廣東省佛山市順德區(qū)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試?yán)碓囶}（含解析）

廣東省佛山市順德區(qū)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試?yán)碓囶}（含解析）注意事項(xiàng)：1. 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并用2B鉛筆在答題卡上的相應(yīng)位置填涂考生號(hào)。2. 回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3. 回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。4. 考試結(jié)束后，將答題卡交回。第I卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再計(jì)算共軛復(fù)數(shù).【詳解】故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算和共軛復(fù)數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.2.曲線在處的切線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，把分別代入導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)，得到斜率和切點(diǎn)，再計(jì)算切線方程.【詳解】將代入導(dǎo)函數(shù)方程，得到將代入曲線方程，得到切點(diǎn)為：切線方程為：故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下，則（ ）024A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析】先計(jì)算，再根據(jù)公式計(jì)算得到【詳解】故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了方差的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4.若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則被所平分的弦所在的直線方程是，通過(guò)類比的方法，可求得：被所平分的雙曲線的弦所在的直線方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通過(guò)類比的方法得到直線方程是，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】所平分的弦所在的直線方程是，通過(guò)類比的方法，可求得雙曲線的所平分的弦所在的直線方程是代入數(shù)據(jù)，得到：故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了類比推理，意在考查學(xué)生的推理能力.5.拋物線和直線所圍成的封閉圖形的面積是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算拋物線和直線的交點(diǎn)，再用定積分計(jì)算面積.【詳解】所圍成的封閉圖形的面積是：故答案為C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的應(yīng)用，意在考查學(xué)生應(yīng)用能力和計(jì)算能力.6.函數(shù)的圖像大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取特殊值排除選項(xiàng)得到答案.【詳解】 ，排除B，排除D排除C故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖像，取特殊值可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.7.已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從假設(shè)推證成立時(shí)，需在左邊的表達(dá)式上多加的項(xiàng)數(shù)為（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】分別計(jì)算和時(shí)項(xiàng)數(shù)，相減得到答案.【詳解】時(shí)，共有項(xiàng).時(shí)，共有項(xiàng).需在左邊的表達(dá)式上多加的項(xiàng)數(shù)為：故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8.從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高（單位：）與體重（單位：）數(shù)據(jù)如下表：1651651571701751651551704857505464614359若已知與的線性回歸方程為，那么選取的女大學(xué)生身高為時(shí)，相應(yīng)的殘差為（ ）A. B. 0. 96C. 63. 04D. 【答案】B【解析】【分析】將175代入線性回歸方程計(jì)算理論值，實(shí)際數(shù)值減去理論數(shù)值得到答案.【詳解】已知與線性回歸方程為當(dāng)時(shí)：相應(yīng)的殘差為：故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了殘差的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9.若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)得到答案.【詳解】單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)區(qū)間上是單調(diào)遞減不滿足只能區(qū)間上是單調(diào)遞增.故故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，排除單調(diào)遞減的情況是解題的關(guān)鍵.10.把編號(hào)分別為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，若分得的電影票超過(guò)一張，則必須是連號(hào)，那么不同分法的種數(shù)為（ ）A. 36B. 40C. 42D. 48【答案】A【解析】【分析】將情況分為113和122兩種情況，相加得到答案.【詳解】當(dāng)分的票數(shù)為這種情況時(shí)：當(dāng)分的票數(shù)為這種情況時(shí)：一張票數(shù)的人可以選擇：不同分法的種數(shù)為36故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合，將情況分為兩類可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.11.已知，則（ ）A. 36B. 40C. 45D. 52【答案】A【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，分別計(jì)算和，相加得到答案.【詳解】故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若對(duì)任意的，都有成立，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù) ，判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)其性質(zhì)解不等式得到答案.【詳解】對(duì)任意的，都有成立構(gòu)造函數(shù)在上遞增.是偶函數(shù)為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，解不等式，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.13.是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_.【答案】2【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，實(shí)部為0，計(jì)算得到答案.【詳解】為純虛數(shù)故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.14.已知函數(shù)，則_.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15.若的展開式中第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中常數(shù)項(xiàng)等于_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意先計(jì)算，再用展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算常數(shù)項(xiàng).【詳解】若的展開式中第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.當(dāng)時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式的計(jì)算，先判斷是解題的關(guān)鍵.16.已知平面上1個(gè)三角形最多把平面分成2個(gè)部分，2個(gè)三角形最多把平面分成8個(gè)部分，3個(gè)三角形最多把平面分成20個(gè)部分，4個(gè)三角形最多把平面分成38個(gè)部分，5個(gè)三角形最多把平面分成62個(gè)部分，以此類推，平面上個(gè)三角形最多把平面分成 _個(gè)部分.【答案】【解析】【分析】設(shè)面上個(gè)三角形最多把平面分成個(gè)部分，歸納出，利用累加法的到答案.【詳解】設(shè)面上個(gè)三角形最多把平面分成個(gè)部分.歸納：利用累加法：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理，累加法，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生歸納推理和解決問(wèn)題的能力.三、解答題：本大題共7小題，共70分，解答須寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.某同學(xué)在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù). （是虛數(shù)單位）（）從三個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；（）根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及（）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)復(fù)數(shù)恒等式，并證明你的結(jié)論.【答案】（I）（II）結(jié)論為（且不同時(shí)為零），證明見解析【解析】【分析】（）將三個(gè)式子化簡(jiǎn)答案都為.（II）觀察結(jié)構(gòu)歸納結(jié)論為，再利用復(fù)數(shù)的計(jì)算證明結(jié)論.【詳解】（I）（II）根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及（I）的計(jì)算結(jié)果，可以得到：（且不同時(shí)為零）下面進(jìn)行證明：要證明只需證只需證因?yàn)樯鲜匠闪?，所以成?（或直接利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算得出結(jié)果）【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算和證明，意在考查學(xué)生的歸納能力.18.某高中高二年級(jí)1班和2班的學(xué)生組隊(duì)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，1班推薦了2名男生1名女生，2班推薦了3名男生2名女生. 由于他們的水平相當(dāng)，最終從中隨機(jī)抽取4名學(xué)生組成代表隊(duì).（）求1班至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；（）設(shè)表示代表隊(duì)中男生的人數(shù)，求的分布列和期望.【答案】（I）（II）見解析【解析】【分析】（）用1減去沒(méi)有1班同學(xué)入選的概率得到答案.（）的所有可能取值為1，2，3，4，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)概率得到分布列，再計(jì)算期望.【詳解】（I）設(shè)1班至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)為事件則 （II）的所有可能取值為1，2，3，4，.因此的分布列為1234.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.19.隨著人們生活水平的日益提高，人們對(duì)孩子的培養(yǎng)也愈發(fā)重視，各種興趣班如雨后春筍般出現(xiàn)在我們?nèi)粘Ｉ钪? 據(jù)調(diào)查，36歲的幼兒大部分參加的是藝術(shù)類，其中舞蹈和繪畫比例最大，就參加興趣班的男女比例而言，女生參加興趣班的比例遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)男生. 隨機(jī)調(diào)查了某區(qū)100名36歲幼兒在一年內(nèi)參加舞蹈或繪畫興趣班的情況，得到如下表格：不參加舞蹈且不參加繪畫興趣班參加舞蹈不參加繪畫興趣班參加繪畫不參加舞蹈興趣班參加舞蹈且參加繪畫興趣班人數(shù)14352625（）估計(jì)該區(qū)36歲幼兒參加舞蹈興趣班的概率；（）通過(guò)所調(diào)查的100名36歲幼兒參加興趣班的情況，填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99. 9%的把握認(rèn)為參加舞蹈興趣班與性別有關(guān). 參加舞蹈興趣班不參加舞蹈興趣班總計(jì)男生10女生70總計(jì)附：. 0. 100. 050. 0250. 0100. 0050. 0012. 7063. 8415. 0246. 6357. 87910. 828【答案】（I）（II）有的把握認(rèn)為參加舞蹈興趣班與性別有關(guān)，詳見解析【解析】【分析】（）畫出韋恩圖，計(jì)算參加舞蹈班的人數(shù)，再計(jì)算概率.（）補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算，與臨界值表作比較得到答案.【詳解】（I）畫出韋恩圖得：（II）參加舞蹈興趣班不參加舞蹈興趣班總計(jì)男生102030女生502070總計(jì)6040100所以，有的把握認(rèn)為參加舞蹈興趣班與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，列聯(lián)表，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.20.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值8（）求函數(shù)的解析式；（）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（I）（II）【解析】【分析】（）求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)為0，原函數(shù)為8，聯(lián)立方程解得（）參數(shù)分離，設(shè)，求在區(qū)間上的最大值得到答案.【詳解】（I）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值8，解得所以函數(shù)的解析式為.（II）不等式在區(qū)間上恒成立在區(qū)間上恒成立令，則由解得，解得所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減所以對(duì)，都有，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了極值的性質(zhì)，參數(shù)分離，恒成立問(wèn)題，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.21.某玻璃工廠生產(chǎn)一種玻璃保護(hù)膜，為了調(diào)查一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，隨機(jī)抽取了10件樣品檢測(cè)質(zhì)量指標(biāo)（單位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70. 經(jīng)計(jì)算得，,生產(chǎn)合同中規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)在62分以上的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，一批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率不得低于15%.（）以這10件樣品中優(yōu)質(zhì)品的頻率估計(jì)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率，從這批產(chǎn)品中任意抽取3件，求有2件為優(yōu)質(zhì)品的概率；（）根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布，是否有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率滿足生產(chǎn)合同的要求？附：若，則，【答案】（I）（II）有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率滿足生產(chǎn)合同的要求，詳見解析【解析】【分析】（）10件樣品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，記任取3件，優(yōu)質(zhì)品數(shù)為，則，計(jì)算得到答案.（）記這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)為，由題意知,得到答案.【詳解】（I）10件樣品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，記任取3件，優(yōu)質(zhì)品數(shù)為，則，（II）記這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)為，由題意知?jiǎng)t有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率滿足生產(chǎn)合同的要求.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布，正態(tài)分布，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.22.已知函數(shù).（I）討論的單調(diào)性；（II）若，求證：當(dāng)時(shí)，.【答案】（I）答案不唯一，具體見解析（II）見解析【解析】【分析】（I）求導(dǎo)，根據(jù)三種情況討論單調(diào)性（II）將需要證明的不等式轉(zhuǎn)化為：分別計(jì)算不等式左邊的最大值和右邊的最小值，比較得證.【詳解】（I）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，解得，解得，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，解得，解得在上單調(diào)遞增，上單調(diào)