相約期末高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程期末知識梳理新人教A必修2

第四章 圓與方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；（2）一般方程當(dāng)時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為當(dāng)時，表示一個點(diǎn)； 當(dāng)時，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為，則有；（2）設(shè)直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。 (3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為 (課本命題)圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (課本命題的推廣)4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)時兩圓外離，此時有公切線四條；當(dāng)時兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)時，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時，為同心圓。例9、已知直線l1：4xy0，直線l2：xy10以及l(fā)2上一點(diǎn)P(3，2)求圓心C在l1上且與直線l2相切于點(diǎn)P的圓的方程解：設(shè)圓心為C(a，b)，半徑為r，依題意，得b4a.又PCl2，直線l2的斜率k21，過P，C兩點(diǎn)的直線的斜率kPC1，解得a1，b4，r|PC|2.故所求圓的方程為(x1)2(y4)28.例10已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(1,2)，問這四點(diǎn)能否在同一個圓上？若能在同一圓上，求出圓的方程，若不能在同一圓上，說明理由。解：設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為(xa)2(yb)2r2.則解此方程組，得所以，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x1)2(y3)25.把點(diǎn)D的坐標(biāo)(1,2)代入上面方程的左邊，得(11)2(23)25.所以，點(diǎn)D在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上，所以A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上，圓的方程為(x1)2(y3)25.例11已知點(diǎn)P(x，y)是圓(x2)2y21上任意一點(diǎn)(1)求x2y的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解：(1)設(shè)tx2y，則直線x2yt0與圓(x2)2y21有公共點(diǎn)