數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系--知識講解（提高）

選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 中考總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系中考總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系 知識講解（提高）知識講解（提高） 【考綱要求】【考綱要求】 1. 圓的基本性質(zhì)和位置關(guān)系是中考考查的重點(diǎn)，但圓中復(fù)雜證明及兩圓位置關(guān)系中證明會有下降 趨勢，不會有太復(fù)雜的大題出現(xiàn)； 2.中考試題中將更側(cè)重于具體問題中考查圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對應(yīng)用、創(chuàng)新、開放探 究型題目，會根據(jù)當(dāng)前的政治形勢、新聞背景和實(shí)際生活去命題，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng) 用于生活 【知識網(wǎng)絡(luò)】【知識網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】【考點(diǎn)梳理】 考點(diǎn)一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)考點(diǎn)一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì) 1 1圓的有關(guān)概念圓的有關(guān)概念 圓、圓心、半徑、等圓； 弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等??； 三角形的外接圓、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)心、圓心角、圓周角 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧 2 2圓的對稱性圓的對稱性 圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸； 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形； 圓具有旋轉(zhuǎn)不變性 3 3圓的確定圓的確定 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小 4 4垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 推論 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：在圖中(1)直徑 CD，(2)CDAB，(3)AMMB，(4)，(5)若上述 5 個(gè) CCAB ADBD 條件有 2 個(gè)成立，則另外 3 個(gè)也成立因此，垂徑定理也稱“五二三定理” 即知二推三 注意：(1)(3)作條件時(shí)，應(yīng)限制 AB 不能為直徑 5 5圓心角、弧、弦之間的關(guān)系圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等 推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的 其余各組量也相等 6 6圓周角圓周角 圓周角定理 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一 半 推論 1 在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等 推論 2 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中 7.7.圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形 （1）定義: 圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形 （2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角（即它的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的對角） 考點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系考點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1 1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 設(shè)O 的半徑為 r，點(diǎn) P 到圓心的距離 OPd，則有： 點(diǎn) P 在圓外dr； 點(diǎn) P 在圓上dr； 點(diǎn) P 在圓內(nèi)dr 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：圓的確定： 過一點(diǎn)的圓有無數(shù)個(gè)，如圖所示 過兩點(diǎn) A、B 的圓有無數(shù)個(gè)，如圖所示 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 經(jīng)過在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓如圖所示 2 2直線和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系 （1）切線的判定 切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 (會過圓上一點(diǎn)畫圓的切線) （2）切線的性質(zhì) 切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 （3）切線長和切線長定理 切線長 經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長 切線長定理 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩 條切線的夾角 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：直線l是O 的切線，必須符合兩個(gè)條件：直線l經(jīng)過O 上的一點(diǎn) A；OAl （4）三角形的內(nèi)切圓： 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓. （5）三角形的內(nèi)心： 三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心. 三角形的內(nèi)心到三邊的距 離都相等. 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： (1) 任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形； (2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 的一半，即(S 為三角形的面積，P 為三角形的周長，r 為內(nèi)切圓的半徑). (3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別： 名稱確定方法圖形性質(zhì) 外心(三角形外 接圓的圓心) 三角形三邊中垂線的 交點(diǎn) (1) 到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距 離相等，即 OA=OB=OC；(2) 外心不一定在三角形內(nèi)部 內(nèi)心(三角形內(nèi) 切圓的圓心) 三角形三條角平分線 的交點(diǎn) (1)到三角形三邊距離相等； (2)OA、OB、OC 分別平分 BAC、ABC、ACB； (3)內(nèi) 心在三角形內(nèi)部. 3 3圓和圓的位置關(guān)系圓和圓的位置關(guān)系 (1)基本概念 兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義 (2)請看下表： 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： 相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)含其中相切和相交是重點(diǎn) 同心圓是內(nèi)含的特殊情況 圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)圓的相對運(yùn)動來理解 “R-r”時(shí)，要特別注意，Rr 考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的規(guī)律探究考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的規(guī)律探究 1 1和圓有關(guān)的最長線段和最短線段和圓有關(guān)的最長線段和最短線段 了解和圓有關(guān)的最長線段與最短線段，對有關(guān)圓的性質(zhì)的了解極為重要，下面對有關(guān)問題進(jìn)行簡 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 單論述 (1)圓中最長的弦是直徑 如圖，AB 是O 的直徑，CD 為非直徑的弦，則 ABCD，即直徑 AB 是最長的弦 過圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，是與過該點(diǎn)的直徑垂直的弦，如圖，P 是O 內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作O 的直徑 AB，過 P 作弦 CDAB 于 P，則 CD 是過點(diǎn) P 的最短的弦 (2)圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的連線中，最長的線段與最短的線段都在過圓心的直線上 如圖所示，P 在O 外，連接 PO 交O 于 A，延長 PO 交O 于 B，則在點(diǎn) P 與O 上各點(diǎn)連接的線 段中，PB 最長，PA 最短 (3)圓內(nèi)一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的連線中，最長的線段與最短的線段也都在過圓心的直線上 如圖所示，P 為O 內(nèi)一點(diǎn)，直徑過點(diǎn) P，交O 于 A、B 兩點(diǎn)，則 PB 最長、PA 最短 2 2與三角形內(nèi)心有關(guān)的角與三角形內(nèi)心有關(guān)的角 (1)如圖所示，I 是ABC 的內(nèi)心，則BIC 1 90 2 A (2)如圖所示，E 是ABC 的兩外角平分線的交點(diǎn)， 1 90 2 BECA 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 (3)如圖所示，E 是ABC 內(nèi)角與外角的平分線的交點(diǎn)， 1 2 EA (4)如圖所示，O 是ABC 的內(nèi)切圓，D、E、F 分別為切點(diǎn)，則DOE180A (5)如圖所示，O 是ABC 的內(nèi)切圓，D、E、F 為切點(diǎn)， 1 90 2 DFEA (6)如圖所示，O 是ABC 的內(nèi)切圓，D、E、F 為切點(diǎn)，P 為上一點(diǎn)，則 DE 1 90 2 DPEA 【典型例題】【典型例題】 類型一、圓的性質(zhì)及垂徑定理的應(yīng)用類型一、圓的性質(zhì)及垂徑定理的應(yīng)用 1已知：如圖所示，O 中，半徑 OA4，弦 BC 經(jīng)過半徑 OA 的中點(diǎn) P，OPC60，求弦 BC 的長 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 【思路點(diǎn)撥】 要用好 60角，構(gòu)造直角三角形在圓中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦長及半徑構(gòu) 成直角三角形 【答案與解析】 解：過 O 作 OMBC 于 M，連接 OC 在 RtOPM 中，OPC60， OP， 1 2 2 OA PM1，OM3 在 RtOMC 中， BC2MC 22 22 13OCOM 【總結(jié)升華】 圓的半徑、弦長的一半、弦心距三條線段組成一個(gè)直角三角形，其中一個(gè)銳角為弦所對圓心角的 一半，可充分利用它們的關(guān)系解決有關(guān)垂徑定理的計(jì)算問題 2如圖所示，在O 中，弦 AB 與 CD 相交于點(diǎn) M，連接 AC ADBC (1)求證：MAC 是等腰三角形； (2)若 AC 為O 直徑，求證：AC22AMAB 【思路點(diǎn)撥】 (1)證明MCAMAC；(2)證明AOMABC 【答案與解析】 證明：(1) ，MCAMAC ADCB 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 MAC 是等腰三角形 (2)連接 OMAC 為O 直徑，ABC90 MAC 是等腰三角形，OAOC， MOACAOMABC90 MAOCAB，AOMABC， ，AOACAMAB， AOAB AMAC AC22AMAB 【總結(jié)升華】 本題考查的是圓周角定理，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三 角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，涉及面較廣，難度適中 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】如圖所示，在O 中，AB2CD，則( ) A B 2ABCD 2ABCD C D與的大小關(guān)系無法確定 2ABCD AB 2CD 【答案】 解：要比較與的大小有兩種思路 AB 2CD (1)把的一半作出來，比較與的大??； AB 1 2 AB CD (2)把作出來，比較與的大小 2CD AB 2CD 如圖所示，作 OEAB，垂足為 E，交于 F則，且 AB AFBF 1 2 AEAB AB2CDAECD 在 RtAFE 中，AFAECD AFCD ，即 22AFCD 2ABCD 答案 A. 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 【高清課堂：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系 ID:412074 經(jīng)典例題 2】 3已知：如圖所示，ABC 內(nèi)接于O，BD半徑 AO 于 D (1)求證：CABD； (2)若 BD4.8，sinC，求O 的半徑 4 5 【思路點(diǎn)撥】 過 O 作 OEAB 于 E，連接 BO，再由垂徑定理及三角函數(shù)進(jìn)行證明與求解. 【答案與解析】 解法一：(1)過 O 作 OEAB 于 E， 連接 BO(如圖所示)，則 1 2 CBOAAOE 又 BDAO，ABD+BAD90 AOE+BAD90，ABDAOEC （2）在 RtABD 中， sin AD ABD AB 4 sin 5 AD C AB 設(shè) AD4k，則 AB5k，BD3k4.8，k1.6 AB8，AE4 ，OA5sin AE AOE OA 44 5OA 解法二：（1）延長 AO 交O 于 C （如圖所示） 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 CC AC為O 的直徑， ABC90 C+BAD90 BAD+ABD90， ABDCC （2）在 RtBDC中，sinsin BD CC BC 4.8 6 0.8 BC 在 RtABC中， 4 sin 5 AB C AC 設(shè) AB4k，則 AC5k，BC3k6 k2 11 105 22 OAAC 【總結(jié)升華】 解決圓周角的問題中常用的方法有兩種：一是把圓周角轉(zhuǎn)化為同弧所對圓心角的一半的角；二是 將圓周角的頂點(diǎn)移動到使其一邊經(jīng)過圓心 類型二、圓的切線判定與性質(zhì)的應(yīng)用類型二、圓的切線判定與性質(zhì)的應(yīng)用 4 （2014 秋興化市月考）如圖，AB 是O 的直徑，點(diǎn) C 是O 上一點(diǎn)，AD 與過點(diǎn) C 的切線垂 直，垂足為點(diǎn) D，直線 DC 與 AB 的延長線相交于點(diǎn) P，弦 CE 平分ACB，交 AB 于點(diǎn) F，連接 BE （1）求證：AC 平分DAB； （2）求證：PCF 是等腰三角形； （3）若 AC=8，BC=6，求線段 BE 的長 【思路點(diǎn)撥】 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得結(jié)論； （2）連接 OE，根據(jù)圓周角定理得ACB=90，進(jìn)而可推導(dǎo)得出PCF 是等腰三角形； （3）先在 RtACB 中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出 AB=10，最終算得 BE 的值 【答案與解析】 （1）證明：PD 為O 的切線， OCDP， ADDP， OCAD， DAC=OCA， OA=OC， OAC=OCA， OAC=DAC， AC 平分DAB； （2）證明：AB 為O 的直徑， ACB=90， CE 平分ACB， BCE=45， BOE=2BCE=90， OFE+OEF=90， 而OFE=CFP， CFP+OEF=90， OCPD， OCP=90，即OCF+PCF=90， 而OCF=OEF， PCF=CFP， PCF 是等腰三角形； （3）解：在 RtACB 中， AC=8，BC=6， AB=10， OB=5， BOE=90， BOE 為等腰直角三角形， BE=OB=5 【總結(jié)升華】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理和等腰三角形的判定運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】 （2015畢節(jié)市）如圖，以ABC 的 BC 邊上一點(diǎn) O 為圓心的圓，經(jīng)過 A，B 兩點(diǎn)，且與 BC 邊 交于點(diǎn) E，D 為 BE 的下半圓弧的中點(diǎn)，連接 AD 交 BC 于 F，AC=FC （1）求證：AC 是O 的切線； （2）已知圓的半徑 R=5，EF=3，求 DF 的長 【答案】 （1）證明：連結(jié) OA、OD，如圖， D 為 BE 的下半圓弧的中點(diǎn)， ODBE， D+DFO=90， AC=FC， CAF=CFA， CFA=DFO， CAF=DFO， 而 OA=OD， OAD=ODF， OAD+CAF=90，即OAC=90， OAAC， AC 是O 的切線； （2）解：圓的半徑 R=5，EF=3， OF=2， 在 RtODF 中，OD=5，OF=2， DF= 類型三、切線的性質(zhì)與等腰三角形、勾股定理綜合運(yùn)用類型三、切線的性質(zhì)與等腰三角形、勾股定理綜合運(yùn)用 5如圖所示，O 是 RtABC 的外接圓，AB 為直徑，ABC30，CD 是O 的切線，EDAB 于 F 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 (1)判斷DCE 的形狀； (2)設(shè)O 的半徑為 1，且，求證DCEOCB 31 2 OF 【思路點(diǎn)撥】 （1）由于 AB 是直徑，那么ACB=90，而ABC=30，易求BAC=60，結(jié)合 OA=OC，易證 AOC 是正三角形，于是OCD=60，結(jié)合 CD 是切線，易求DCE=30，在 RtAEF 中，易求 E=30，于是DCE=E，可證CDE 為等腰三角形； （2）在 RtABC 中，由于A=60，AB=2，易求 AC=AO=1，利用勾股定理可求 BC=，CE=AE-3 AC=，那么 BC=CE，而OBC=OCB=DCE=DEC=30，從而可證OBCDCE3 【答案與解析】 解：(1)ABC30，BAC60 又OAOC，AOC 是正三角形 CD 是切線，OCD90 DCE180-609030 DCEDEC 而 EDAB 于 F， CED90BAC30 故CDE 為等腰三角形 (2)證明：在ABC 中， AB2，ACAO1，BC3 ， 31 2 OF 31 2 AFAOOF 又AEF30，AE2AF31 CEAEACBC3 而OCBACBACO30ABC， 故CDECOB 【總結(jié)升華】 本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形 的判定和性質(zhì)解題的關(guān)鍵是證明AOC 是正三角形 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】如圖所示，PQ3，以 PQ 為直徑的圓與一個(gè)以 5 為半徑的圓相切于點(diǎn) P，正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A、B 在大圓上，小圓在正方形的外部且與 CD 切于點(diǎn) Q，則 AB_ 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 【答案】 解：連接 PQ 并延長交 AB 于 E，設(shè)大圓的圓心為 O，連接 OA設(shè) AB2x，則 AEx，OB2x-2 在 RtOAE 中，OA5， OA2OE2+AE2，即 52(2x-2)2+x2， x3AB6 答案：6 6如圖所示，O 的直徑 AB4，點(diǎn) P 是 AB 延長線上的一點(diǎn)，PC 切O 于點(diǎn) C，連接 ACPM 平 分APC 交 AC 于 M (1)若CPA30，求 CP 的長及CMP 的度數(shù)； (2)若點(diǎn) P 在 AB 的延長線上運(yùn)動，你認(rèn)為CMP 的大小是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變 化，請求出CMP 的度數(shù)； (3)若點(diǎn) P 在直徑 BA 的延長線上，PC 切O 于點(diǎn) C，那么CMP 的大小是否變化？