贏在物理一輪配套練習7.7立體幾何中的向量方法理蘇教

第七節(jié) 立體幾何中的向量方法 強化訓練當堂鞏固1.設平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若則k等于( ) A.2B.-4C.4D.-2 答案:C 解析:(-2, k=4. 2.如圖,在長方體ABCD-中則與平面所成角的正弦值為 ( ) A.B.C.D. 答案:D 解析:以D點為坐標原點,以DA、DC、所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系(圖略), 則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0 且為平面的一個法向量. cos. 與平面所成角的正弦值為. 3.長方體ABCD-中E為的中點,則異面直線與AE所成角的余弦值為 . 答案: 解析:建立坐標系如圖, 則A(1,0,0),E(0,2,1), B(1 cos. 4.如圖,在四棱錐P-ABCD中底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E、F分別是AB、PB的中點. (1)求證:; (2)求DB與平面DEF所成角的正弦值. 解:以DA,DC,DP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系(如圖).設AD=a,則D(0,0,0), A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0), 0,a),. (1)證明:0, . (2)設平面DEF的法向量為n=(x,y,z), 由 得 即 取x=1,則y=-2,z=1, n=(1,-2,1), cos. 設DB與平面DEF所成角為則sin. 課后作業(yè)鞏固提升見課后作業(yè)A 題組一 利用空間向量證明平行、垂直問題 1.下列命題中,正確命題的個數(shù)為( ) 若nn分別是平面的法向量,則nn;若nn分別是平面的法向量,則nn;若n是平面的法向量,向量a與共面,則na=0;若兩個平面的法向量不垂直,則這兩個平面一定不垂直. A.1B.2 C.3D.4 答案:C 解析:結合平面法向量的概念,易知正確,故選D. 2.在正方體ABCD-中,若E為的中點,則直線CE垂直于( ) A.ACB.BD C.D. 答案:B 解析:如圖所示,易證平面又平面. 3.如圖,在正方體ABCD-中,棱長為a,M、N分別為和AC上的點則MN與平面的位置關系是( ) A.相交B.平行 C.垂直 D.不能確定 答案:B 解析:正方體棱長為 . 又是平面的法向量, 且 MN平面. 4.如果平面的一條斜線和它在這個平面上的射影的方向向量分別是a=(0,2,1),b那么這條斜線與平面的夾角是( ) A.90B.60C.45 D.30 答案:D 解析:cos因此a與b的夾角為30. 題組二 利用空間向量求空間角 5.正四棱錐的側棱長與底面邊長都是1,則側棱與底面所成的角為( ) A.75B.60C.45 D.30 答案:C 6.在正方體ABCD-中,M、N分別為棱和的中點,則sin的值為( ) A. B. C. D. 答案:B 解析:設正方體棱長為2,以D為坐標原點,DA為x軸,DC為y軸為z軸建立空間直角坐標系,可知 cos sin. 7.如圖所示,正方體ABCD-中,E、F分別是正方形和ABCD的中心,G是的中點,設GF、與AB所成的角分別為、則等于( ) A.120B.60C.75 D.90 答案:D 解析:建立坐標系如圖,則 B(2,0,0),A(2,2,0),G(0,0,1),F(1,1,0),E(1,2,1). 則 cos coscossin cossin. 8.正四棱錐S-ABCD中,O為頂點在底面上的射影,P為側棱SD的中點,且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是 . 答案:30 解析:如圖,以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz. 設OD=SO=OA=OB=OC=a, 則A(a,0,0),B(0,a,0), C(-a,0,0) 則 設平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1), 則cos , 直線BC與平面PAC所成的角為90-60=30. 題組三 綜合問題 9.如圖,在正三棱柱ABC中則二面角ABC的余弦值為 . 答案: 解析:如圖建立空間直角坐標系, 則A(0 . 設n=(x,y,z)為平面的法向量, 則 取n 取m=(0,0,1),作為平面ABC的法向量.則cos. 二面角-AB-C的余弦值為. 10.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形底面ABCD,點E是棱PB的中點.則直線AD與平面PBC的距離為 . 答案: 解析:如圖,以A為坐標原點,射線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸正半軸,建立空間直角坐標系A-xyz. 設D(0,a,0),則. 因此 則所以平面PBC. 又由ADBC知AD平面PBC,故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離,即為|. 11.如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-是正方體,其中. (1)求證:; (2)求平面PAD與平面所成銳二面角的余弦值. 解:以為原點所在直線為x軸所在直線為y軸所在直線為z軸建立如圖空間直角坐標系, 則 D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(1,1,4). (1)證明: 0, . (2)平面的法向量為. . 設平面PAD的法向量為n=(x,y,z),則nn. 取n=(0,-2,1), 設所求銳二面角為則 cos. 12.如圖,已知等腰直角三角形RBC,其中,RB=BC=2.點A、D分別是RB、RC的中點,現(xiàn)將RAD沿著邊AD折起到PAD位置,使連接PB、PC. (1)求證:; (2)求二面角A-CD-P的平面角的余弦值. 解:(1)證明:點A、D分別是RB、RC的中點, AD , 平面PAB. 平面PAB,. (2)方法一:取RD的中點F,連接AF、PF. RA=AD=1, . 平面RBC. 平面RBC, . 平面PAF.平面PAF, . 是二面角A-CD-P的平面角. 在RtRAD中 在RtPAF中 cos. 二面角A-CD-P的平面角的余弦值是. 方法二:建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz. 則D(-1,0,0),C(-2,1,0),P