程的作用及意義。教學中通過教師的適當引導(dǎo)、啟發(fā)，同時大膽地放手由學生自主探究、及時激勵學生以體驗