安徽省六安二中、霍邱一中、金寨一中三校2018-2019學年高二數(shù)學下學期期末考試試題 理（含解析）

安徽省六安二中、霍邱一中、金寨一中三校2018-2019學年高二數(shù)學下學期期末考試試題 理（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，則( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解出集合，再根據(jù)集合的并集運算，即可求解出答案。【詳解】由題意得，集合又因為所以，故答案選b?！军c睛】本題主要考查了利用指數(shù)函數(shù)得性質(zhì)解不等式以及集合的基本運算。2.已知復數(shù)，若，則實數(shù)的值為( )a. b. 6c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)題目復數(shù)，且，利用復數(shù)的除法運算法則，將復數(shù)z化簡成的形式，再令虛部為零，解出的值，即可求解出答案?！驹斀狻?，則故答案選d?！军c睛】本題主要考查了利用復數(shù)的除法運算法則化簡以及根據(jù)復數(shù)的概念求參數(shù)。3.袋中有大小完全相同的2個紅球和2個黑球，不放回地依次摸出兩球，設“第一次摸得黑球”為事件，“摸得的兩球不同色”為事件，則概率為( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題目可知，求出事件a的概率，事件ab同時發(fā)生的概率，利用條件概率公式求得，即可求解出答案?！驹斀狻恳李}意，則條件概率故答案選b。【點睛】本題主要考查了利用條件概率的公式計算事件的概率，解題時要理清思路，注意的求解。4.已知隨機變量，若，則的值為( )a. 0.1b. 0.3c. 0.6d. 0.4【答案】d【解析】【分析】根據(jù)題意隨機變量可知其正態(tài)分布曲線的對稱軸，再根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求解，即可得出答案?！驹斀狻扛鶕?jù)正態(tài)分布可知，故故答案選d?！军c睛】本題主要考查了根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)求指定區(qū)間的概率。5.“”是“”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】d【解析】取，則，但，故；取，則，但是，故，故“ ”是“ ”的既不充分也不必要條件，選d.6.某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）關于產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)為；生產(chǎn)成本（萬元）關于產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)為，為使利潤最大，應生產(chǎn)產(chǎn)品( )a. 9千臺b. 8千臺c. 7千臺d. 6千臺【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意得到利潤關于產(chǎn)量的函數(shù)式，再由導數(shù)求得使利潤最大時的產(chǎn)量，即可求解出答案?！驹斀狻吭O利潤為萬元，則，令，得，令，得，當時，取最大值，故為使利潤最大，應生產(chǎn)8千臺選b.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值來解決實際問題。7.已知變量，之間具有線性相關關系，其回歸方程為，若，則的值為( )a. b. c. d. 1【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意，可知，代入即可求這組樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程，即可求解出答案?！驹斀狻恳李}意知，而直線一定經(jīng)過點，所以，解得故答案選a?！军c睛】本題主要考查了根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)求回歸直線，線性回歸直線過點，這個點稱為樣本點的中心，回歸直線一定過此點。8.若，0，1，2，3，6，則的值為( )a. b. c. 1d. 2【答案】c【解析】【分析】根據(jù)題意，采用賦值法，令得，再將原式化為根據(jù)二項式定理的相關運算，求得，從而求解出正確答案。【詳解】在中，令得，由，可得，故故答案選c?！军c睛】本題考查二項式定理的知識及其相關運算，考查考生的靈活轉(zhuǎn)化能力、分析問題和解決問題的能力。9.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意函數(shù)在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在恒成立，利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，列出相應的不等式，即可求解出的取值范圍?！驹斀狻恳驗楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，因為，所以，即故答案選a?！军c睛】本題考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，解題時常與導數(shù)的性質(zhì)與應用相結(jié)合。10.將正整數(shù)1，2，3，4，按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組，則第20行從右往左數(shù)第1個數(shù)是( )a. 397b. 398c. 399d. 400【答案】d【解析】【分析】根據(jù)圖中數(shù)字排列規(guī)律可知，第行共有項，且最后一項為，從而可推出第20行最后1個數(shù)的值，即可求解出答案?！驹斀狻坑扇切螖?shù)組可推斷出，第行共有項，且最后一項為，所以第20行，最后一項為400故答案選d。【點睛】本題主要考查歸納推理的能力，歸納推理是由特殊到一般，由具體到抽象的一種推理形式，解題時，要多觀察實驗，對有限的資料進行歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想。11.已知雙曲線c：的離心率為2，左右焦點分別為，點a在雙曲線c上，若的周長為10a，則面積為（）a. b. c. d. 【答案】b【解析】點在雙曲線上，不妨設點在雙曲線右支上，所以，又的周長為.得.解得.雙曲線的離心率為，所以，得.所以.所以，所以為等腰三角形.邊上的高為.的面積為.故選b.12.如圖，用5種不同的顏色把圖中、四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有( )a. 200種b. 160種c. 240種d. 180種【答案】d【解析】【分析】根據(jù)題意可知，要求出給四個區(qū)域涂色共有多少種方法，需要分步進行考慮；對區(qū)域a、b、c、d按順序著色，推出其各有幾種涂法，利用分步乘法計數(shù)原理，將各區(qū)域涂色的方法數(shù)相乘，所得結(jié)果即為答案?！驹斀狻客坑?種涂法，有4種，有3種，因為可與同色，故有3種，由分步乘法計數(shù)原理知，不同涂法有種故答案選d?！军c睛】本題考查了排列組合中的涂色問題，處理區(qū)域涂色問題的基本方法為分步乘法計數(shù)原理。二、填空題13.命題“”的否定為_【答案】【解析】特稱命題的否定為全稱，所以“”的否定為“”.點睛：命題的否定和否命題要做好區(qū)別：（1）否命題是指將命題的條件和結(jié)論都否定，而且與原命題的真假無關；（2）否命題是只否結(jié)論，特別的全稱命題的否定為特稱，特稱命題的否定為全稱.14.若甲、乙兩人從5門課程中各選修2門，則甲、乙所選修的課程都不相同的選法種數(shù)為_【答案】30【解析】【分析】根據(jù)題意知，采用分步計數(shù)方法，第一步，甲從門課程中選門，有種選法；第二步乙從剩下的門中選門，有種選法，兩者相乘結(jié)果即為所求的選法種數(shù)。【詳解】故答案為?！军c睛】本題主要考查了分步乘法計數(shù)原理的應用，分步要做到“步驟完整”，各步之間是關聯(lián)的、獨立的，“關聯(lián)”確保不遺漏，“獨立”確保不重復。15.若隨機變量，則_【答案】10【解析】【分析】根據(jù)題意可知，隨機變量滿足二項分布，根據(jù)公式，即可求出隨機變量的方差，再利用公式即可求出?！驹斀狻抗蚀鸢笧??！军c睛】本題主要考查滿足二項分布的隨機變量方差的求解，解題時，利用公式將求的問題轉(zhuǎn)化為求的問題，根據(jù)兩者之間的關系列出等式，進行相關計算。16.已知，用數(shù)學歸納法證明時，有_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知，假設，代入可得到，當時，兩式相減，化簡即可求解出結(jié)果?！驹斀狻坑深}可知，所以故答案為?！军c睛】本題主要考查利用數(shù)學歸納法證明不等式過程中的歸納遞推步驟。三、解答題：解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟17.已知函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求過點且與曲線相切的直線方程【答案】(1) ； (2) 或【解析】【分析】（） 根據(jù)題意，先對函數(shù)進行求導，再求函數(shù)在點處的導數(shù)即切線斜率，代入點斜式方程，再化為一般式方程即可。（） 設切點坐標為，將代入得出，利用點斜式表達出直線方程，再將點代入直線方程，即可求解出，從而推得直線方程解析式?！驹斀狻拷猓海?）由，則曲線在點處的切線方程為（2）設切點的坐標為，則所求切線方程為 代入點的坐標得，解得或 當時，所求直線方程由（1）知過點且與曲線相切的直線方程為或故答案為或?！军c睛】本題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程。若已知曲線過點，求曲線過點的切線方程，則需分點是切點和不是切點兩種情況求解。18.如圖，四邊形中，為邊的中點，現(xiàn)將 沿折起到達的位置（折起后點記為）（1）求證：；（2）若為中點，當時，求二面角的余弦值【答案】(1)見證明；(2) 【解析】【分析】（）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明面，從而推得；（）以為原點，以，分別為，建立空間直角坐標，分別求出面的法向量和面的法向量為，根據(jù)二面角的余弦值公式即可求解出結(jié)果。【詳解】（1）證明：因為，所以面， 又因為面，所以 （2）解：以為原點，以，分別為，建立如圖所示空間直角坐標系，設，則， ，設面的法向量，則有取，則 由，設面的法向量為，則有取，則，由于二面角的平面角為鈍角，所以，其余弦值為【點睛】本題主要考查了通過線面垂直證明線線垂直以及利用向量法求二面角的余弦值，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。19.隨著節(jié)能減排意識深入人心，共享單車在各大城市大范圍推廣，越來越多的市民在出行時喜歡選擇騎行共享單車為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況，某公司在我市隨機抽取了100名用戶進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周使用次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合計1087111450（1）如果用戶每周使用共享單車超過3次，那么認為其“喜歡騎行共享單車”請完成下面的22列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關；不喜歡騎行共享單車喜歡騎行共享單車合計男女合計（2）每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達人”，將頻率視為概率，在我市所有的“騎行達人”中隨機抽取4名，求抽取的這4名“騎車達人”中，既有男性又有女性的概率附表及公式：，其中；0.100050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析；在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，不能認為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(2) 【解析】【分析】（1） 根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，填寫22列聯(lián)表，根據(jù)公式計算出的值，根據(jù)題目所給表格，得出對應的統(tǒng)計結(jié)論。（2） 根據(jù)排列組合以及對立面的思想，求出全都是女生和全都是男生的概率，用概率和為1作差即可得到所要求的概率?！驹斀狻拷猓海?）由題目表格中的數(shù)據(jù)可得如下22列聯(lián)表：不喜歡騎行共享單車喜歡騎行共享單車合計男104555女153045合計2575100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式，得， 所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，不能認為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關（2）將頻率視為概率，在我市的“騎行達人”中隨機抽取1名，則該“騎行達人”是男性的概率為，是女性的概率為，故抽取的這4名“騎行達人”中，既有男性又有女性的概率【點睛】本題主要考查利用22列聯(lián)表判斷兩個變量的相關性以及利用逆向思維“對立面概率”求解情況比較復雜的概率問題。20.甲將要參加某決賽，賽前，四位同學對冠軍得主進行競猜，每人選擇一名選手，已知，選擇甲的概率均為，選擇甲的概率均為，且四人同時選擇甲的概率為，四人均末選擇甲的概率為（1）求，的值；（2）設四位同學中選擇甲的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望【答案】(1) (2) 的分布列見解析；數(shù)學期望為2【解析】【分析】（1） 根據(jù)題意，利用相互獨立事件概率計算公式列出關于的方程組，即可求解出答案。（2） 根據(jù)題意先列出隨機變量的所有可能取值，然后根據(jù)獨立重復事件的概率計算公式得出各自的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望的計算公式求解出結(jié)果?！驹斀狻拷猓海?）由已知可得解得 （2）可能的取值為0，1，2，3，4，分布列如下表：01234【點睛】本題主要考查逆用相互獨立事件概率計算公式求解概率問題以及離散型隨機變量的分布列和期望的求解。21.已知橢圓，若在，四個點中有3個在上（1）求橢圓的方程；（2）若點與點是橢圓上關于原點對稱的兩個點，且，求的取值范圍【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1） 由于橢圓是對稱圖形，得點，必在橢圓上，故，再分別討論在上時和在上時橢圓的方程，根據(jù)題意進行排除，最后求解出結(jié)果。（2） 設，利用向量的坐標運算表達出的值，根據(jù)對稱性分類討論設出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達定理，將轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，從而求解出的范圍?！驹斀狻拷猓海?）與關于軸對稱，由題意知在上，當在上時，當上時，與矛盾，橢圓的方程為 （2）設，、關于坐標原點對稱，當與軸不垂直時，設直線的方程為，代入橢圓方程得，由于可以取任何實數(shù)，故當與軸垂直時，綜上可得【點睛】本題主要考查圓錐曲線的綜合性題目，解決這類題目常用數(shù)學思想方法有方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，設而不求與整體代入思想等。22.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極值；（2）設函數(shù)若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域為，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1) 極小值為，沒有極大值(2) 【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先對函數(shù)進行求導，解出的根，討論方程的解的左右兩側(cè)的符號，確定極值點，從而求