向量?jī)?nèi)積的定義及運(yùn)算規(guī)律

定義,向量?jī)?nèi)積的定義及運(yùn)算規(guī)律,定義,向量的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì)：,向量的長(zhǎng)度,定義,向量的夾角,所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零向量向量空間的基若是正交向量組，就稱為正交基,定理,定義,正交向量組的性質(zhì),施密特正交化方法,第一步正交化,第二步單位化,定義,正交矩陣與正交變換,方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行（列）向量都是單位向量，且兩兩正交,定義若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換,正交變換的特性在于保持線段的長(zhǎng)度不變,定義,方陣的特征值和特征向量,有關(guān)特征值的一些結(jié)論,定理,定理屬于同一個(gè)特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量,有關(guān)特征向量的一些結(jié)論,定義,矩陣之間的相似具有(1)自反性；(2)對(duì)稱性；(3)傳遞性,相似矩陣,有關(guān)相似矩陣的性質(zhì),若與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，從而與的特征值亦相同,(4)能對(duì)角化的充分必要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,(5)有個(gè)互異的特征值，則與對(duì)角陣相似,實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣,定義,二次型,二次型與它的矩陣是一一對(duì)應(yīng)的,定義,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,定義,正定二次型,慣性定理,注意,正定二次型的判定,一、證明所給矩陣為正交矩陣,典型例題,二、將線性無(wú)關(guān)向量組化為正交單位向量組,三、特征值與特征向量的求法,四、已知的特征值，求與相關(guān)矩陣的特征值,五、求方陣的特征多項(xiàng)式,六、關(guān)于特征值的其它問(wèn)題,七、判斷方陣可否對(duì)角化,八、利用正交變換將實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣,九、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,一、證明所給矩陣為正交矩陣,證明,將線性無(wú)關(guān)向量組化為正交單位向量組，可以先正交化，再單位化；也可同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化,二、將線性無(wú)關(guān)向量組化為正交單位向量組,解一先正交化，再單位化,解二同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化,第三步將每一個(gè)特征值代入相應(yīng)的線性方程組，求出基礎(chǔ)解系，即得該特征值的特征向量,三、特征值與特征向量的求法,第一步計(jì)算的特征多項(xiàng)式；,第二步求出特征多項(xiàng)式的全部根，即得的全部特征值；,解第一步計(jì)算的特征多項(xiàng)式,第三步求出的全部特征向量,解,四、已知的特征值，求與相關(guān)矩陣的特征值,解,五、求方陣的特征多項(xiàng)式,解,六、關(guān)于特征值的其它問(wèn)題,方法一,方法二,方法三,解,七、判斷方陣可否對(duì)角化,解(1)可對(duì)角化的充分條件是有個(gè)互異的特征值下面求出的所有特征值,解第一步求A的特征值由,八、利用正交變換將實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角陣,九、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,解第一步將表成矩陣形式,解,第五章測(cè)試題,一、填空題(每小題4分，