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專題升級(jí)訓(xùn)練29解答題專項(xiàng)訓(xùn)練(立體幾何)1有一根長為3 cm,底面半徑為2 cm的圓柱形鐵管,用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈,并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端,則鐵絲的最短長度為多少?2已知正四面體ABCD(圖1),沿AB,AC,AD剪開,展成的平面圖形正好是(圖2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的頂點(diǎn)A1,A2,A3重合于四面體的頂點(diǎn)A)(1)證明:ABCD;(2)當(dāng)A1D10,A1A28時(shí),求四面體ABCD的體積3一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,其中M,G分別是AB,DF的中點(diǎn)(1)求證:CM平面FDM;(2)在線段AD上(含A,D端點(diǎn))確定一點(diǎn)P,使得GP平面FMC,并給出證明4如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點(diǎn)O在線段AD上,OA1,OD2,OAB,OAC,ODE,ODF都是正三角形(1)證明直線BCEF;(2)求棱錐FOBED的體積5如圖所示,已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都相等,D是A1C1的中點(diǎn),則直線AD與平面B1DC所成的角的正弦值為多少?6如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,ADCD,ABCD,ABAD2,CD4,M為CE的中點(diǎn)(1)求證:BM平面ADEF;(2)求證:平面BDE平面BEC;(3)求平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值7如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD為平行四邊形,DAB60,AB2AD,PD底面ABCD.(1)證明:PABD;(2)設(shè)PDAD,求二面角APBC的余弦值8如圖,已知在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,且AD2,AB1,PA平面ABCD,E,F(xiàn)分別是線段AB,BC的中點(diǎn)(1)證明:PFFD;(2)判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G,使得EG平面PFD;(3)若PB與平面ABCD所成的角為45,求二面角APDF的余弦值參考答案1解:把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開,在平面上得到矩形ABCD(如圖),由題意知BC3 cm,AB4 cm,點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置,故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度AC5(cm),故鐵絲的最短長度為5 cm.2(1)證明:在四面體ABCD中,AB平面ACDABCD.(2)解:在題圖2中作DEA2A3于E.A1A28,DE8.又A1DA3D10,EA36,A2A310616.又A2CA3C,A2C8.即題圖1中AC8,AD10,由A1A28,A1BA2B得圖1中AB4.SACDSA3CDDEA3C8832.又AB面ACD,VBACD324.3解:由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中ADDF,DFADa.(1)證明:FD平面ABCD,CM平面ABCD,F(xiàn)DCM.在矩形ABCD中,CD2a,ADa,M為AB中點(diǎn),DMCMa,CMDM.FD平面FDM,DM平面FDM,F(xiàn)DDMD,CM平面FDM.(2)點(diǎn)P在A點(diǎn)處證明:取DC中點(diǎn)S,連接AS,GS,GA,G是DF的中點(diǎn),GSFC.又ASCM,ASAGA,平面GSA平面FMC.而GA平面GSA,GP平面FMC.4(1)證明:設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點(diǎn)由于OAB與ODE都是正三角形所以O(shè)BDE,OGOD2.同理,設(shè)G是線段DA與FC延長線的交點(diǎn),有OGOD2.又由于G和G都在線段DA的延長線上,所以G與G重合在GED和GFD中,由OBDE和OCDF,可知B和C分別是GE和GF的中點(diǎn),所以BC是GEF的中位線,故BCEF.(2)解:由OB1,OE2,EOB60,知SEOB,而OED是邊長為2的正三角形,故SOED.所以S四邊形OBEDSEOBSOED.過點(diǎn)F作FQDG,交DG于點(diǎn)Q,由平面ABED平面ACFD知,F(xiàn)Q就是四棱錐FOBED的高,且FQ,所以VFOBEDFQS四邊形OBED.5解:不妨設(shè)正三棱柱ABCA1B1C1的棱長為2,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(,1,0),B1(,1,2),D(,2),則(,2),(,1,2)設(shè)平面B1DC的法向量為n(x,y,1),由解得n(,1,1)又,sin |cos,n|.6(1)證明:取DE中點(diǎn)N,連接MN,AN.在EDC中,M,N分別為EC,ED的中點(diǎn),所以MNCD,且MNCD.由已知ABCD,ABCD,所以MNAB,且MNAB,所以四邊形ABMN為平行四邊形所以BMAN.又因?yàn)锳N平面ADEF,且BM平面ADEF,所以BM平面ADEF.(2)證明:在正方形ADEF中,EDAD.又因?yàn)槠矫鍭DEF平面ABCD,且平面ADEF平面ABCDAD,所以ED平面ABCD.所以EDBC.在直角梯形ABCD中,ABAD2,CD4,可得BC2.在BCD中,BDBC2,CD4.所以BCBD.所以BC平面BDE.又因?yàn)锽C平面BCE,所以平面BDE平面BEC.(3)解:由(2)知ED平面ABCD,且ADCD.以D為原點(diǎn),DA,DC,DE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),平面ADEF的一個(gè)法向量為m(0,1,0)設(shè)n(x,y,z)為平面BEC的一個(gè)法向量,因?yàn)?2,2,0),(0,4,2),所以令x1,得y1,z2.所以n(1,1,2)為平面BEC的一個(gè)法向量設(shè)平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為,則cos .所以平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值為.7(1)證明:因?yàn)镈AB60,AB2AD,由余弦定理得BDAD.從而BD2AD2AB2,故BDAD.又PD底面ABCD,可得BDPD.因?yàn)镻DADD,所以BD平面PAD,故PABD.(2)解:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),AD的長為單位長,射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則A(1,0,0),B(0,0),C(1,0),P(0,0,1)(1,0),(0,1),(1,0,0)設(shè)平面PAB的法向量為n(x,y,z),則即因此可取n(,1,)設(shè)平面PBC的法向量為m,則可取m(0,1,),cosm,n.故二面角APBC的余弦值為.8(1)證明:PA平面ABCD,BAD90,AB1,AD2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),F(xiàn)(1,1,0),D(0,2,0)不妨令P(0,0,t),(1,1,t),(1,1,0),111(1)(t)00,即PFFD.(2)解:設(shè)平面PFD的法向量為n(x,y,z),由得令z1,解得:xy.設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,m),E,則,
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