常微分方程總結(jié)PPT課件

精選,1,常微分方程,偏微分方程,含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程,(本章內(nèi)容),(n階顯式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n階常微分方程的形式是,的階.,分類,或,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,2,使方程成為恒等式的函數(shù).,通解,解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程,確定通解中任意常數(shù)的條件.,n階方程的初始條件(或初值條件):,的階數(shù)相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常數(shù)的解,定解條件,其圖形稱為積分曲線.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,3,定義3,2.微分方程的解（幾何意義）：,精選,4,轉(zhuǎn)化,可分離變量微分方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,第二節(jié),解分離變量方程,可分離變量方程,第七章,精選,5,分離變量方程的解法:,設(shè)y(x)是方程的解,兩邊積分,得,則有恒等式,當(dāng)G(y)與F(x)可微且G(y)g(y)0時(shí),說明由確定的隱函數(shù)y(x)是的解.,則有,稱為方程的隱式通解,或通積分.,同樣,當(dāng)F(x),=f(x)0時(shí),上述過程可逆,由確定的隱函數(shù)x(y)也是的解.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,6,形如,的方程叫做齊次方程.,令,代入原方程得,兩邊積分,得,積分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分離變量:,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,第三節(jié)齊次方程,精選,7,內(nèi)容小結(jié),1.微分方程的概念,微分方程;,定解條件;,2.可分離變量方程的求解方法:,說明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一個(gè)解.,例如,方程,分離變量后積分;,根據(jù)定解條件定常數(shù).,解;,階;,通解;,特解,y=x及y=C,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,3.齊次方程的求解方法:,令,精選,8,找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.,常用的方法:,1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程(如:P263,5(2),2)根據(jù)物理規(guī)律列方程(如:例4,例5),3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(如:例6),(2)利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件.,(3)求通解,并根據(jù)定解條件確定特解.,3.解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,9,一、一階線性微分方程,一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:,若Q(x)0,稱為非齊次方程.,1.解齊次方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,稱為齊次方程;,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,10,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,齊次方程通解,非齊次方程特解,2.解非齊次方程,用常數(shù)變易法:,則,故原方程的通解,即,即,作變換,兩端積分得,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,該定理易讓我們想起線性代數(shù)中的一階非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理。,精選,11,二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,令,求出此方程通解后,除方程兩邊,得,換回原變量即得伯努利方程的通解.,解法:,(線性方程),伯努利目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,12,內(nèi)容小結(jié),1.一階線性方程,方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.,方法2用通解公式,化為線性方程求解.,2.伯努利方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,13,思考與練習(xí),判別下列方程類型:,提示:,可分離變量方程,齊次方程,線性方程,線性方程,伯努利方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,14,可降階高階微分方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,第五節(jié),一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第七章,解法：降階,精選,15,一、,令,因此,即,同理可得,依次通過n次積分,可得含n個(gè)任意常數(shù)的通解.,型的微分方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,既不含未知函數(shù)y,也不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解法:連續(xù)積分n次，便得通解。,精選,16,型的微分方程,設(shè),原方程化為一階方程,設(shè)其通解為,則得,再一次積分,得原方程的通解,二、,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,即含自變量x,不含未知函數(shù)y,精選,17,三、,型的微分方程,令,故方程化為,設(shè)其通解為,即得,分離變量后積分,得原方程的通解,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,即含有未知函數(shù)y,不含自變量x,精選,18,內(nèi)容小結(jié),可降階微分方程的解法,降階法,逐次積分,令,令,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,19,思考與練習(xí),1.方程,如何代換求解?,答:令,或,一般說,用前者方便些.,均可.,有時(shí)用后者方便.,例如,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?,答:(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡便.,(2)遇到開平方時(shí),要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào).,例6,例7,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,20,n階線性微分方程的一般形式為,方程的共性,為二階線性微分方程.,例1,例2,可歸結(jié)為同一形式:,時(shí),稱為非齊次方程;,時(shí),稱為齊次方程.,復(fù)習(xí):一階線性方程,通解:,非齊次方程特解,齊次方程通解Y,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,21,證畢,二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階線性齊次方程,的兩個(gè)解,也是該方程的解.,證:,代入方程左邊,得,(疊加原理),定理1.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,是不是所給二階方程的通解？,問題：,精選,22,說明:,不一定是所給二階方程的通解.,例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解,并不是通解！,但是,則,為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與,線性無關(guān)概念.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,23,定義:,是定義在區(qū)間I上的,n個(gè)函數(shù),使得,則稱這n個(gè)函數(shù)在I上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).,例如，,在(,)上都有,故它們?cè)谌魏螀^(qū)間I上都線性相關(guān);,又如，,若在某區(qū)間I上,則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn),必需全為0,可見,在任何區(qū)間I上都線性無關(guān).,若存在不全為0的常數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,24,兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:,線性相關(guān),存在不全為0的,使,線性無關(guān),常數(shù),思考:,中有一個(gè)恒為0,則,必線性,相關(guān),(證明略),線性無關(guān),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,25,定理2.,是二階線性齊次方程的兩個(gè)線,性無關(guān)特解,則,數(shù))是該方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常數(shù),故方程的通解為,(自證),推論.,是n階齊次方程,的n個(gè)線性無關(guān)解,則方程的通解為,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,26,三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階非齊次方程,的一個(gè)特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.,則,是非齊次方程的通解.,證:將,代入方程左端,得,復(fù)習(xí)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,27,是非齊次方程的解,又Y中含有,兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如,方程,有特解,對(duì)應(yīng)齊次方程,有通解,因此該方程的通解為,證畢,因而也是通解.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,28,定理4.,分別是方程,的特解,是方程,的特解.(非齊次方程之解的疊加原理),定理3,定理4均可推廣到n階線性非齊次方程.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,29,定理5.,是對(duì)應(yīng)齊次方程的n個(gè)線性,無關(guān)特解,給定n階非齊次線性方程,是非齊次方程的特解,則非齊次方程,的通解為,齊次方程通解,非齊次方程特解,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,30,*四、常數(shù)變易法,復(fù)習(xí):,常數(shù)變易法:,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解:,設(shè)非齊次方程的解為,代入原方程確定,對(duì)二階非齊次方程,情形1.已知對(duì)應(yīng)齊次方程通解:,設(shè)的解為,由于有兩個(gè)待定函數(shù),所以要建立兩個(gè)方程:,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,31,令,于是,將以上結(jié)果代入方程:,得,故,的系數(shù)行列式,P10目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,32,積分得:,代入即得非齊次方程的通解:,于是得,說明:,將的解設(shè)為,只有一個(gè)必須滿足的條件即方程,因此必需再附加一,個(gè)條件,方程的引入是為了簡化計(jì)算.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,33,情形2.,僅知的齊次方程的一個(gè)非零特解,代入化簡得,設(shè)其通解為,積分得,(一階線性方程),由此得原方程的通解:,代入目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,34,常系數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,第七節(jié),齊次線性微分方程,基本思路:,求解常系數(shù)線性齊次微分方程,求特征方程(代數(shù)方程)之根,轉(zhuǎn)化,第七章,精選,35,二階常系數(shù)齊次線性微分方程:,和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得,稱為微分方程的特征方程,1.當(dāng),時(shí),有兩個(gè)相異實(shí)根,方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:,因此方程的通解為,(r為待定常數(shù)),所以令的解為,則微分,其根稱為特征根.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,36,2.當(dāng),時(shí),特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根,則微分方程有一個(gè)特解,設(shè)另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取u=x,則得,因此原方程的通解為,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,37,3.當(dāng),時(shí),特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根,利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:,因此原方程的通解為,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解（歐拉公式),精選,38,小結(jié):,特征方程:,實(shí)根,以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,39,若特征方程含k重復(fù)根,若特征方程含k重實(shí)根r,則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng),則其通解中必含,對(duì)應(yīng)項(xiàng),特征方程:,推廣:n階常系數(shù)齊次線性方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,40,由于n次代數(shù)方程有n個(gè)根，而每個(gè)根對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng)，且每一項(xiàng)各含一個(gè)任意常數(shù)。將上表中各對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加，就得到n階微分方程的通解。,小結(jié):解法,精選,41,內(nèi)容小結(jié),特征根:,(1)當(dāng),時(shí),通解為,(2)當(dāng),時(shí),通解為,(3)當(dāng),時(shí),通解為,可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,42,思考與練習(xí),求方程,的通解.,答案:,通解為,通解為,通解為,作業(yè)P3101(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3,第九節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,43,常系數(shù)非齊次線性微分方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,第八節(jié),一、,二、,第七章,精選,44,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為,求特解的方法,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).,待定系數(shù)法:,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,根據(jù)f(x)的兩種特殊形式,精選,45,一、,為實(shí)數(shù),設(shè)特解為,其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得,(1)若不是特征方程的根,則取,從而得到特解,形式為,為m次多項(xiàng)式.,Q(x)為m次待定系數(shù)多項(xiàng)式,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,46,(2)若是特征方程的單根,為m次多項(xiàng)式,故特解形式為,(3)若是特征方程的重根,是m次多項(xiàng)式,故特解形式為,小結(jié),對(duì)方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.,即,即,當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè),特解,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,47,簡例,精選,48,二、,第二步求出如下兩個(gè)方程的特解,分析思路:,第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為,第三步利用疊加原理求出原方程的特解,第四步分析原方程特解的特點(diǎn),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,49,第一步,利用歐拉公式將f(x)變形,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,50,第二步求如下兩方程的特解,是特征方程的k重根(k=0,1),故,等式兩邊取共軛:,為方程的特解.,設(shè),則有,特解:,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,51,第三步求原方程的特解,利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:,原方程,均為m次多項(xiàng)式.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,52,第四步分析,因,均為m次實(shí),多項(xiàng)式.,本質(zhì)上為實(shí)函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,53,小結(jié):,對(duì)非齊次方程,則可設(shè)特解:,其中,為特征方程的k重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,54,內(nèi)容小結(jié),為特征方程的k(0,1,2)重根,則設(shè)特解為,為特征方程的k(0,1)重根,則設(shè)特解為,3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,55,思考與練習(xí),時(shí)可設(shè)特解為,時(shí)可設(shè)特解為,提示:,1.(填空)設(shè),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,56,2.求微分方程,的通解(其中,為實(shí)數(shù)).,解:特征方程,特征根:,對(duì)應(yīng)齊次方程通解:,時(shí),代入原方程得,故原方程通解為,時(shí),代入原方程得,故原方程通解為,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,57,3.已知二階常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解:將特解代入方程得恒等式,比較系數(shù)得,故原方程為,對(duì)應(yīng)齊次方程通解:,原方程通解為,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,58,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,第十節(jié),歐拉方程,歐拉方程,常系數(shù)線性微分方程,第十二章,精選,59,歐拉方程的算子解法:,則,計(jì)算繁!,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,60,則由上述計(jì)算可知:,用歸納法可證,于是歐拉方程,轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,61,思考:如何解下述微分方程,提示:,原方程,直接令,作業(yè)P3192;6;8,第11節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,62,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,第十一節(jié),微分方程的冪級(jí)數(shù)解法,一、一階微分方程問題,二、二階齊次線性微分方程問題,微分方程解法:,積分法,只能解一些特殊類型方程,冪級(jí)數(shù)法,本節(jié)介紹,數(shù)值解法,計(jì)算數(shù)學(xué)內(nèi)容,本節(jié)內(nèi)容:,第十二章,精選,63,一、一階微分方程問題,冪級(jí)數(shù)解法:,將其代入原方程,比較同次冪系數(shù)可定常數(shù),由此確定的級(jí)數(shù)即為定解問題在收斂區(qū)間內(nèi)的解.,設(shè)所求解為,本質(zhì)上是待定系數(shù)法,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,精選,64,常系數(shù)線性微分方程組,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,*第十二節(jié),解法舉例,解方程組,高階方程求解,消元,代入法,算子法,第十一章,精選,65,常系數(shù)線性微分方程組解法步驟:,第一步用消元法消去其他未知函數(shù),得到只含一個(gè)函數(shù)的高階方程;,第二步求出此高階方程的未知函數(shù);,第三步把求出的函數(shù)代入原方程組,注意: