黑龍江哈爾濱第六中學高二數(shù)學上學期份階段性總結理

黑龍江省哈爾濱市第六中學2019-2020學年高二數(shù)學上學期10月份階段性總結試題 理（含解析）一、選擇題（每題5分，共60分）1.以下說法正確有幾個（ ）四邊形確定一個平面；如果一條直線在平面外，那么這條直線與該平面沒有公共點；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行；A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個【答案】B【解析】【分析】對四個說法逐一分析，由此得出正確的個數(shù).【詳解】錯誤，如空間四邊形確定一個三棱錐. 錯誤，直線可能和平面相交. 正確，根據(jù)公理二可判斷正確. 錯誤，在空間中，垂直于同一條直線的兩條直線可能相交，也可能異面，也可能平行.綜上所述，正確的說法有個，故選B.【點睛】本小題主要考查空間有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.2.一個簡單幾何體的正視圖、側視圖如圖所示，則其俯視圖不可能為：長方形；正方形；圓其中正確的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖的投影關系判斷即可【詳解】根據(jù)畫三視圖的規(guī)則“長對正，高平齊，寬相等”可知，幾何體的俯視圖不可能是圓和正方形.故選：B.【點睛】本題考查三視圖投影關系“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬”的運用3.如圖，在正方體中，M， N分別為棱的中點，以下四個結論：直線DM與是相交直線；直線AM與NB是平行直線；直線BN與是異面直線；直線AM與是異面直線其中正確的個數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方體的幾何特征，可通過判斷每個選項中的兩條直線字母表示的點是否共面；如果共面，則可能是相交或者平行；若不共面，則是異面.【詳解】：與是共面的，且不平行，所以必定相交，故正確；：若平行，又平行且，所以平面平面，明顯不正確，故錯誤；：不共面，所以是異面直線，故正確；：不共面，所以是異面直線，故正確；故選：C.【點睛】異面直線的判斷方法：一條直線上兩點與另外一條直線上兩點不共面，那么兩條直線異面；反之則為共面直線，可能是平行也可能是相交.4.已知雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于A. B. C. 3D. 5【答案】A【解析】【詳解】因為拋物線的焦點是，所以雙曲線的半焦距，所以一條漸近線方程為，即，故選A.【點考點定位】本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程、幾何性質、點和直線的位置關系，考查推理論證能力、邏輯思維能力、計算求解能力、數(shù)形結合思想、轉化化歸思想5.如圖，四棱錐， 是 的中點，直線交平面 于點 ，則下列結論正確的是（ ）A. 四點不共面B. 四點共面C. 三點共線D. 三點共線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)公理一、二、三逐一排除即可。【詳解】直線與直線交于點，所以平面與平面交于點O，所以必相交于直線，直線在平面內，點故面，故四點共面，所以A錯。點若與共面，則直線在平面內，與題目矛盾，故B錯。為中點，所以，故，故C錯。故選D。【點睛】本題屬于中檔題，考查公理一、二、三的應用，學生不易掌握，屬于易錯題。6.如圖，正方體中，為棱的中點，用過點、的平面截去該正方體的下半部分，則剩余幾何體的正視圖（也稱主視圖）是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)剩余幾何體的直觀圖，結合三視圖的定義即可得到主視圖【詳解】解：正方體中，過點的平面截去該正方體的上半部分后，剩余部分的直觀圖如圖：則該幾何體的正視圖為圖中粗線部分故選：A【點睛】本題主要考查了空間三視圖與直觀圖的應用問題，是基礎題7.圓心在拋物線上，且與x軸和拋物線的準線都相切的一個圓的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【詳解】設圓心坐標為,則由所求圓與拋物線的準線及x軸都相切可得 所以，故圓心為半徑所以圓心在拋物線上,并與拋物線的準線及x軸都相切的圓方程為即，所以D選項是正確的8.若底面是菱形的棱柱其側棱垂直于底面，且側棱長為5，它的對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側面積是( )A. 130B. 140C. 150D. 160【答案】D【解析】 設直四棱柱中，對角線， 因為平面,平面，所以， 在中，可得, 同理可得， 因為四邊形為菱形，可得互相垂直平分， 所以，即菱形的邊長為， 因此，這個棱柱的側面積為， 故選D. 點睛：本題考查了四棱錐的側面積的計算問題，解答中通過給出的直四棱柱滿足的條件，求得底面菱形的邊長，進而得出底面菱形的底面周長，即可代入側面積公式求得側面積，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及空間想象能力，其中正確認識空間幾何體的結構特征和線面位置關系是解答的關鍵.9.已知橢圓的上焦點為，直線和與橢圓分別相交于點、，則（）A. B. 8C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的對稱性和橢圓的幾何性質可得四條線段的和.【詳解】橢圓的上焦點，下焦點為，直線過上焦點，直線過下焦點且兩條直線平行，又，因為橢圓是中心對稱圖形，故，故選B.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質，屬于基礎題，注意與焦點有關的問題，可利用橢圓的定義來處理.10.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實（虛）線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（ ）A. 64B. C. 16D. 【答案】D【解析】根據(jù)三視圖知幾何體是：三棱錐為棱長為的正方體一部分，直觀圖如圖所示：是棱的中點，由正方體的性質得，平面的面積，所以該多面體的體積，故選D.11.已知橢圓C：的右焦點為F，直線l：，點，線段AF交橢圓C于點B，若，則()A. B. 2C. D. 3【答案】A【解析】【分析】設點，易知F(1,0)，根據(jù)，得，根據(jù)點B在橢圓上，求得n=1，進而可求得【詳解】根據(jù)題意作圖：設點，由橢圓C： ，知，即，所以右焦點F(1,0)由，得所以，且.所以，.將x0，y0代入，得.解得，所以.故選A【點睛】本題考查了橢圓的簡單性質，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析幾何中的應用；正確表達出各點的坐標是解答本題的關鍵.12.已知橢圓的方程是，以橢圓的長軸為直徑作圓，若直線與圓和橢圓在軸上方的部分分別交于兩點，則面積的最大值為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用表示面積后利用二次函數(shù)的性質可求其最大值.【詳解】圓的方程為，故，故，整理得到，其中，故，當且僅當時等號成立，所以面積的最大值為.故選C.【點睛】圓錐曲線中的最值問題，往往需要構建目標函數(shù)，再借助常見函數(shù)的性質或基本不等式來求其最值，此類題為中檔題.二、填空題（每空5分，共20分）13.拋物線的準線方程是，則_.【答案】【解析】【詳解】拋物線的標準方程為,則a0且2，得a.14.已知一個正方體的所有頂點在一個球面，若球的體積為，則正方體的棱長為_【答案】【解析】【分析】列出關于球的半徑和棱長的方程組，解這個方程組可得正方體的棱長.【詳解】設正方體的棱長為，其外接球的半徑為，則，整理得到即，故填.【點睛】本題考查正方體的棱長及其外接球半徑之間的關系，屬于基礎題.15.已知雙曲線：的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線于、兩點，若，則的離心率為_【答案】【解析】如圖所示，由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，MAN=60，|AP|=b，|OP|=設雙曲線C的一條漸近線y=x的傾斜角為，則tan =又tan =，解得a2=3b2，e=答案：點睛：求雙曲線的離心率的值（或范圍）時，可將條件中提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量的方程或不等式，再根據(jù)和轉化為關于離心率e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值（或取值范圍）16.已知拋物線的焦點為，準線為，過拋物線上的點作準線的垂線，垂足為，若與（其中為坐標原點）的面積之比為3：1，則點的坐標為_【答案】【解析】【分析】設，利用焦半徑公式可得，從而可得與（其中為坐標原點）的面積，由面積比可得，從而得到所求的的坐標.【詳解】設，則，故，因為，故即，故即，填.【點睛】一般地，拋物線 上的點到焦點的距離為；拋物線 上的點到焦點的距離為.三、解答題（共70分）17.某幾何體的正視圖和側視圖如圖所示，它的俯視圖的直觀圖是，其中，求該幾何體的體積和表面積【答案】，【解析】【分析】根據(jù)俯視圖的直觀圖和正視圖、側視圖復原幾何體，根據(jù)公式可求其體積和表面積.【詳解】根據(jù)俯視圖的直觀圖和正視圖、側視圖復原的幾何體如圖所示：其中平面，中，到的距離為，.故，又在中，在中，故，因為銳角，故，所以，又，故表面積.【點睛】本題考慮三視圖及三棱錐體積、表面積的計算，根據(jù)三視圖復原幾何體時，注意復原前后點、線、面的關系，面積的計算可利用解三角形中的公式來進行計算，本題屬于中檔題18.（1）已知四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，四邊形為正方形，點是的中點，求異面直線與所成角的余弦值（2）如圖，在長方體中，分別是的中點，求異面直線與所成角的余弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設的中點分別為，連接，則可證或其補角為異面直線與所成角，利用余弦定理可求此角的余弦值.（2）連接，則可證或其補角為異面直線與所成角，利用余弦定理可求此角的余弦值.【詳解】（1）設的中點分別為，連接，在中，為中點，則，同理，而，故，所以四邊形為平行四邊形，從而，故或其補角為異面直線與所成角，設四棱錐棱長為，則，故，故異面直線與所成角的余弦值為.（2）如圖，連接，在中，為中點，則，在正方體中，因為，所以四邊形為平行四邊形，故或其補角為異面直線與所成角，又，故.故異面直線與所成角的余弦值為.【點睛】本題考查異面直線所成角，注意可通過平移把空間角轉化為平面角，再利用余弦定理求出角的大小或余弦值.19.（1）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖由兩個半圓和兩條線段組成，求該幾何體的表面積（2）圓臺的較小底面半徑為，母線長為，一條母線和底面的一條半徑有交點且成，求圓臺的側面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三視圖可復原幾何體，該幾何體為半個圓柱中挖去半個圓柱，根據(jù)公式可算計算其表面積.（2）在圓臺軸截面中，可計算出底面半徑，根據(jù)公式可求其側面積.【詳解】（1）三視圖對應的幾何體如圖所示：其表面積為.（2）圓臺的軸截面如圖所示：由題設可知：，過作的垂線，垂足為，則，故，故底面半徑為，故圓臺的側面積為.【點睛】本題（1）考查三視圖及其幾何體的復原，注意根據(jù)復原前后對應的點、線、面的位置關系，（2）考查圓臺的基本量的計算，注意利用軸截面來實現(xiàn)各基本量關系的轉化.20.過點作直線與曲線：交于兩點，在軸上是否存在一點，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由.【答案】存在滿足題意，詳見解析【解析】【分析】設直線，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去后，利用韋達定理和弦長公式可求的長度及的中點坐標，再求出的坐標后求其到的距離，利用可求，從而可求.【詳解】依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設直線，由消y整理，得，由直線和拋物線交于兩點，得即，由韋達定理，得：.則線段的中點為.線段的垂直平分線方程為：，令，得，則，為正三角形，到直線的距離為，解得，滿足式，此時【點睛】直線與圓錐曲線的位置關系，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數(shù)式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系中含有或，最后利用韋達定理把關系式轉化為某一個變量的方程，解此方程即可.21.橢圓（）的離心率是，點在短軸上，且。（1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，過點的動直線與橢圓交于兩點，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【詳解】（1）由已知，點C，D的坐標分別為（0，b），（0，b）又點P的坐標為（0，1），且1于是，解得a2，b所以橢圓E方程為.（2）當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為ykx1A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）聯(lián)立，得（2k21）x24kx20其判別式（4k）28（2k21）0所以從而x1x2y1y2x1x2（y11）（y21）（1）（1k2）x1x2k（x1x2）1所以，當1時，3，此時，3為定值.當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD此時213故存在常數(shù)1，使得為定值3.考點：本題主要考查橢圓的標準方程、直線方程、平面向量等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合、化歸與轉化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學思想.22.已知橢圓的左、右焦點分別為，其離心率，點P為橢圓上的一個動點，面積的最大值為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若A,B,C,D是橢圓上不重合的四個點，AC與BD相交于點，,求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）容易知道當P點為橢圓的上下頂點時，面積最大，再根據(jù) 橢圓的離心率為可得到關于a，c的方程組，解該方程組即可得到a，c，b，從而得出橢圓的方程；（2）先容易求出AC，BD中有一條直線不存在斜率時，當直線AC存在斜率k且不為0時