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與圓有關(guān)問(wèn)題第一講 “形”現(xiàn)“圓”形問(wèn)題 如圖所示,在等腰直角三角形ABC中,ABBC2,點(diǎn)P為等腰直角三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足PAPB,則PC的取值范圍是_ ABCP圓是高中數(shù)學(xué)中一種簡(jiǎn)單但又非常重要的曲線,近幾年高考題和高考模擬題中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一類有關(guān)圓的題目,這類題目在條件中沒(méi)有直接給出有關(guān)圓方面的信息,而是以隱性的形式出現(xiàn),但我們通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化,最終都可以利用圓的知識(shí)求解這類題目構(gòu)思巧妙,綜合性強(qiáng),,充分考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和化歸等數(shù)學(xué)思想方法,處理這類題目關(guān)鍵在于能否把隱形圓找出來(lái) 圓作為幾何圖形,找“隱形圓”的一個(gè)角度可以從“形”的角度來(lái)發(fā)現(xiàn)策略一 由圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡)確定隱形圓例1(1)如果圓(x2a)2(ya3)24上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ (2)(2016年南京二模)已知圓O:x2y21,圓M:(xa)2(ya4)21若圓M上存在點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,使得APB60,則a的取值范圍為_(kāi) (3)(2017年蘇北四市一模)已知是圓上的動(dòng)點(diǎn),是圓上的動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是_ (4)若對(duì)任意aR,直線l:xcosaysina2sin(a)4與圓C:(xm)2(ym)21均無(wú)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_ (5)(2016年南通三模)在平面直角坐標(biāo)系中,圓,圓,若圓上存在點(diǎn)滿足:過(guò)點(diǎn)向圓作兩條切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B,的面積為1,則正數(shù)的取值范圍是_策略二 由動(dòng)點(diǎn)P對(duì)兩定點(diǎn)A、B張角是(,或0)確定隱形圓例2 (1)已知圓C:和兩點(diǎn),若圓上存在點(diǎn)P,使得APB=90,則m的取值范圍是_ (2)(海安2016屆高三上期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(1,0), Q(2,1),直線l:其中實(shí)數(shù)a,b,c 成等差數(shù)列,若點(diǎn) P 在直線 l 上的射影為 H,則線段 QH 的取值范圍是_ (3)設(shè),直線:與直線 :交于點(diǎn),則的取值范圍是_策略三 由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓例3(1)已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊,(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC則面積的最大值為_(kāi) (2)(2017年常州一模)在ABC中,C45o,O是ABC的外心,若(m,nR),則mn的取值范圍是_ 策略四 由四點(diǎn)共圓的定理來(lái)確定隱形圓(如一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ),則該四邊形四點(diǎn)共圓)例4設(shè)向量a,b,c滿足|a|b|1,ab,若ac與bc的夾角為60,則|c|的最大值等于 【同步練習(xí)】1.點(diǎn)A,B分別在x軸與y軸的正半軸上移動(dòng),且AB2,若點(diǎn)A從(,0)移動(dòng)到(,0),則AB中點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路程為 2已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量,,,則與夾角的范圍為 3已知直線上存在點(diǎn)M滿足與兩點(diǎn),連線的斜率之積為,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 4已知圓C:x2y21,點(diǎn)P(x0,y0)在直線xy20上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若圓C上存在一點(diǎn)Q,使得OPQ30,則x0的取值范圍是_5如圖,已知點(diǎn)A(1,0)與點(diǎn)B(1,0),C是圓x2y21上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A,B不重合),連接BC并延長(zhǎng)至D,使得|CD|BC|,則線段PD的取值范圍 第5題xOyBCAPD第二講 “數(shù)”現(xiàn)“圓”形解析幾何中,找“隱形圓”的另一個(gè)角度可以從“數(shù)”的角度(求出其方程)來(lái)發(fā)現(xiàn)策略五 直接由圓(半圓)的方程確定隱形圓例1 (1)(2016年泰州一模)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足,則的取值范圍為_(kāi) (2)若方程3xb有解,則b的取值范圍是 (3)已知實(shí)數(shù)x、y滿足,則x+y的最大值是_策略六 直接由圓(半圓)的參數(shù)方程確定隱形圓例2(1) 已知,則的取值范圍是_ (2)函數(shù)f(x)=() 的值域是_策略七 由兩定點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P滿足(是常數(shù)),求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程確定隱形圓例3 已知圓和兩點(diǎn)若圓C上存在點(diǎn)P,使得,則m的取值范圍是_ 策略八 由兩定點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P滿足是定值確定隱形圓例4(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:(xa)2(ya2)21,點(diǎn)A(0,2),若圓C上存在點(diǎn)M,滿足MA2MO210,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ (2) (2017屆鹽城三模)已知四點(diǎn)共面,則的最大值為 策略九 由兩定點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P滿足確定隱形圓(阿波羅尼斯圓)例5(1)(2016年南通一模)在平面直角坐標(biāo)中,已知點(diǎn),若直線上存在點(diǎn)P使得,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_ (2)(2016屆常州一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓O:x2y21,O1:(x4)2y24,動(dòng)點(diǎn)P在直線上,過(guò)點(diǎn)P作圓O,O1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,若滿足的點(diǎn)P有且僅有兩個(gè),則b的取值范圍_ (3)已知曲線的方程,存在一定點(diǎn)和常數(shù),對(duì)曲線上的任意一點(diǎn),都有成立,則點(diǎn)到直線的最大距離為_(kāi)例6(2017年南通二模)一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l(一條南北方向的直線)3.8海里的A處,發(fā)現(xiàn)在其北偏東30方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑,緝私艇立即追擊已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行(1)若走私船沿正東方向逃離,試確定緝私艇的追擊方向,使得用最短時(shí)間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功;(參考數(shù)據(jù):,)(2)問(wèn):無(wú)論走私船沿何方向逃跑,緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截?并說(shuō)明理由領(lǐng)海AB北(例6)30公海l【同步練習(xí)】1已知圓C:(x3)2(y4)21,點(diǎn)A(0,1),B(0,1)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)|PA|2|PB|2取最大值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是 2(2016年鹽城三模)已知線段AB的長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)C滿足(為常數(shù)),且點(diǎn)C總不在以點(diǎn)B為圓心,為半徑的圓內(nèi),則負(fù)數(shù)的最大值是_3(2016年蘇北四市一模)已知,點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),若恒成立,則最小正整數(shù)的值為 4在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M為直線x3上一動(dòng)點(diǎn),以M為圓心的圓記為圓M,若 圓M截x軸所得的弦長(zhǎng)恒為4過(guò)點(diǎn)O作圓M的一條切線,切點(diǎn)為P,則點(diǎn)P到直線 2xy100距離的最大值為 5已知且滿足,則的取值范圍是 第三講 “隱圓”綜合 隱藏圓問(wèn)題可以和很多知識(shí)點(diǎn)結(jié)合,在三角形、向量、圓錐曲線等背景的一些問(wèn)題中看上去和圓無(wú)關(guān),但卻隱藏著圓一、三角形中的隱形圓例1(1)(2017年南京、鹽城一模)在中,A,B,C所對(duì)的邊分別為,若,則面積的最大值為_(kāi) (2)(2008年高考江蘇卷)若,則的最大值是_ 例2 (1)在中,BC,AC1,以AB為邊作等腰直角三角形ABD (B為直角頂點(diǎn),C、D兩點(diǎn)在直線AB的兩側(cè))當(dāng)C變化時(shí),線段CD長(zhǎng)的最大值為 (2)在中,點(diǎn)D在邊BC上,且DC2BD,ABADAC3k1,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 二、向量中的隱形圓例3 (1)已知向量a、b、c滿足,若,則的最大值是_ (2)在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿足=,= -2,動(dòng)點(diǎn)P,M滿足=1,=,則的最大值是_ 例4 已知,為非零的不共線的向量,設(shè)定義點(diǎn)集當(dāng)、時(shí),若對(duì)任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi) 例5 (2014年常州高三期末卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓,點(diǎn)P,M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn),且,若,則的最小值為_(kāi) 三、圓錐曲線中的隱形圓例6 在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,圓均與軸相切且圓心,與原點(diǎn)共線,兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為6,設(shè)圓與圓相交于,兩點(diǎn),直線:,則點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值為_(kāi) 例7 設(shè)橢圓E:1,是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且? 【同步練習(xí)】1 若a,b,c均為單位向量,且ab0,(ac)(bc)0,則|abc|的最大值為
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