湖北武漢武昌區(qū)高二數(shù)學(xué)九月調(diào)研測試

湖北省武漢市武昌區(qū)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)九月調(diào)研測試試題（含解析）一、選擇題：1.已知集合，則A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)題意明確集合與集合所包含的元素，然后根據(jù)交集的定義即可得出結(jié)果?！驹斀狻恳驗榧?，集合，所以，故選C?！军c睛】本題考查了交集的相關(guān)性質(zhì)，交集是取兩個集合中共同包含的元素，考查推理能力，是簡單題。2.不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本題首先可通過因式分解將不等式轉(zhuǎn)化為，然后通過計算即可得出結(jié)果?！驹斀狻坎坏仁剑?，即或，解得，故選A?！军c睛】本題考查一元二次不等式的解法，能否熟練使用一元二次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵，考查計算能力，是簡單題。3.設(shè)為數(shù)列的前項和，若，則A. 31B. 63C. 105D. 127【答案】B【解析】【分析】本題首先根據(jù)可判斷出數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，然后根據(jù)計算得出，最后根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可得出結(jié)果?！驹斀狻恳驗?，所以，所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因為，所以，所以，故選B。【點睛】本題考查等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，考查等比數(shù)列的定義以及等比數(shù)列的前項和公式，考查計算能力以及推理能力，是中檔題。4.已知向量的夾角為，且，則A. 3B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本題首先可根據(jù)向量計算出向量的模長，然后通過向量的數(shù)量積公式以及向量計算的相關(guān)性質(zhì)對進(jìn)行化簡，得出，即可得出結(jié)果?！驹斀狻恳驗?，所以，所以，故，故選C。【點睛】本題考查向量的計算、向量的模長公式以及向量的數(shù)量積公式，若向量的夾角為，則向量的數(shù)量積，考查計算能力，是簡單題。5.已知，則的大小關(guān)系為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大小。【詳解】；。故。故選A?！军c睛】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對待。6.求值：4cos 50tan 40()A. B. C. D. 21【答案】C【解析】【分析】原式第一項利用誘導(dǎo)公式化簡，第二項利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，通分后利用同分母分式的減法法則計算，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，約分即可得到結(jié)果【詳解】4cos50tan40=4sin40tan40=故選：C【點睛】本題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵7.在中，角的角平分線，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本題首先可根據(jù)正弦定理以及、計算出，然后根據(jù)是角的角平分線計算得出以及，最后利用正弦定理即可得出結(jié)果?！驹斀狻咳鐖D所示，因為，所以，解得，,因為是角的角平分線，,所以,，所以，解得，故選D?！军c睛】本題考查正弦定理解三角形，考查正弦定理公式的靈活使用，正弦定理公式為，考查計算能力，是簡單題。8.若函數(shù)是奇函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】的定義域為，它應(yīng)該關(guān)于原點對稱，所以，又時，為奇函數(shù).又原不等式可以化為，所以，所以，選C.點睛：如果一個函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么它的定義域必須關(guān)于原點對稱，我們可以利用這個性質(zhì)去求奇函數(shù)或偶函數(shù)中的參數(shù)的值.9.已知是平面外的兩條不同直線，給出以下三個命題：若，則；若，則；若，則.其中正確命題的個數(shù)是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】本題可結(jié)合題目所給出的條件以及空間線面的位置關(guān)系的判定定理及性質(zhì)進(jìn)行判斷，依次判斷正誤后即可得出結(jié)果。【詳解】根據(jù)無法判斷出直線與平面的關(guān)系，故錯；因為，是平面外的兩條不同直線，所以，故正確；因為，所以根據(jù)線面垂直的相關(guān)性質(zhì)可知，故正確，綜上所述，故選C?！军c睛】本題主要考查直線與平面以及直線與直線位置關(guān)系的判定，考查推理能力，考查空間想象能力，考查對線面位置關(guān)系的理解，是中檔題。10.已知函數(shù)，其相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將的圖像向右平移個單位后，所得函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則（ ）A. 的圖像關(guān)于點對稱B. 的圖像關(guān)于直線對稱C. 在區(qū)間單調(diào)遞增D. 在區(qū)間單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】本題首先可根據(jù)相鄰兩條對稱軸之間的距離為得出，然后根據(jù)右平移個單位得出函數(shù)，再然后根據(jù)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱以及得出，最后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果?！驹斀狻恳驗楹瘮?shù)的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，將函數(shù)向右平移個單位后得到函數(shù)，因為函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，所以，因為，所以，當(dāng)即時，函數(shù)是增函數(shù)，故C正確。【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)解析式的求法、三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)圖像變換以及三角函數(shù)的單調(diào)性，考查對三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的理解，考查推理能力，體現(xiàn)了綜合性，是中檔題。11.已知三棱錐的頂點都在球的球面上，若平面，則球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】本題首先可根據(jù)題意確定三棱錐的形狀以及三棱錐可看做長方體的一部分，然后根據(jù)長方體的外接球的相關(guān)性質(zhì)以及、即可得出結(jié)果?！驹斀狻咳鐖D所示，因為平面，所以三棱錐可看做長方體的一部分，因為三棱錐的頂點都在球的球面上，所以球是三棱錐的外接球，也是長方體的外接球，因為，所以，所以球的表面積，故選D?！军c睛】本題考查三棱錐外接球的表面積求法，考查長方體的外接球的相關(guān)性質(zhì)，考查球的表面積公式，考查推理能力，是中檔題。12.已知函數(shù)，函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【詳解】函數(shù)恰有4個零點，即方程，即有4個不同的實數(shù)根，即直線與函數(shù)的圖象有四個不同的交點又做出該函數(shù)的圖象如圖所示，由圖得，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有4個不同的交點，故函數(shù)恰有4個零點時，b的取值范圍是故選D考點：1、分段函數(shù)；2、函數(shù)的零點【方法點晴】本題主要考查的是分段函數(shù)和函數(shù)的零點，屬于難題已知函數(shù)的零點個數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題，作圖時一定要保證圖形準(zhǔn)確， 否則很容易出現(xiàn)錯誤二、填空題：13.已知，則_.【答案】【解析】【分析】本題首先可根據(jù)計算出的值，然后通過以及計算出的值，最后通過兩角差的正切公式即可得出結(jié)果?！驹斀狻恳驗?，所以，所以?！军c睛】本題考查三角恒等變換，主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及兩角差的正切公式，考查的公式有、以及，考查計算能力，是中檔題。14.某商品進(jìn)貨單價為30元，按40元一個銷售，能賣40 個；若銷售單價每漲1元，銷售量減少一個，要獲得最大利潤時，此商品的售價應(yīng)該為每個_元【答案】625【解析】設(shè)漲價 x 元，利潤 y=(40+x)(40-x)-30(40-x)= -x2+30x+400，y最大=625(元)故答案為62515.在邊長為菱形中，已知為的中點，則_.【答案】3【解析】【分析】本題首先可借助菱形的性質(zhì)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)菱形的邊長為以及寫出點、的坐標(biāo)，再然后寫出向量以及根據(jù)為的中點寫出向量，最后根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可得出結(jié)果?！驹斀狻恳驗樗倪呅问橇庑?，所以以直線為軸、以直線為軸構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為菱形邊長為，所以，因為為的中點，所以，所以，故答案為?！军c睛】本題考查向量的數(shù)量積的求法，可根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得結(jié)果，能否合理構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，考查計算能力，是中檔題。16.如圖，在四面體中，分別是的中點若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為_.【答案】【解析】【分析】本題首先可以將四面體補(bǔ)成長寬高分別為、的長方體，然后根據(jù)平面得出截面為平行四邊形，再然后根據(jù)三角形相似的相關(guān)性質(zhì)得出兩相鄰邊的和為，再然后求出異面直線與所成角的正弦值，最后通過解三角形面積公式以及基本不等式即可得出結(jié)果?！驹斀狻咳鐖D所示，將四面體補(bǔ)成長寬高分別為、的長方體，由于平面，故截面為平行四邊形，由平面幾何的平行線段成比例可得，設(shè)異面直線與所成角為，則，解得，所以平行四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”號，故答案?！军c睛】本題考查四面體截面面積的求法，考查解三角形面積公式以及基本不等式的使用，能否根據(jù)四面體構(gòu)建出長方體以及確定四面體截面的位置是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是難題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟17.（本題滿分10分）17.設(shè)是等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式（2）求數(shù)列的前項和【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)首先可以根據(jù)成等比數(shù)列以及列出算式并通過計算得出公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可得出結(jié)果；(2)本題可結(jié)合(1)中結(jié)論以及等差數(shù)列的前和公式即可得出結(jié)果?！驹斀狻?1)因為，且成等比例，所以，解得.所以.(2)因為，所以.【點睛】本題考查等比中項、等差數(shù)列的通項公式以及等差數(shù)列的前和公式，等差數(shù)列的通項公式為，等差數(shù)列的前和公式為，考查計算能力，是中檔題。18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)本題首先可以通過三角恒等變換的相關(guān)公式將函數(shù)化簡為，然后根據(jù)即可得出結(jié)果；(2)本題首先可以根據(jù)題意得出在上滿足，然后求出函數(shù)在區(qū)間的最大值，即可得出結(jié)果?！驹斀狻?1)因為，所以.(2)在上恒成立，等價于，因為，所以，當(dāng)，即時，所以，即。【點睛】本題考查三角恒等變換以及三角函數(shù)最大值的求法，考查二倍角公式以及兩角和的正弦公式，考查化簡與轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，是中檔題。19.設(shè)函數(shù)，且，（1）求，的值；（2）當(dāng)時，求最大值.【答案】(1) ；(2) .【解析】【分析】（1）由，可得關(guān)于的二元一次方程組，從而可解得（2）由（1）可知,令,根據(jù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得的范圍,再用配方法求真數(shù)即的范圍根據(jù)真數(shù)的范圍及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求的的最大值【詳解】（1）；（2） ,設(shè)，當(dāng)時，即時，.考點：1指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;2配方法求值域20.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角； （2）若，求的面積.【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理的邊角互化，可將等式化簡為，再利用，可知，最后化簡求值；（2）利用余弦定理可求得，代入求面積.【詳解】（1）由已知以及余弦定理得： 所以, （2）由題知， 【點睛】本題第一問考查了正弦定理，第二問考查了余弦定理和面積公式，當(dāng)一個式子有邊也有角時，一般可通過正弦定理邊角互化轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)恒等變形問題，而對于余弦定理與三角形面積的關(guān)系時，需重視的變形使用.21.如圖，直三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為，為的中點（1）若，證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】(1)本題首先可通過為的中點得出，然后根據(jù)三棱柱是直棱柱得出平面以及，再然后由得出，最后根據(jù)即可證得平面；(2)首先可以過點作平面，然后根據(jù)線面角的相關(guān)性質(zhì)可知為直線與平面所成的角，最后通過等體積法即可求得以及線面角的正弦值?！驹斀狻?1)因為是正三角形，為的中點，所以.因為三棱柱是直棱柱，所以平面，從而因為四邊形是矩形，且，所以,，因為，所以平面。(2)如圖所示，過點作平面，垂足為，連結(jié)，則為直線與平面所成的角， 在中，所以.在中，所以.因為，所以.所以，解得.所以。【點睛】本題考查線面垂直的證明以及線面角的正弦值的求法，能否熟練使用線面垂直的證明方法以及通過線面角的定義找出線面角是解決本題的關(guān)鍵，考查等體積法的使用，考查推理能力，是難題。22.設(shè)平行四邊形的周長為12，把它關(guān)于折起來，折過去后，交于點.設(shè)，的面積為.（1）用表示的面積；（2）求的最大值及相應(yīng)的值.【答案】（1）（2）當(dāng)時，的面積有最大值【解析】【分析】(1