高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.1.2 集合間的基本關(guān)系教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）

1.1.2集合之間的基本關(guān)系水泡頂翹翹巧學(xué)升華知識I .子集1.子集的定義一般來說，對于兩個集合A和B，如果集合A中的任何元素是集合B中的元素，我們將說這兩個集合具有包含關(guān)系。集合A被稱為集合b的子集。子集研究集合之間的包含關(guān)系，它只與構(gòu)成兩個集合的元素相關(guān)。注：AB(或BA)，讀作“a包括b”(或b包括a)。區(qū)分和比較注意，這里的空半格元素和集合是從屬關(guān)系，在元素和集合之間使用符號“”。集合之間的關(guān)系是包含或相等的，并且在集合之間使用符號“”。2.子集的圖形表示在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉的內(nèi)部來表示集合。這種圖叫做文恩圖。因此，上述集合A和集合B之間的包含關(guān)系可以由下圖表示。對于集合a，b，c，如果AB，BC，那么AC。任何集合A都是自身的子集，即AA。如果是AB，那么文恩圖可以用來表示它們之間的關(guān)系。也就是說，集合a和b的區(qū)域完全重合，或者區(qū)域a在區(qū)域b的內(nèi)部。關(guān)鍵是要注意，在這里設(shè)置的空半格(1)中的元素具有傳遞性。它類似于不等式的傳遞性，即如果ab，bc，ac.(2)Venn圖可以直觀地表示集合之間的關(guān)系，并且表示集合的Venn圖的邊界是一條封閉曲線，它可以是圓、矩形或其他封閉曲線。注意數(shù)據(jù)分析中的空白部分(教科書P8)分析 a A代表集合之間的關(guān)系，即集合a是集合A的子集，而A代表集合和集合元素之間的依賴關(guān)系，即A是集合A的元素，如1 1，2，3，1 1，2，3。3.子集的語言表示集合A中的任何元素x滿足x b，也就是說，任何xA都有xB或abx a，xB例如，已知集合a=1，2，集合b=1，2，3，因為a，AB中的所有元素1B，2B。這對于具有較少元素的有限集合來說是正確的。如果一個給定的集合是一個有限集合還是一個有更多元素的無限集合呢？這只能根據(jù)給定集合的元素的性質(zhì)來證明。特別地，當給定集合A和b的代表性元素是函數(shù)值時，為了證明“AB”，只需要比較這兩個函數(shù)的函數(shù)值范圍。例如，給定集合A=y|y=x2 1，xR，集合B=m|m=n2，nR，集合A和B之間的包含關(guān)系是什么？顯然，集合A和集合B的代表元素都是實數(shù)。結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，它們被簡化為A=y|y1，B=m|m0，因為A中的所有元素都屬于B，所以AB。那么，如何證明集合A不是集合B的子集呢？如果集合a中的元素不是集合b的元素，我們將說集合a不是集合b的子集，集合b被寫成“AB”或“BA”，并被理解為“a不包含b”或“b不包含a”。例如，已知集合a=1，2，集合b=1，3，試圖判斷A和b之間的包含關(guān)系。因為2A和2B，ab；因為3B和3A，BA。由此可見，判斷兩個集合的“包含”與“排除”關(guān)系的關(guān)鍵是看兩個集合中元素之間的關(guān)系。你能根據(jù)這個寫出公共數(shù)集N*，N，z，q，r之間的包含關(guān)系嗎？方法注意這里的空半格(1)判斷A和B之間的包含關(guān)系，通常集合A和B被簡化為最簡單的形式。(2)如果證明了AB，則A中只需要一個元素A就可以生成aB。換句話說，要否認一個問題，只需要一個反例。第二，集合是相等的1.集合等式的定義如果集合a是集合b的子集(AB)，集合b是集合a的子集(BA)，此時，集合a和集合b中的元素是相同的，我們將說集合a和集合b是相等的，表示為a=b集合“A=B”可以用韋恩圖表示為也就是說，集合a和b的區(qū)域完全重合。重要提示：空的半格集合“A=B”在這里意味著集合A和集合B中的元素完全相同，不管集合A和集合B中元素的排列順序如何2.集合等價的證明所謂的“A=B”是指集合A和B中的元素完全相同。例如，嘗試比較集合a=x | x2-1=0和集合b=-1，1之間的關(guān)系。簡化集合a=-1，1，這與集合b中的元素完全相同，因此a=b；當集合A和B中有許多或無限元素時，要證明“A=B”，只需根據(jù)集合中元素的性質(zhì)證明AB和BA。辨別和比較注意，這里的空半格集“A=B”可以與實數(shù)中的結(jié)論“如果ab，ba，則a=b”相比較，即“如果AB和BA，則a=b”三。真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B的至少一個元素不屬于集合A，那么集合A被稱為集合B的適當子集，表示為AB或BA，并且讀取“A真的包含在B中”或“B真的包含在A中”如果是AB，可以用韋恩圖來表示也就是說，代表A的區(qū)域被繪制在代表B的區(qū)域中，但是區(qū)域A不能與區(qū)域B重合對于集合a，b，c，如果AB，BC，那么AC。例如：1 1，2，1，2 1，2，3，因此1 1，2，3。為了證明AB，我們應(yīng)該首先證明AB，然后證明b中至少有一個元素a，所以aA就足夠了。重要的一點是要注意，這里的空半格(1)真子集在子集的前提下研究集合之間的關(guān)系。如果A不是B的子集，那么A一定不是B的適當子集。(2)根據(jù)子集、集相等和真子集的定義，子集包括集相等和真子集兩種情況。(3)“AB”或“AB”是可傳遞的。(4)任何集合都不是它自己的適當子集。四、空集我們稱不包含任何元素的集合為空集，并記為。例如，x2 1=0的實根和由| x | -1的解組成的集合都是空集，因為找不到它們的元素。它規(guī)定空集合是任何集合的子集，也就是說，一些學(xué)生說子集可以定義為由原始集合中的某些元素組成的集合。你認為這種說法合適嗎？答案是沒有。因為空集合是不包含任何元素的集合，所以它不能由集合中的某些元素組成，集合本身也不能理解為由集合中的某些元素組成。你能從上述子集的定義和詳細解釋中寫出集合a=1，2的所有子集嗎？答案顯然是1，2，1，2。雖然空集合是任何集合的子集，但它不是任何集合的適當子集？你能用例子和定義解釋以上兩個問題嗎？根據(jù)適當子集的定義和詳細解釋，你能寫出集合A=1，2的適當子集嗎？顯而易見的答案是，1，2。要點如下：(1)空半格的空集也是空集的子集，即空集是任何非空集的適當子集。(2)一個集合的子集，除了一個空集合之外，其他子集可以看作是由原始集合的部分或全部元素組成的集合。數(shù)據(jù)分析注意這里的空的一半(教科書P8)例3注意：當寫一個集合的子集時，你可以根據(jù)集合中元素的數(shù)量一個一個地寫，但是你必須考慮空集合的特殊集合，因為空集合是任何集合的子集。如果某個集合的適當子集需要被寫入，則該集合本身不能被包含，因為任何集合都是其自身的子集，而不是其自身的適當子集。問題思維研究問題1 0與、和0有何不同？思考：從集合和元素的定義、概念以及它們之間的關(guān)系來思考。查詢：0是由一個元素0組成的有限集合，它是一個沒有任何元素的集合。因此，0不能寫成=0或 0。同理，是一個由一個元素組成的有限集合，它是一個沒有任何元素的集合。因此，或或。問題2:集合中元素的數(shù)量與集合的子集和適當子集的數(shù)量之間有什么關(guān)系？思路：我們可以通過例子總結(jié)出一般規(guī)律。詢問：如果你寫a，b，a，b，c的所有子集，那么a，b的所有子集是：a，b，a，b，所以有4個子集和3個適當?shù)淖蛹?；a，b，c的所有子集是：a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，a，b，c，a，b，c，8個子集和7個適當子集。因此，集合中子集的數(shù)量與集合中元素的數(shù)量相關(guān)。如果一個集合包含N個元素，它有2n個子集，2n-1個真子集和22-2個非空真子集。新話題例1 m=x | 3 x 4=，a=，那么下