2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（上海卷含解析）

2020年上海高考數(shù)學(xué)（理科）真題一、解答題（本大題共有14題，滿分56分）1. 設(shè)，則不等式的解集為_(kāi)【答案】【解析】，即，故解集為2. 設(shè)，其中為虛數(shù)單位，則_【答案】【解析】，故3. :, :, 則的距離為_(kāi)【答案】【解析】4. 某次體檢，位同學(xué)的身高（單位:米）分別為，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_（米）【答案】5. 已知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則的反函數(shù)_【答案】【解析】，故，6. 如圖，在正四棱柱中，底面的邊長(zhǎng)為，與底面所成角的大小為，則該正四棱柱的高等于_【答案】【解析】, 7. 方程在區(qū)間上的解為_(kāi)【答案】【解析】，即8. 在的二項(xiàng)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則常數(shù)項(xiàng)等于_【答案】【解析】， 通項(xiàng)取常數(shù)項(xiàng)為9. 已知的三邊長(zhǎng)為，則該三角形的外接圓半徑等于_【答案】【解析】，10. 設(shè)，若關(guān)于的方程組無(wú)解，則的取值范圍是_【答案】【解析】由已知，且，11. 無(wú)窮數(shù)列由個(gè)不同的數(shù)組成，為的前項(xiàng)和，若對(duì)任意，則的最大值為_(kāi)【答案】12. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知, , 是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】【解析】設(shè), ，, 13. 設(shè), ，若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組的組數(shù)為_(kāi)【答案】【解析】(i)若若，則；若，則(ii)若，若，則；若，則共組14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為正八邊形的中心，任取不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)落在第一象限的概率是_【答案】【解析】二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）15. 設(shè)，則“”是“”的( )A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既非充分也非必要條件【答案】A16. 下列極坐標(biāo)方程中，對(duì)應(yīng)的曲線為右圖的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】時(shí)，達(dá)到最大17. 已知無(wú)窮等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，且，下列條件中，使得恒成立的是( )A. , B. , C. , D. , 【答案】B【解析】, , ，即若，則，不可能成立若，則，B成立18. 設(shè)是定義域?yàn)榈娜齻€(gè)函數(shù)，對(duì)于命題:若，均為增函數(shù)，則中至少有一個(gè)為增函數(shù)；若，均是以為周期的函數(shù)，則均是以為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是( )A. 和均為真命題B. 和均為假命題C. 為真命題，為假命題D. 為假命題，為真命題【答案】D【解析】不成立，可舉反例, , 前兩式作差，可得結(jié)合第三式，可得, 也有正確故選D三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟19. （本題滿分12分）將邊長(zhǎng)為的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè)(1) 求三棱錐的體積(2) 求異面直線與所成角的大小【解析】(1) 連，則為正三角形(2) 設(shè)點(diǎn)在下底面圓周的射影為，連，則為直線與所成角（或補(bǔ)角）連, 為正三角形直線與所成角大小為20（本題滿分14分）有一塊正方形菜地, 所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走。于是，菜地分為兩個(gè)區(qū)域和，其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖(1) 求菜地內(nèi)的分界線的方程(2) 菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值”為。設(shè)是上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算以為一邊，另一邊過(guò)點(diǎn)的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個(gè)更接近于面積的經(jīng)驗(yàn)值【解析】(1) 設(shè)分界線上任一點(diǎn)為，依題意可得(2) 設(shè)，則 設(shè)所表述的矩形面積為，則設(shè)五邊形面積為，則, 五邊形的面積更接近的面積21（本題滿分14分）本題共2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線過(guò)且與雙曲線交于兩點(diǎn)(1) 若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程(2) 設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率【解析】(1)由已知, 取，得, 即漸近線方程為(2)若，則雙曲線為, 設(shè), ，則, , (*)代入(*)式，可得直線的斜率存在，故設(shè)直線為，代入得，且直線的斜率為22（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分已知，函數(shù)(1) 當(dāng)時(shí)，解不等式(2) 若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素，求的取值范圍(3) 設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的差不超過(guò)，求的取值范圍【解析】(1)不等式的解為或(2)依題意， 可得即 當(dāng)時(shí)，方程的解為，代入式，成立當(dāng)時(shí)，方程的解為，代入式，成立當(dāng)且時(shí)，方程的解為若為方程的解，則，即若為方程的解，則，即要使得方程有且僅有一個(gè)解，則綜上，若原方程的解集有且只有一個(gè)元素，則的取值范圍為或或(3)在上單調(diào)遞減依題意，即，即設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞減的取值范圍為23（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分若無(wú)窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱(chēng)具有性質(zhì).(1) 若具有性質(zhì). 且, , , , ，求；(2) 若無(wú)窮數(shù)列是等差數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，判斷是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(3) 設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，已知，求證：“對(duì)任意，都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.【解析】(1)