Simulink建模與仿真 第3章 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型及其Simulink表示

第3章動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型及其Simulink表示,3.1簡(jiǎn)單系統(tǒng)模型及表示3.2離散系統(tǒng)模型及表示3.3連續(xù)系統(tǒng)模型及表示3.4混合系統(tǒng)模型及表示,3.1簡(jiǎn)單系統(tǒng)模型及表示,3.1.1簡(jiǎn)單系統(tǒng)的基本概念不同系統(tǒng)具有不同數(shù)量的輸入與輸出；一般來(lái)說(shuō)，輸入輸出數(shù)目越多，系統(tǒng)越復(fù)雜。最簡(jiǎn)單的系統(tǒng)一般只有一個(gè)輸入與一個(gè)輸出，而且任意時(shí)刻的輸出只與當(dāng)前時(shí)刻的輸入有關(guān)。本節(jié)首先介紹簡(jiǎn)單系統(tǒng)的基本概念以及簡(jiǎn)單系統(tǒng)的Simulink表示。,【定義3.1】簡(jiǎn)單系統(tǒng)。對(duì)于滿足下列條件的系統(tǒng)，我們稱之為簡(jiǎn)單系統(tǒng)：(1)系統(tǒng)某一時(shí)刻的輸出直接且唯一依賴于該時(shí)刻的輸入量。(2)系統(tǒng)對(duì)同樣的輸入，其輸出響應(yīng)不隨時(shí)間的變化而變化。(3)系統(tǒng)中不存在輸入的狀態(tài)量，所謂的狀態(tài)量是指系統(tǒng)輸入的微分項(xiàng)（即輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）。,設(shè)簡(jiǎn)單系統(tǒng)的輸入為x，系統(tǒng)輸出為y，x可以具有不同的物理含義。對(duì)于任何系統(tǒng)，都可以將它視為對(duì)輸入變量x的某種變換，因此可以用T表示任意一個(gè)系統(tǒng)，即yTx對(duì)于簡(jiǎn)單系統(tǒng)，x一般為時(shí)間變量或其它的物理變量，并具有一定的輸入范圍。系統(tǒng)輸出變量y僅與x的當(dāng)前值相關(guān)，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，y是x的一個(gè)函數(shù)，給出一個(gè)x值，便有一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)。,【例3.1】對(duì)于如下的一個(gè)系統(tǒng)：,其中為系統(tǒng)的輸入變量，為時(shí)間變量，y為系統(tǒng)的輸出變量。輸入變量。很顯然，此系統(tǒng)服從簡(jiǎn)單系統(tǒng)的條件，為一簡(jiǎn)單系統(tǒng)。系統(tǒng)輸出僅由系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的輸入決定。,3.1.1簡(jiǎn)單系統(tǒng)的描述方式一般來(lái)講，簡(jiǎn)單系統(tǒng)都可以采用代數(shù)方程與邏輯結(jié)構(gòu)相結(jié)合的方式進(jìn)行描述。1.代數(shù)方程采用數(shù)學(xué)方程對(duì)簡(jiǎn)單系統(tǒng)進(jìn)行描述，可以很容易由系統(tǒng)輸入求出系統(tǒng)輸出，并且由此可方便地對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定量分析。2.邏輯結(jié)構(gòu)一般來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)輸入都有一定的范圍。對(duì)于不同范圍的輸入，系統(tǒng)輸出與輸入之間遵從不同的關(guān)系。由系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)可以很容易了解系統(tǒng)的基本概況。,3.1.1簡(jiǎn)單系統(tǒng)的Simulink描述本章主要介紹動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的基本知識(shí)，為使用Simulink進(jìn)行系統(tǒng)仿真打下基礎(chǔ)。因此這里并不準(zhǔn)備建立系統(tǒng)的Simulink模型，而是采用編寫M腳本文件的方式對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述并進(jìn)行簡(jiǎn)單的仿真。下面以【例3.1】中的簡(jiǎn)單系統(tǒng)為例，說(shuō)明在Simulink中如何對(duì)簡(jiǎn)單系統(tǒng)進(jìn)行描述。,【例3.1】中的簡(jiǎn)單系統(tǒng)，編寫如下的systemdemo1.m腳本文件進(jìn)行描述與分析。%systemdemo1.m文件u=0:0.1:10;%設(shè)定系統(tǒng)輸入范圍與仿真步長(zhǎng)leng=length(u);%計(jì)算系統(tǒng)輸入序列長(zhǎng)度f(wàn)ori=1:leng%計(jì)算系統(tǒng)輸出序列ifu(i)num=215;den=1362;dbode(num,den,1)grid;此離散系統(tǒng)的Bode圖如圖3.3所示。,當(dāng)然也可以用下面的語(yǔ)句求出系統(tǒng)的幅值與相位而不繪制圖形：mag,phase=dbode(num,den,1);,圖3.3線性離散系統(tǒng)的Bode圖,此外，在MATLAB中，離散系統(tǒng)的不同描述模型之間可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。這里給出幾個(gè)比較常用的函數(shù)：zeros,poles,k=tf2zp(num,den)%將系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為零極點(diǎn)模型num,den=zp2tf(zeros,poles,k)%將系統(tǒng)零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)模型。其中num，den分別為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表%示；zeros，poles，k為系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型,至于線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型描述，這里不再介紹，感興趣的讀者可以參考其它有關(guān)的書籍。這里給出它與傳遞函數(shù)模型、零極點(diǎn)模型相互轉(zhuǎn)化的函數(shù)命令：zeros,poles,k=ss2zp(F,G,C,D)%將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為零極點(diǎn)模型F,G,C,D=zp2ss(zeros,poles,k)%將系統(tǒng)零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型num,den=ss2tf(F,G,C,D)%將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)模型F,G,C,D=tf2ss(num,den)%將系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型,例3.5以線性離散系統(tǒng)為例說(shuō)明系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)化。解：將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為零極點(diǎn)模型：num=215;den=1362;zeros,poles,k=tf2zp(num,den)結(jié)果為,zeros=1.8508-1.3508poles=-1.2980+1.8073i-1.2980-1.8073i-0.4039k=2.0000,將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型：num=2-1-5;den=1362;F,G,C,D=tf2ss(num,den)結(jié)果為F=-3.0000-6.0000-2.00001.00000001.00000,G=100C=2.00001.00005.0000D=0第5章將對(duì)系統(tǒng)仿真作詳細(xì)的介紹，在此不再贅述。,3.3連續(xù)系統(tǒng)模型及表示,3.1.1連續(xù)系統(tǒng)的基本概念與離散系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)是指系統(tǒng)輸出在時(shí)間上連續(xù)變化，而非僅在離散的時(shí)刻采樣取值。連續(xù)系統(tǒng)的應(yīng)用非常廣泛，下面給出連續(xù)系統(tǒng)的基本概念。,【定義3.4】連續(xù)系統(tǒng)。滿足如下條件的系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)：(1)系統(tǒng)輸出連續(xù)變化。變化的間隔為無(wú)窮小量。(2)對(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述來(lái)說(shuō)，存在系統(tǒng)輸入或輸出的微分項(xiàng)（導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）。(3)系統(tǒng)具有連續(xù)的狀態(tài)。在離散系統(tǒng)中，系統(tǒng)的狀態(tài)為時(shí)間的離散函數(shù)，而連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)為時(shí)間連續(xù)量。,3.1.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的輸入變量為，其中為連續(xù)取值的時(shí)間變量，設(shè)系統(tǒng)的輸出為；由連續(xù)系統(tǒng)的基本概念可以寫出連續(xù)系統(tǒng)的最一般的數(shù)學(xué)描述，即系統(tǒng)的實(shí)質(zhì)為輸入變量到輸出變量的變換，注意這里系統(tǒng)的輸入變量與輸出變量既可以是標(biāo)量（單輸入單輸出系統(tǒng)），也可以是向量（多輸入多輸出系統(tǒng)）；而且在系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述中含有系統(tǒng)輸入或輸出的導(dǎo)數(shù)。,除了采用最一般的數(shù)學(xué)方程描述連續(xù)系統(tǒng)外，還可以使用連續(xù)系統(tǒng)的微分方程形式對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行描述，即這里分別為連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量、狀態(tài)變量的微分。對(duì)于線性連續(xù)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，由連續(xù)系統(tǒng)的微分方程描述可以容易地推導(dǎo)出連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。這與使用差分方程對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行描述相類似。下面舉例說(shuō)明連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述。,【例3.6】對(duì)于如下的連續(xù)系統(tǒng)：顯然此系統(tǒng)為單輸入單輸出連續(xù)系統(tǒng)，且含有輸入變量的微分項(xiàng)。由此方程可以很容易得出系統(tǒng)的輸出變量為,t0,t0,3.3.3連續(xù)系統(tǒng)的Simulink描述前面給出了連續(xù)系統(tǒng)的基本概念與系統(tǒng)的基本描述方法：數(shù)學(xué)方程描述與微分方程描述。本部分使用【例3.6】給出的連續(xù)系統(tǒng)說(shuō)明如何利用Simulink對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行描述，并在此基礎(chǔ)上對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)單分析。與前面類似，在此并不建立系統(tǒng)的Simulink模型進(jìn)行仿真，而是采用編寫M腳本文件從原理上對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行說(shuō)明，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的仿真。,【例3.7】編寫腳本文件systemdemo3.m，對(duì)【例3.6】中的連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行分析。%systemdemo3.m腳本文件t=0:0.1:5;%系統(tǒng)仿真范圍，時(shí)間間隔為0.1sut=t+sin(t);%系統(tǒng)輸入變量utdot=1+cos(t);%系統(tǒng)輸入變量的導(dǎo)數(shù)yt=ut+utdot;%系統(tǒng)輸出plot(yt);grid;%繪制系統(tǒng)輸出曲線圖3.4為此連續(xù)系統(tǒng)在時(shí)間0,5內(nèi)的輸出曲線。由此可見，使用簡(jiǎn)單的MATLAB語(yǔ)句可對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析。,圖3.4連續(xù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系圖,3.3.4線性連續(xù)系統(tǒng)在介紹線性離散系統(tǒng)時(shí)，已經(jīng)給出線性系統(tǒng)的基本概念，這里做一個(gè)簡(jiǎn)單的回顧并介紹線性連續(xù)系統(tǒng)的概念。連續(xù)系統(tǒng)可以用如下的方式來(lái)表達(dá)：【定義3.5】線性連續(xù)系統(tǒng)。如果一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)能夠同時(shí)滿足如下的性質(zhì)：(1)齊次性。對(duì)于任意的參數(shù)，系統(tǒng)滿足,(2)疊加性。對(duì)于任意輸入變量與，系統(tǒng)滿足則此連續(xù)系統(tǒng)為線性連續(xù)系統(tǒng)。下面舉例說(shuō)明。如對(duì)【例3.6】中的連續(xù)系統(tǒng)：,t0,3.3.5線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述線性連續(xù)系統(tǒng)最一般的描述為連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出方程形式，即，也可以使用連續(xù)系統(tǒng)的微分方程模型進(jìn)行描述：除了使用這兩種連續(xù)系統(tǒng)通用的形式描述線性連續(xù)系統(tǒng)之外，還可以使用傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)模型與狀態(tài)空間模型對(duì)其進(jìn)行描述。與線性離散系統(tǒng)相類似，線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型與零極點(diǎn)模型采用連續(xù)信號(hào)的拉氏變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。,拉氏變換具有如下兩個(gè)性質(zhì)：(1)線性性。即對(duì)于連續(xù)信號(hào)和，設(shè)它們的拉氏變換分別為與，則拉氏變換的線性性是指拉氏變換滿足下面的關(guān)系：(2)設(shè)連續(xù)信號(hào)的拉氏變換為，則的拉氏變換為，的拉氏變換為。,同時(shí)對(duì)等式的兩邊進(jìn)行拉氏變換，則有。將其化為分式的形式，則有這便是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。一般來(lái)說(shuō)，線性連續(xù)系統(tǒng)的拉氏變換總可以寫成如下傳遞函數(shù)的形式：,將其進(jìn)行一定的等價(jià)變換，可以得出線性連續(xù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型：其中為線性連續(xù)系統(tǒng)的零點(diǎn)，、為系統(tǒng)的極點(diǎn)，為系統(tǒng)的增益。線性連續(xù)系統(tǒng)的另外一種模型為狀態(tài)空間模型。前面已經(jīng)提到，對(duì)于線性連續(xù)系統(tǒng)，使用其微分方程很容易推導(dǎo)出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。這里給出線性連續(xù)系統(tǒng)用狀態(tài)空間模型進(jìn)行描述的一般方式：,其中，為線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量，分別為系統(tǒng)的輸入與輸出變量，可以為標(biāo)量，也可以為向量。下面介紹如何在Simulink中實(shí)現(xiàn)對(duì)線性連續(xù)系統(tǒng)的描述。,3.1.1線性連續(xù)系統(tǒng)的Simulink描述一般來(lái)說(shuō)，在Simulink中對(duì)線性連續(xù)系統(tǒng)的描述方式有以下三種：(1)線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型描述：在Simulink中，傳遞函數(shù)表示為num=n0,n1;den=d0,d1,d2;其中num表示傳遞函數(shù)的分子系數(shù)向量，den為分母系數(shù)向量。,(2)線性連續(xù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型描述：在Simulink中，零極點(diǎn)模型表示為gain=k;zeros=z1;poles=p1,p2;其中g(shù)ain表示系統(tǒng)增益，zeros表示系統(tǒng)零點(diǎn)，poles表示系統(tǒng)極點(diǎn)。(3)線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型描述：如果系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示為則在Simulink中直接輸入變換矩陣A，B，C，D即可。,一般來(lái)說(shuō)，線性連續(xù)系統(tǒng)的不同模型之間可以相互轉(zhuǎn)化，MATLAB中有內(nèi)置的函數(shù)可以完成線性連續(xù)系統(tǒng)模型間的轉(zhuǎn)化。我們?cè)诰€性離散系統(tǒng)模型間轉(zhuǎn)化中已經(jīng)做了介紹，這里僅列出這些函數(shù)原型：zeros,poles,k=tf2zp(num,den);num,den=zp2tf(zeros,poles,k)；zeros,poles,k=ss2zp(A,B,C,D);A,B,C,D=zp2ss(zeros,poles,k)num,den=ss2tfA,B,C,D)A,B,C,D=tf2ss(num,den),【例3.8】對(duì)于如下采用傳遞函數(shù)模型進(jìn)行描述的線性連續(xù)系統(tǒng)：要求繪制此系統(tǒng)的Bode圖、Nyquist圖，并求取系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型與狀態(tài)空間模型描述。解：在MATLAB中輸入下面的語(yǔ)句即可：num=1,-3;den=2,-3,-5;w=logspace(-1,1);,subplot(2,1,1);bode(num,den,w);subplot(2,1,2);nyquist(num,den,w);zeros,poles,k=tf2zp(num,den)A,B,C,D=tf2ss(num,den)系統(tǒng)的Bode圖與Nyquist圖如圖3.5所示。,圖3.5線性連續(xù)系統(tǒng)的Bode圖與Nyquist圖,系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型與狀態(tài)空間模型如下所示：zeros=3poles=2.5000-1.0000k=0.5000A=1.50002.50001.00000,B=10C=0.5000-1.5000D=0,3.4混合系統(tǒng)模型及表示,3.4.1混合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述混合系統(tǒng)是由不同類型的系統(tǒng)共同構(gòu)成的，因此混合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述可以由不同類型系統(tǒng)描述共同構(gòu)成。但是由于混合系統(tǒng)的復(fù)雜性，一般難以用單獨(dú)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述或表達(dá)，因此混合系統(tǒng)一般都是由系統(tǒng)各部分輸入與輸出間的數(shù)學(xué)方程所共同描述的，下面舉例說(shuō)明。,【例3.9】對(duì)于如下的一個(gè)混合系統(tǒng)：設(shè)系統(tǒng)的輸入為一離散變量，系統(tǒng)由離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)串聯(lián)構(gòu)成，其中離散系統(tǒng)輸出經(jīng)過(guò)一個(gè)零階保持器后作為連續(xù)系統(tǒng)的輸入。其中離散系統(tǒng)的輸入輸出方程為且，系統(tǒng)采樣時(shí)間為Ts=1s。連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出方程為由于此混合系統(tǒng)中離散系統(tǒng)的輸出經(jīng)過(guò)一零階保持器后作為連續(xù)系統(tǒng)的輸入，因此與的數(shù)學(xué)關(guān)系為,其中Ts=1s為離散系統(tǒng)的采樣時(shí)間。故此混合系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系可以由下面的方程來(lái)描述：,3.4.2混合系統(tǒng)的Simulink描述與簡(jiǎn)單分析在對(duì)單獨(dú)離散系統(tǒng)或連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行描述時(shí)，由于系統(tǒng)一般比較簡(jiǎn)單，因而可以采用諸如差分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間等模型表示。但對(duì)于混合系統(tǒng)，由于系統(tǒng)本身的復(fù)雜性，即使是很簡(jiǎn)單的混合系統(tǒng)，如【例3.9】給出的例子，都難以用一個(gè)簡(jiǎn)單的模型進(jìn)行描述。因此，這里采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方式對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述與分析。,【例3.10】編寫M腳本文件systemdemo4.m，對(duì)【例3.9】中的混合系統(tǒng)進(jìn)行分析。%systemdemo4.m文件t=1:0.1:99.9;%表示在時(shí)間1，99.9范圍內(nèi)分析系統(tǒng)。時(shí)間間隔0.1sn=1:100;%表示系統(tǒng)輸入時(shí)刻為1100sun=0.5*n;%表示系統(tǒng)輸入u(n)yn=un+1;%表示系統(tǒng)中離散部分的輸出，即連續(xù)部分的輸入fori=1:length(n)-1forj=1:length(t),ift(j)=n(i)%繪制系統(tǒng)輸出曲線圖系