2020年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)考前查漏補(bǔ)缺題（理）

2020年廣州市高考數(shù)學(xué)考前查漏補(bǔ)缺題 （理 科）說明： 本訓(xùn)練題由廣州市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)高三中心組組織編寫，共28題，分為A，B兩組，其中B組題較難。 本訓(xùn)練題僅供本市高三學(xué)生考前查漏補(bǔ)缺用，希望在5月31日之前完成。3本訓(xùn)練題與市高三質(zhì)量抽測(cè)、一模、二模等數(shù)學(xué)試題在內(nèi)容上相互配套，互為補(bǔ)充。四套試題覆蓋了高中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)和方法。因此，希望同學(xué)們?cè)?月31日至6月6日之間，安排一段時(shí)間，對(duì)這四套試題進(jìn)行一次全面的回顧總結(jié)，同時(shí)，將高中數(shù)學(xué)課本中的基本知識(shí)（如概念、定理、公式等）再復(fù)習(xí)一遍。希望同學(xué)們保持良好的心態(tài)，在高考中取得自己理想的成績！A 組1已知點(diǎn),.(1) 若, 求的值;(2) 若其中為坐標(biāo)原點(diǎn), 求的值.2. 已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）用五點(diǎn)法畫出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；（3）若，求函數(shù)的最大值和最小值；（4）若，求的值.3已知向量.（1）求.（2）若，且的值.4. 在ABC中，.(1) 求角C的大小; (2) 若ABC最長邊的長為，求ABC最短邊的長.5若是公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等比數(shù)列. （1）求數(shù)列的公比； （2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.6某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天，第二天分別生產(chǎn)出了1件、2件次品，而質(zhì)檢部每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過. （1）求第一天通過檢查的概率； （2）求前兩天全部通過檢查的概率；（3）若廠內(nèi)對(duì)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制：兩天全不通過檢查得0分，通過1天、2天分別得1分、2分，求該車間在這兩天內(nèi)得分的數(shù)學(xué)期望7某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為.一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失.現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用.單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需費(fèi)用分別為45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為和.若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用、聯(lián)合采用或不采用，請(qǐng)確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少. （總費(fèi)用采取預(yù)防措施的費(fèi)用發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值）8某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場(chǎng)分析知道：一年后可能獲利10，可能損失10，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為，；如果投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利20，也可能損失20，這兩種情況發(fā)生的概率分別為. 如果把10萬元投資甲項(xiàng)目，用表示投資收益，求的概率分布及； 若把10萬元投資乙項(xiàng)目的收益不低于投資甲項(xiàng)目的收益，求的取值范圍.（注：收益回收資金-投資資金）ADCEBF9. 已知在多面體ABCDE中，AB平面ACD，DEAB，AC = AD = CD = DE = 2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)（1）求證：AF平面CDE；（2）求平面ABC和平面CDE所成的小于90的二面角的大小.10如圖，矩形中，為上的點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）求證；（3）求三棱錐的體積.ABCPM 11如圖所示幾何體中，平面PAC平面，PA = PC,，若該幾何體左視圖（側(cè)視圖）的面積為（1）求證：PABC；（2）畫出該幾何體的主視圖（正視圖）并求其面積S； （3）求出多面體的體積V主視方向12.設(shè)函數(shù).（1）求的表達(dá)式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值和極小值；（3）若時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.13.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，在橢圓上，且 .(1)求橢圓方程；(2)若直線過圓的圓心，交橢圓于兩點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方程.14已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)是（1）中橢圓的左、右頂點(diǎn)，作垂直于軸的動(dòng)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程.15已知拋物線的對(duì)稱軸為，且與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)的圓記為.(1) 求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 設(shè)拋物線與軸的左交點(diǎn)為A，直線是拋物線在點(diǎn)A處的切線，試判斷直線是否也是圓的切線？并說明理由.16設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意N，都有為常數(shù)，且. （1）求證數(shù)列為等比數(shù)列； （2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足 N，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.17已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和中，成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若對(duì)一切N恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值18制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？19.某公司為了應(yīng)對(duì)金融危機(jī)，決定適當(dāng)進(jìn)行裁員已知這家公司現(xiàn)有職工人，每人每年可創(chuàng)利潤10萬元根據(jù)測(cè)算，在經(jīng)營條件不變的前提下，若裁員人數(shù)不超過現(xiàn)有人數(shù)的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利潤0.1萬元；若裁員人數(shù)超過現(xiàn)有人數(shù)的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利潤0.12萬元為保證公司的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，留崗的員工數(shù)不得少于現(xiàn)有員工人數(shù)的70%為保障被裁員工的生活，公司要付給被裁員工每人每年2萬元的生活費(fèi)設(shè)公司裁員人數(shù)為，公司一年獲得的純收入為萬元（注：年純收入年利潤裁員員工的生活費(fèi)）（1） 求出與的函數(shù)關(guān)系式；（2） 為了獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？20某地區(qū)有荒山2200畝，從2002年開始每年年初在荒山上植樹造林，第一年植樹100畝，以后每年比上一年多植樹50畝（1）若所植樹全部成活，則到哪一年可以將荒山全部綠化？（2）若每畝所植樹苗木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率為20，那么到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量是多少？（精確到立方米, ）B 組21. 設(shè)數(shù)列滿足N, 其中為實(shí)數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，N, 求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若對(duì)任意成立，證明；22已知正項(xiàng)數(shù)列和中，.當(dāng)時(shí)， .（1） 證明：對(duì)任意N，有；（2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3） 記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.23已知數(shù)列和（其中且），滿足，且（1）求證：；（2）求證：數(shù)列單調(diào)遞減且.24若函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底）（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,求實(shí)數(shù)的值25. 已知函數(shù)在上是增函數(shù)，（1）求正數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，求證：26已知函數(shù)和其中（1）若函數(shù)與的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)恰好在軸上，求的值；（2）若和是方程的兩根，且滿足，證明：當(dāng)時(shí)，27已知函數(shù)，函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，且在其定義域內(nèi)存在零點(diǎn)（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.（1）求的值；（2）設(shè)是函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），試比較與的大小，并說明理由.28.已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為，是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足，過作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交橢圓于兩點(diǎn). （1）求點(diǎn)坐標(biāo)； （2）求證直線的斜率為定值； （3）求面積的最大值.2020年廣州市高考數(shù)學(xué)考前查漏補(bǔ)缺（理 科）參考答案1.解：(1) , . , . 化簡(jiǎn)得. （若則, 上式不成立）， . (2) , . . . 2.解：（1） 函數(shù)的最小正周期 （2）列表： 描點(diǎn)，連線，得函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.（3），當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值2.當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)有最小值1 （4）由已知得，得. ，. . .3.解：（1），, . （2）. 由 ， 得. 由 ， 得. .4.解：（1）， ，（2）, 邊最長，即， 角最小，邊為最短邊由 且，解得由正弦定理得， 得最短邊的長5.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得，即， 得. ，.故公比. （2），. .6.解：（1）隨意抽取4件產(chǎn)品檢查是隨機(jī)事件，而第一天有9件正品 第一天通過檢查的概率為（2）同（1），第二天通過檢查的概率為 因第一天，第二天是否通過檢查相互獨(dú)立 所以，兩天全部通過檢查的概率為：（3）記得分為，則的值分別為0，1，2 ； ； . 的分布列為012 .7.解：不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用即損失期望值為（萬元）；若單獨(dú)采用措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失期望值為（萬元），所以總費(fèi)用為（萬元）；若單獨(dú)采用措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失期望值為（萬元），所以總費(fèi)用為（萬元）；若聯(lián)合采用甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為45+30=75（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失期望值為（萬元），所以總費(fèi)用為（萬元）.綜合、，比較其總費(fèi)用可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采用甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)用最少.8.解：（1）依題意，的可能取值為1，0，-1 則的分布列為：10= （2）設(shè)表示10萬元投資乙項(xiàng)目的收益，則的分布列為： . 依題意要求：，解得.9.（1）證明：AB平面ACD，ABDE，DE平面ACD， AF平面ACD，DEAF又AC=AD=CD，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，AFCDDE平面CDE，CD平面CDE，CDDED，AF平面CDE （2）解法1：ABDE，AB平面CDE，DE平面CDE，AB平面CDE，ADCEBFxyzO設(shè)平面ABC平面CDEl，則lAB即平面ABC與平面CDE 所成的二面角的棱為直線lAB平面ADC，l平面ADClAC，lDCACD為平面ABC與平面CDE所成二面角的平面角ACADCD，ACD60，平面ABC和平面CDE所成的小于90的二面角的大小為60 解法2：如圖，以F為原點(diǎn)，過F平行于DE的直線為x軸，F(xiàn)C，F(xiàn)A所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)C2，A(0，0，)，設(shè)ABx，B(x，0，)，C(0，1，0)(x，0，0)，(0，1，)，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n(a，b，c)，則由n0，n0，得a0，bc，不妨取c1，則n(0，1)AF平面CDE，平面CDE的一個(gè)法向量為 (0，0，)cosn，n，60 平面ABC與平面CDE所成的小于90的二面角的大小為6010. （1）證明：， , ，, . ，, ., . （2）證明：依題意可知：是中點(diǎn), ., 是中點(diǎn). 在中，, , . （3）解： ，. . 是中點(diǎn),是中點(diǎn), 且 , 在Rt中，., . 11.解：（1），BC=2，平面PAC平面，平面PAC平面=AC,BC平面PAC PA平面PAC， PABC.（2）該幾何體的主視圖如下： PA = PC，取AC的中點(diǎn)D，連接PD，則PDAC，又平面PAC平面，則PD平面ABC，幾何體左視圖的面積=PD=，并易知是邊長為1的正三角形，主視圖的面積是上、下底邊長分別為1和2，PD的長為高的直角梯形的面積，S= （3）取PC的中點(diǎn)N，連接AN，由是邊長為1的正三角形，可知ANPC，由（1）BC平面PAC，可知ANBC，AN平面PCBM，AN是四棱錐APCBM的高且AN= ，由BC平面PAC，可知BCPC，由可知四邊形PCBM是上、下底邊長分別為1和2，PC的長1為高的直角梯形，其面積12.解：（1）.（2）,.則當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：+00+遞增遞減-9+1遞增當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為；當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為.（3）因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，且其圖象的開口向上， 所以在區(qū)間上是增函數(shù). 則在區(qū)間上恒有，等價(jià)于的最小值大于成立. 所以. 解得. 又，則的取值范圍是.13.解:(1),.所以橢圓.(2)設(shè),即又因圓的方程為,所以 (-3,1),又因關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即為的中點(diǎn)，,.，即.14.解：（1）設(shè)橢圓方程為. 由橢圓的定義，得. .故所求橢圓的方程為.（2）設(shè)，軸，由橢圓的對(duì)稱性知.由直線與交于點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，得 得（*）由得代入（*）式得.由，得， 點(diǎn)的軌跡方程為.15.解：（）由拋物線的對(duì)稱軸為知.拋物線與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，否則拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，與題設(shè)不符由知，拋物線與軸有一個(gè)非原點(diǎn)的交點(diǎn)，故拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根.即的取值范圍是或（）設(shè)拋物線與軸的交點(diǎn)為C,與軸的另一交點(diǎn)為B,令得，令得解得,.解法：.直線的斜率 .圓過A、B、C三點(diǎn)，圓心M為線段AB與AC的垂直平分線的交點(diǎn),AB的垂直平分線即拋物線的對(duì)稱軸,線段AC的中點(diǎn)為，直線AC的斜率,線段AC的垂直平分線方程為-()將代入()式解得，即. ，若直線也是圓的切線，則即,解得.這與或矛盾. 直線不可能是圓的切線 解法：.直線的斜率.設(shè)圓的方程為,圓過,，,解得 圓心 .，若直線也是圓的切線，則即解得.這與或矛盾. 直線不可能是圓的切線16.解：（1）由已知 得 -得， 即對(duì)任意N都成立. 為常數(shù)，且，即數(shù)列為等比數(shù)列，公比為. （2）當(dāng)時(shí)，得，從而. 由（1）知， ，即. 為等差數(shù)列.17.解：（1）若，則顯然，不構(gòu)成等差數(shù)列.，當(dāng)時(shí)，由，成等差數(shù)列得 ，,. .（2）由 得 又. 的最小值為.18.解：設(shè)投資人分別用萬元、萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，由題意知目標(biāo)函數(shù).上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域.作直線，并作平行于的一組直線，R，與可行域相交，其中一條直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)，且與直線的距離最大，這里點(diǎn)是直線和的交點(diǎn).解方程組解得此時(shí)（萬元），當(dāng)時(shí)，取得最大值.答：投資人用4萬元投資甲項(xiàng)目，6萬元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大.19.解：（1）當(dāng)，即， 當(dāng)時(shí)， 與的函數(shù)關(guān)系式為， （2）由，而，則時(shí)，； 由而，則時(shí)，； 由于，則當(dāng)時(shí)，公司獲利最大， 答：裁員50人時(shí)，公司獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益 20.解：（1）設(shè)植樹年后可將荒山全部綠化，記第年初植樹量為，依題意知數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，則，即 到2020年初植樹后可以將荒山全部綠化 （2）2002年初木材量為，到2020年底木材量增加為,2020年初木材量為，到2020年底木材量增加為,2020年初木材量為，到2020年底木材量增加為.則到2020年底木材總量-得2答：到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為90602.21. (1) 法1：， 當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列. ，即 .當(dāng)時(shí)，仍滿足上式. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .法2：由題設(shè)得：當(dāng)時(shí).時(shí)，也滿足上式.數(shù)列的通項(xiàng)公式為 . (2) 由（1）得 (3) 由（1）知若，則 由對(duì)任意成立，知.下面證，用反證法假設(shè)，即 恒成立 （）為常數(shù)， （）式對(duì)不能恒成立，導(dǎo)致矛盾，.22.（1）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)時(shí)，命題成立； 假設(shè)時(shí)命題成立，即，則當(dāng)時(shí)， .當(dāng)時(shí)，命題也成立.綜合、知，對(duì)任意N都成立.（2）解：， ，即. （*） 數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)是. ，從而.（3）解：， （*）式可變形為， . .23.（1）證明：且，又，.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)時(shí)，由，得； 假設(shè)時(shí)命題成立，即，則 .時(shí)，命題也