數(shù)學(xué)物理方法

微分方程解法:,積分法,只能解一些特殊類型方程，如達(dá)朗貝爾法，能夠得到解析解,級(jí)數(shù)法,如分離變數(shù)法，能夠得到近似的級(jí)數(shù)解,數(shù)值解法,計(jì)算數(shù)學(xué)內(nèi)容,有關(guān)分離變量法（級(jí)數(shù)解法）：,第八章：直角坐標(biāo)系下的分離變數(shù)法，又稱為傅立葉級(jí)數(shù)法、駐波法，能夠處理一維振動(dòng)和輸運(yùn)方程及二維分布方程。,第九、十、十一章：球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)系下的分離變量法，能夠處理三維齊次分布方程（拉普拉斯方程）和三維振動(dòng)、輸運(yùn)方程。,第八章要學(xué)好，要求記憶：直角坐標(biāo)系下、一維齊次振動(dòng)和輸運(yùn)方程的通解（8.1節(jié)查表）,第九章：解決了兩類坐標(biāo)系下，三類泛定方程分離出的常微分方程及其通解,第十、十一章：結(jié)合定解條件，由通解求定解，即求出通解中的系數(shù),介紹了一種特殊的常微分方程：貝塞爾方程和虛宗量貝塞爾方程的解-貝塞爾函數(shù)和虛宗量貝塞爾函數(shù)，本節(jié)結(jié)論需要記憶,介紹了一種特殊的常微分方程：連帶勒讓德和勒讓德方程的解-連帶勒讓德函數(shù)和勒讓德函數(shù)，本節(jié)結(jié)論需要記憶,第九章二階常微分方程級(jí)數(shù)解法,9.1特殊函數(shù)常微分方程,9.2常點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法,9.3正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法,9.4斯圖姆劉維爾本征值問(wèn)題,介紹兩種坐標(biāo)系下，泛定方程分離的常微分方程及部分常微分方程的解，本章重點(diǎn)，189頁(yè)表。,本章要學(xué)好，要求記憶189頁(yè)表：（1）兩種坐標(biāo)系下、三類泛定方程（偏微分方程）分離出的常微分方程（2）不同常微分方程的解,第九章二階常微分方程級(jí)數(shù)解法,第九章二階常微分方程級(jí)數(shù)解法,9.1特殊函數(shù)常微分方程,用球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系對(duì)拉普拉斯方程、波動(dòng)方程、輸,運(yùn)方程進(jìn)行變量分離，就出現(xiàn)連帶勒讓德方程、勒讓德方程、,貝塞爾方程、球貝塞爾方程等特殊函數(shù)方程用其他坐標(biāo),系對(duì)其他數(shù)學(xué)物理偏微分方程進(jìn)行分離變量，還會(huì)出,微分方程,現(xiàn)各種各樣的特殊函數(shù)方程它們大多是二階線性常,在柱坐標(biāo)系下,規(guī)定：,規(guī)定,在球坐標(biāo)系下,拉普拉斯算符的形式,（一）拉普拉斯方程,球坐標(biāo)下拉普拉斯方程,歐拉方程,連帶勒讓德方程,球函數(shù)方程,軸對(duì)稱球坐標(biāo)下拉普拉斯方程,勒讓德方程,極坐標(biāo)下拉普拉斯算符形式的推導(dǎo),極坐標(biāo)下的形式,直角坐標(biāo)下的形式,坐標(biāo)變換關(guān)系,微分變換關(guān)系,柱坐標(biāo)下拉普拉斯方程,=m2,m階貝塞爾方程,m階虛宗量貝塞爾方程,球坐標(biāo)下拉普拉斯方程,分離變數(shù)得到:,1歐拉方程,2二階常微分方程,自然周期性條件,3連帶勒讓德方程,通解為：,復(fù)習(xí),軸對(duì)稱球坐標(biāo)下拉普拉斯方程,分離變數(shù)得到:,1歐拉方程,2勒讓德方程,通解為：,復(fù)習(xí),柱坐標(biāo)下拉普拉斯方程,m階貝塞爾方程,分離變數(shù)得到:,1二階常微分方程,自然周期性條件,2、3貝塞爾方程和虛宗量貝塞爾方程,m階虛宗量貝塞爾方程,復(fù)習(xí),通解為：,通解為：,軸對(duì)稱柱坐標(biāo)下拉普拉斯方程m=0,復(fù)習(xí),柱坐標(biāo)下拉普拉斯方程,（二）波動(dòng)方程,亥姆霍茲方程,（三）輸運(yùn)方程,（四）亥姆霍茲方程,（1）球坐標(biāo)系,令v(r,)=R(r)Y(,),l階球貝塞爾方程,l階球函數(shù)方程,令,L+1/2階貝塞爾方程,（2）柱坐標(biāo)系,令,m階貝塞爾方程,特殊函數(shù)常微分方程,球坐標(biāo)下拉普拉斯方程的分離變量一般情況歐拉方程，球函數(shù)方程，連帶勒讓德方程軸對(duì)稱情況勒讓德方程亥姆霍茲方程的分離變量球坐標(biāo)系球貝塞爾方程柱坐標(biāo)系貝塞爾方程,柱坐標(biāo)下拉普拉斯方程的分離變量貝塞爾方程虛宗量貝塞爾方程,9.2常點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法,常微分方程中點(diǎn)的分類各點(diǎn)鄰域級(jí)數(shù)解的形式勒讓德方程的級(jí)數(shù)解,常微分方程中點(diǎn)的分類,二階變系數(shù)常微分方程的一般形式w”+p(z)w+q(z)w=0方程中點(diǎn)的分類常點(diǎn)：z0是p(z)和q(z)的解析點(diǎn)正則奇點(diǎn)：z0是(z-z0)p和(z-z0)2q的解析點(diǎn)非正則奇點(diǎn)：其它情況,各點(diǎn)鄰域級(jí)數(shù)解的形式,常點(diǎn)z0鄰域兩解均為,正則奇點(diǎn)z0鄰域有一解為其中s由判定方程確定,a00,定理,由分離變量法得到了勒讓德方程，下面討論在,鄰域上求解,階勒讓德方程,即為,故方程的系數(shù),在,，單值函數(shù),，,均為有限值，它們必然在,解析,點(diǎn),是方程的常點(diǎn)根據(jù)常點(diǎn)鄰域上解的定理，,解具有泰勒級(jí)數(shù)形式.,勒讓德方程的級(jí)數(shù)解,勒讓德方程的級(jí)數(shù)解,勒讓德方程的級(jí)數(shù)解,勒讓德方程的級(jí)數(shù)解,性質(zhì)：奇偶性：y0為偶函數(shù)，y1為奇函數(shù)；退化性：l為非負(fù)整數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)解退化為多項(xiàng)式；收斂性：特解的收斂半徑為1；有界性：在x=1時(shí)，非退化級(jí)數(shù)解發(fā)散。,下面確定級(jí)數(shù)y0(x)和級(jí)數(shù)y1(x)的收斂半徑。,可以證明：級(jí)數(shù)解y0(x),y1(x)在x=1發(fā)散，因而，勒讓德方程的任一個(gè)解都不可能在x=1和x=-1有限。,但數(shù)理方程的解要求有限，相應(yīng)的就要求勒讓德方程的解在一切方向0,即在x的閉區(qū)間-1,1上保持有限，而級(jí)數(shù)解不可能滿足這個(gè)要求。,解在區(qū)間-1,1的兩端x=1保持有限，稱為自然邊界條件。,尋找勒讓德方程滿足自然邊界條件的解:,如l為偶數(shù)，則y0(x)只含偶次冪的l次多項(xiàng)式，而y1(x)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，在x=1處發(fā)散，應(yīng)取a1=0，從而得到勒讓德方程滿足自然邊界條件的解。,如l為奇數(shù)，則y1(x)為只含有奇次冪的l次多項(xiàng)式，它就是勒讓德方程滿足自然邊界條件的解,至于y0(x)仍然是無(wú)窮級(jí)數(shù)，并在x=1發(fā)散，因而應(yīng)舍去.,而當(dāng)l為非整數(shù)時(shí)，y0(x),y1(x)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，且在x=1處發(fā)散，因而應(yīng)舍去。,總之，勒讓德方程和自然邊界條件(y(x)在x=1處有限)構(gòu)成本征值問(wèn)題，它決定了分離變數(shù)過(guò)程中所引入的常數(shù)必須取下列數(shù)值：=l(l+1)(l為整數(shù))特征值。相應(yīng)的本征函數(shù)是l階勒讓德多項(xiàng)式。當(dāng)l=整數(shù)時(shí)，把方程的解(為l次多項(xiàng)式)用適當(dāng)?shù)某?shù)乘它，就稱為l階勒讓德多項(xiàng)式。,9.3正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法,二階變系數(shù)常微分方程的一般形式w”+p(z)w+q(z)w=0方程中點(diǎn)的分類常點(diǎn)：z0是p(z)和q(z)的解析點(diǎn)正則奇點(diǎn)：z0是(z-z0)p和(z-z0)2q的解析點(diǎn),正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解：,判定方程：,s1-s2整數(shù),s1-s2=整數(shù),貝塞爾方程,判定方程：,兩解為：,（1）階貝塞爾方程（v不是整數(shù)或半奇數(shù)）,先取s1=v,函數(shù),貝塞爾函數(shù),同理取s2=-v,諾伊曼函數(shù),半奇數(shù)（l+1/2)階貝塞爾方程,首先考慮l=0,判定方程：,兩解為：,通解為：,可以證明A=0,判定方程：,一般的半奇數(shù)階,兩解為：,同樣可以證明A=0,通解為：,ak0=0,整數(shù)階貝塞爾方程,性質(zhì)：奇偶性：m為奇偶整數(shù)時(shí)，Jm和Nm為奇偶函數(shù)；收斂性：特解的收斂半徑為；有界性：在x0，m0時(shí),Jm有界，Nm發(fā)散。,（4）x=0處的自然邊界條件,虛總量貝塞爾方程,（1）階虛總量貝塞爾方程（v不是整數(shù)或半奇數(shù)）,解為：,虛總量塞爾函數(shù),9.4斯圖姆劉維爾本征值問(wèn)題,本征值問(wèn)題本征值：使帶邊界條件的常微分方程有非零解的參數(shù)值本征函數(shù)：相應(yīng)的非零解本征值問(wèn)題：求本征值和本征函數(shù)的問(wèn)題斯特姆劉維爾本征值問(wèn)題斯特姆劉維爾型方程斯特姆劉維爾型邊界條件斯特姆劉維爾本征值問(wèn)題的性質(zhì)可數(shù)性：存在可數(shù)無(wú)限多個(gè)本征值；非負(fù)性：所有本征值均為非負(fù)數(shù)；正交性：對(duì)應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)帶權(quán)正交；完備性：滿足邊界條件的光滑函數(shù)可以按本征函數(shù)展開(kāi)。,斯特姆劉維爾型方程,其中k(x)、q(x)和(x)都非負(fù)；k(x)、k(x)和q(x)連續(xù)或以端點(diǎn)為一階極點(diǎn)。,斯特姆劉維爾型邊界條件三類齊