高爾夫球射程問題

第卷第期武漢理工大學學報（交通科學與工程版）年月（() () () ）() () 高爾夫球射程問題的動力學模擬研究高明向）陳定方）（武漢理工大學理學院）武漢）（武漢理工大學智能制造與控制研究所）武漢）摘要：利用數值模擬方法研究了高爾夫球的射程問題通過對初始速率、旋轉速度及拋射角等多種能夠人為控制的因素對射程影響的模擬與分析，得到了這些因素影響射程的規(guī)律關鍵詞：高爾夫球；射程；數值模擬中圖法分類號：引言量，繞過質心的軸轉動的角速度為；為重力加速度；為空氣密度；為空氣的阻力系數；為高爾夫球是一種把享受大自然樂趣、體育鍛空氣的動態(tài)粘滯系數；為球的特征面積；為球煉和游戲集于一身的運動，是一種在優(yōu)美環(huán)境中的體積；為風對球的作用力，也是位置和時間進行的高尚娛樂活動對高爾夫球類運動規(guī)律的的函數，可以根據實際需要建立不同的風力模型研究，將有助于高爾夫球運動的發(fā)展在國外，對則球在空氣中平動的常微分方程為（，）高爾夫球運動規(guī)律的研究方法除理論和實驗研究（，）外，還采用數值模擬方法在國內則側重于理論（，）（，）（，）分析，而在實驗研究和數值模擬上做得還不 夠在這些文獻中，為了分析和表示的方便，多將一些對球的運動影響較小的因素忽略不計，并把空氣的阻力系數當成常量處理，因而得到的理論分析結果和實際情況有一定差別盡可能多地考慮影響高爾夫球運動的因素，建立高爾夫球運動微分方程，利用數值模擬方法，對高爾夫球的運動進行動力學模擬，可以最大限度地獲得其真實的動力學行為，無論對于工程應用還是游戲娛樂都具有很大的實際意義本文針對球員能夠控制且對射程有明顯影響的因素進行了動力學模擬與分析高爾夫球的運動微分方程設高爾夫球的質量為；半徑為；質心速度為，是位置和時間的函數；為單位速度矢（）在空氣中轉動的常微分方程為() （，）（）方程（）右側第項為球的重力；第項為空氣阻力；第項為馬格納斯升力；第項為空氣浮力；方程（）右側為空氣對球的阻力矩下面根據此方程對高爾夫球的射程問題進行數值模擬，并對結果進行分析下文提到的粗糙球是指現(xiàn)代高爾夫球（網紋高爾夫球）阻力與光滑程度和球速的關系當高爾夫球在空氣中飛行時，由于其速度比較高，空氣阻力所產生的影響就顯得十分明顯對于大小相同、初始速率相等的球來說，其所受空氣收稿日期：高明向（）：男，博士，講師，主要研究領域為虛擬現(xiàn)實技術的理論與實現(xiàn)湖北省科技攻關項目資助（批準號：） 第期高明向，等：高爾夫球射程問題的動力學模擬研究阻力的差異表現(xiàn)在的不同，則與球表面粗糙程度以及雷諾數有關圖反映了時，粗糙球與光滑球的與間的關系當時，由于光滑球與粗糙球表面形成的邊界層都是層流，邊界層的分離點大致相同，壓差阻力也差不多一樣但是，由于粗糙的表面會增加摩擦阻力，因而此時粗糙球也會比光滑球受到更大的阻力圖粗糙球與光滑球的與間的關系如圖所示，對于光滑球，當超過時突然減小，對于粗糙球，當超過時開始減少，而接近時達到最小優(yōu)秀高爾夫球運動員的擊球速度可達到，可以計算，對于實際的高爾夫球，在標準大氣壓下， 時，此速度下，根據圖，在此雷諾數下空氣對粗糙球的阻力系數約為，而對光滑球的阻力系數約為（圖中已用虛線標出）因此粗糙球受到的空氣阻力要比光滑球小得多但速度為時，根據圖，空氣對二者的阻力系數相差更多隨著雷諾數的增加，當超過時，從圖中看到，空氣對粗糙球的阻力系數反而超過了光滑球此時的球速大約為，一般情況下，很難打出這么高的速度高爾夫球射程的動力學模擬射程與初速率及表面光滑程度的關系針對光滑球與粗糙球進行射程模擬實驗，研究初速率對射程的影響，并對光滑球和粗糙球的射程進行比較結果如下環(huán)境條件空氣溫度為（溫度影響空氣阻力系數）、無風初始條件球的運行方向為軸，并采用理論最佳拋射角，即與地面夾角為斜向上拋射，球不旋轉研究方法給定初始條件和環(huán)境條件，改變初始速率，獲取高爾夫球飛行過程中的數據，使用軟件處理數據圖反映了粗糙球的射程與初始速率的關系從圖中可以看到，在一定的初始速率范圍內，增加球的初始速率能夠有效地增加射程大約在的范圍內，球的射程幾乎隨著初始速率的增加而線性地增大，當初始速率超過時，隨著初始速率的增加，射程的增量開始減小圖射程與初始速率的關系通過對粗糙球與光滑球的射程差（粗糙球射程光滑球射程）及射程比（粗糙球射程光滑球射程）與初速率間的關系進行模擬，結果顯示，二者之間的最大比值約為，即粗糙球的射程是光滑球的倍，此時球的初始速率在的范圍內，一般情況下，球的初始速率都要低于此值，此時的射程比為之間模擬結果還表明，當初始速率低于時，光滑球與粗糙球的射程無差別，高于時射程的增大量變得越來越小，超過時，粗糙球的優(yōu)勢就變得越來越小了，這種優(yōu)勢隨著初始速率的增加幾乎線性地減小，當速度超過時，光滑球反而比粗糙球飛行得更遠這是由于，如圖所示，此時空氣對光滑球的阻力系數要小于對粗糙球的阻力系數所以，現(xiàn)代高爾夫球的極限初始速率應該控制在以內拋射角對射程的影響通過拋射角對射程影響的模擬，得到了最佳拋射角與初始速率的關系，模擬結果如下環(huán)境條件空氣溫度為 （溫度影響空氣阻力系數）、無風初始條件球的運行方向為軸，球不旋轉武漢理工大學學報（交通科學與工程版）年第卷研究方法給定初始條件和環(huán)境條件，改變拋射角，獲取高爾夫球飛行過程中的數據模擬結果顯示，不同的初始速率下，最佳拋射角并不相同初始速率為時，最佳拋射角約為此時的射程約為；初始速率為時，最佳拋射角約為，此時的射程約為；初始速率為時，最佳拋射角約為，此時的射程約為；而當初始速率增至時，最佳拋射角約為，此時的射程為模擬試驗表明，當考慮到旋轉的影響時，射程會超過這個數值，但最大射程不會超過，這就是現(xiàn)代小型高爾夫球場要求洞(，) 間距在以內，而球的飛行速率設計為最高的原因所在圖反映了最佳拋射角與初始速率間的關系初始速率低于時的最佳拋射角均為，隨著初始速率的增加，最佳拋射角在減小當球速接近時，最佳拋射角將減小為，高于此速率時，最佳拋射角又開始增大，但不超過，而當初始速率高于時，拋射角又開始減小，并漸漸趨向的拋射角初始速率高于時，就要更換為光滑的球了，因而不需考慮此時的拋射角問題圖初始速率與最佳拋射角的關系轉速對射程的影響旋轉對高爾夫球的射程也有明顯的影響從球手的角度看，球的旋轉可以分為上旋、下旋、側旋等，其中，上旋將會增大球的射程，而下旋則會減小球的射程，因為下旋時，空氣對球的升力將導致球很快下墜而側旋則會改變球在空中的路徑，從而形成各種各樣的飛行姿態(tài)，高爾夫球空中飛行的 “九形圖 ”就與球的不同旋轉形式有關旋轉對射程的影響，還與球的拋射角有關，不同拋射角下，需要有不同的轉速配合才能達到最大射程下面以初始速率研究轉速、拋射角對射程的影響從圖看到，提高轉速的同時降低拋射角能夠有效增加射程當拋射角較大時，增大轉速對射程的增加并沒有太大的好處，相反當轉速提高到一定程度后，反而使射程減少，原因在于，旋轉所產生的升力不僅在豎直方向上與重力抗衡，還會在水平方向上產生與球運動方向相反的分量，從而加劇了球在水平方向上的減速運動而當球的旋轉速度超過一定數值后，球反而會在空中折回球的拋射點在其他初始速率下，轉速對射程的影響是相似的圖轉速、拋射角與射程的關系結束語通過建立高爾夫球的動力學微分方程，并利用空氣對不同粗糙程度球的阻力曲線，在初始速率為的范圍內對高爾夫球的射程問題進行模擬研究，得出了能夠人為控制的多種因素（如初始速率、拋射角度、旋轉等）對高爾夫球射程的影響規(guī)律，模擬結果與真實高爾夫球的運動非常接近，因而對于增強高爾夫球的擊球技術和相關娛樂游戲的開發(fā)是有實際指導意義的 第期高明向，等：高爾夫球射程問題的動力學模擬研究參考文獻，（）：高明向虛擬環(huán)境中球形物體的動力學行為建模及夏皮羅形與流漫談阻力流體動力學談鎬其應用研究武漢：武漢理工大學理學院，生，譯北京：科學出版社，楊寶勝，王淑惠仰角取何值時鉛球拋得最遠物林榮生流體力學在體育運動中的某些應用力學理通報，（）：與實踐，（）：譚受清，熊定勛高爾夫導論長沙：國防科技大劉雅君高爾夫球射程問題的討論大學物理，學出版社，）（，）（，）：，：；檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶歡迎訂閱武漢理工大學學報（交通科學與工程版）武漢理工大學學報（交通科學與工程版）是基礎理論與應用相結合的中央級學術性期刊本刊報導范圍突出現(xiàn)代交通科學與工程，兼顧其他相關學科及交叉學科主要刊登有關數學、物理學、化學、船舶與海洋工程、機械科學與工程、船舶機械、輪機工程、港口機械、智能交通系統(tǒng)（）、車輛