高中數學論文巧用方程、方程組妙解拼圖和密鋪

巧用方程、方程組，妙解拼圖和密鋪拼圖、密鋪問題是中考的熱點。要解答這類問題，同學們不僅要有很強的圖形觀察能力，還要借助一種強有利的工具-方程或方程組。這樣問題就會獲得完美的解答。下面就試舉幾例，供學習時參考。一 、用長方形、正方形密鋪成正方形例1、如圖1，是用四個完全相同的小長方形和一個小的正方形鑲嵌而成的正方形圖案。已知該圖案的面積為49，小正方形的面積為4，如果用x、y 表示小長方形的長和寬，（xy ），請你仔細觀察圖案，指出下列關系式中不正確的一個是：（ ）。A） x+y=7 B）x-y=2 C）4xy+4=49 D）x2+y2=25分析：通過仔細觀察圖案，我們不難發(fā)現(xiàn)這個圖案中，大正方形的邊長是小長方形的長與寬的和，也就是x+y；小正方形的邊長是小長方形的長與寬的差，也就是x-y，由于大正方形的面積為49 ，小正方形的面積為4，所以，（x+y）2=49，（x-y）2=4，即x+y=7（另一個舍去了，你知道是為什么嗎）；x-y=2，（另一個舍去了，你知道是為什么嗎）；再回頭審視一下題目的選擇支，就知道選項A、B都是正確的；把x+y=7 、x-y=2，聯(lián)立成方程組：，解這個方程組，得：x=，y=，所以xy=，所以4xy=4=45，所以，4xy+4=49，所以，選項C也是正確的，分析到這里，答案就已經凸現(xiàn)出來了，對，就是選項D。解：選D。二、用直角三角形、正方形拼成正方形例2、如圖2，是用四個全等的直角三角形和一個小的正方形拼成的正方形圖案。已知該圖案的面積為13，小正方形的面積為1，直角三角形較短的直角邊長為a，較長的直角邊長為b，那么（a+b）2的值是：（ ）。A） 13 B）19 C）25 D）169分析：通過仔細觀察圖案，我們不難發(fā)現(xiàn)這個圖案中，大正方形的邊長是直角三角形的斜邊，也就是；小正方形的邊長是直角三角形較長的直角邊長與較短的直角邊長的差，也就是b-a，由于大正方形的面積為13 ，小正方形的面積為1，所以，=13，（b-a）2=1，我們聯(lián)想到兩個數的差的完全平方公式：（b-a）2=-2ab，所以，2ab=12，所以，（a+b）2=+2ab=13+12=25，所以，選項C是正確的，分析到這里，答案就已經凸現(xiàn)出來了，對，就是選項C。解：選C。三、用長方形、正方形拼成長方形例3、如圖3，是用兩個完全相同長方形和一個小的正方形和一個較大的正方形拼成的圖案。小正方形面積為2，較大的正方形面積為4，那么陰影部分的面積為 。分析：我們不妨采用遷移法，把分散的陰影部分的面積拼成一個整體來處理，如圖4，我們不難發(fā)現(xiàn)，整體長方形的長是較大正方形的邊長與小正方形的邊長的差，整體長方形的寬是小正方形的邊長，我們不妨設大正方形的邊長為x，小正方形的邊長為y，則=4，=2，所以，x=2，y=，所以，陰影整體長方形的長為：2-，寬為，所以，整個陰影部分的面積為：（2-）=2-2，所以，本題的答案是2-2。解：本題應填2-2。四、用長方形密鋪成長方形例4、如圖4，是用8個完全相同的小長方形鑲嵌而成的長方形圖案。已知該圖案的寬為40cm，其中一個小長方形的面積為 。A）200cm2 B）300 cm2 C）600 cm2 D）2400 cm2 分析：為了能更好的解決問題，我們不妨設小長方形的長為x，寬為y，現(xiàn)在，我們來一起仔細觀察這個圖形的特點：大長方形的長有兩種表示法，從上邊看，長方形的長可以表示為2x，從下邊看，長方形的長可以表示為x+3y，所以，可以得到：2x= x+3y，即x=3y；大長方形的寬可以表示為x+y；已知該圖案的寬為40cm，所以，x+y=40，這樣，我們來解有x=3y和x+y=40組成的方程組， 就求出x、y的值，解得：x=30，y=10，也就求出了小長方形的長與寬，當然也就求出小長方形的面積了。即為3010=300 cm2，因此，我們應該選B。解：選B。例5、如圖5，是用7個完全相同的小長方形鑲嵌而成的長方形圖案。已知該圖案的周長為68，則長方形ABCD的面積為 。A）98 B）196 C）280 D）284 分析：為了能更好的解決問題，我們不妨設小長方形的長為x，寬為y，現(xiàn)在，我們來一起仔細觀察這個圖形的特點：大長方形的長有兩種表示法，從上邊看，長方形的長可以表示為5y，從下邊看，長方形的長可以表示為2x，所以，可以得到：2x=5y；大長方形的寬可以表示為x+y；已知該圖案的周長為68，所以，5y+x+y=34，即x+6y=34，這樣，我們來解有2x=5y和x+6y=34組成的方程組， 就求出x、y的值，解得：x=10，y=4，也就求出了大長方形的長：2x=20；寬為x+y=14，當然也就求出大長方形的面積了。即為2014=280，因此，我們應該選C。解：選C。五、用等腰梯形密鋪成平行四邊形例6 如圖6，是用大小、形狀完全相同的等腰梯形密鋪成的平行四邊形ABCD的圖案，已知AB=24，則，等腰梯形的下底邊長為： （ ）A） 15 B）16 C） 17 D）18分析：為了問題解決的方便，我們不妨設等腰梯形的下底長為x，腰長為y，上底的長為m，下面我們就來仔細觀察一下這個圖案的特點：1） 平行四邊形ABCD的邊AB是有等腰梯形的下底和腰組成的，即AB=x+y=24，2） 再仔細觀察1，2，3這三個角，不難發(fā)現(xiàn)它們都是等腰梯形的底角，所以它們應該是相等的，即1=2=3，再細心觀察，我們又發(fā)現(xiàn)1，2，3恰好構成一個平角，即1+2+3=180，所以，1=2=3=60，3） 這樣問題還是不能解決，不要著急，我們再來分析三角形EFG，我們結合2）的結論，就很容易判斷出它是一個等邊三角形，所以，EF就等于等腰梯形的腰長，即EF=y，4） 問題越來越清楚了，仔細觀察四邊形AMGE，不難發(fā)現(xiàn)這是一個平行四邊形，因此，AE就等于等腰梯形的上底長m，即AE=m；我們還發(fā)現(xiàn)MG恰好是等腰梯形MBNG的腰，所以，AE=m=y，分析到這里，我們有了這樣的一個結論，等腰梯形的下底長等于AE+EF，即為x=2y，我們再解由x+y=24，x=2y，組成的方程組，求得x=16，即等腰梯形的下底長為16。解：選B。例7 如圖7，四邊形ABCD 是等腰梯形，ABCD，用四個這樣完全相同的等腰梯形可以密鋪成如下圖所示的平行四邊形。1） 求四邊形ABCD的四個內角的度數；2） 試探究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關系，并說明理由。分析：為了問題解決的方便，我們不妨設等腰梯形的下底長為x，腰長為y，上底的長為m，下面我們就來仔細觀察一下這個圖案的特點：1） 平行四邊形的一組同旁內角，恰好是有等腰梯形的三個底角來組成，根據兩直線平行，同旁內角互補的原理，就求得原四邊形的四個內角的度數；2、我們再來分析三角形EOM，我們結合1）的結論，就很容易判斷出它是一個等邊三角形，所以，EM、OM就等于等腰梯形的腰長，即EM=OM=y，3、問題越來越清楚了，仔細觀察四邊形OPNM，不難發(fā)現(xiàn)