數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)：整式與因式分解--知識(shí)講解（提高）

選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 中考總復(fù)習(xí)：整式與因式分解中考總復(fù)習(xí)：整式與因式分解知識(shí)講解（提高）知識(shí)講解（提高） 【考綱要求】【考綱要求】 1.整式部分主要考查冪的性質(zhì)、整式的有關(guān)計(jì)算、乘法公式的運(yùn)用，多以選擇題、填空題的形式出 現(xiàn)； 2.因式分解是中考必考內(nèi)容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常滲透在一元二次方程和分式的化 簡(jiǎn)中進(jìn)行考查. 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 【考點(diǎn)梳理】【考點(diǎn)梳理】 考點(diǎn)一、整式考點(diǎn)一、整式 1.1.單項(xiàng)式單項(xiàng)式 數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式單項(xiàng)式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點(diǎn)是對(duì)字母 來(lái)說(shuō)只含有乘法的運(yùn)算，不含有加減運(yùn)算在含有除法運(yùn)算時(shí)，除數(shù)(分母)只能是一個(gè)具體的數(shù)，可 以看成分?jǐn)?shù)因數(shù)單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： （1）單項(xiàng)式的系數(shù)是指單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù) （2）單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和 2.2.多項(xiàng)式多項(xiàng)式 幾個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)和叫做多項(xiàng)式也就是說(shuō)，多項(xiàng)式是由單項(xiàng)式相加或相減組成的 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： （1）在多項(xiàng)式中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng) （2）多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù) （3）多項(xiàng)式的次數(shù)是 n 次，有 m 個(gè)單項(xiàng)式，我們就把這個(gè)多項(xiàng)式稱為 n 次 m 項(xiàng)式 （4）把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降 冪排列另外，把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這 個(gè)字母升冪排列 3.3.整式整式 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式 4.4.同類項(xiàng)同類項(xiàng) 所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng) 5.5.整式的加減整式的加減 整式的加減其實(shí)是去括號(hào)法則與合并同類項(xiàng)法則的綜合運(yùn)用 把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類 項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母部分不變. 如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù) 是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反. 整式加減的運(yùn)算法則：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng). 6.6.整式的乘除整式的乘除 冪的運(yùn)算性質(zhì)： 單項(xiàng)式相乘：兩個(gè)單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字 母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相 加用式子表達(dá)： 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：一般地，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè) 多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加用式子表達(dá)： 平方差公式： 完全平方公式： 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 在運(yùn)用乘法公式計(jì)算時(shí)，有時(shí)要在式子中添括號(hào)，添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào) 里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào). 單項(xiàng)式相除：兩個(gè)單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里 含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得 的商相加 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： （1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式. （2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)， 即（都是正整數(shù)）. mnpm np aaaa ,m np （3）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同， 它們的指數(shù)之和等于原來(lái)的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）. m nmn aaa ,m n （4）公式的推廣： (，均為正整數(shù))() mnmn aa() ) mnpmnp aa0a, ,m n p （5）逆用公式： ，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變 nm mnmn aaa 形，從而解決問(wèn)題. （6）公式的推廣： (為正整數(shù)).() nnn abab() nnnn abcabcn （7）逆用公式：逆用算式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù) n nn a bab 時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如： 1010 10 11 221. 22 （8）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng) 數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘， . 2 xaxbxab xab 考點(diǎn)二、因式分解考點(diǎn)二、因式分解 1.1.因式分解因式分解 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解 2.2.因式分解常用的方法因式分解常用的方法 （1）提取公因式法：)(cbammcmbma （2）運(yùn)用公式法： 平方差公式：；完全平方公式：)( 22 bababa 222 )(2bababa 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 （3）十字相乘法：)()( 2 bxaxabxbax （4）分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解. （5）添、拆項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于 提公因式法、公式法或分組分解法進(jìn)行分解.要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形. （6）運(yùn)用求根公式法：若的兩個(gè)根是、，則有：)0(0 2 acbxax 1 x 2 x . )( 21 2 xxxxacbxax 3.3.因式分解的一般步驟因式分解的一般步驟 （1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或無(wú)公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法； （3）對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考慮用分組分解法及添、拆項(xiàng)法. 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： （1）因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式； （2）最終把多項(xiàng)式化成乘積形式； （3）結(jié)果要徹底，即分解到每個(gè)因式都不能再分解為止 （4）十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則a 提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上. （5）分組分解法分解因式常用的思路有： 方法分類分組方法特點(diǎn) 二項(xiàng)、二項(xiàng) 按字母分組按系數(shù)分組 符合公式的兩項(xiàng)分組 四項(xiàng) 三項(xiàng)、一項(xiàng)先完全平方公式后平方差公式 五項(xiàng)三項(xiàng)、二項(xiàng)各組之間有公因式 三項(xiàng)、三項(xiàng) 二項(xiàng)、二項(xiàng)、二項(xiàng) 各組之間有公因式 分組分 解法 六項(xiàng) 三項(xiàng)、二項(xiàng)、一項(xiàng)可化為二次三項(xiàng)式 【典型例題】【典型例題】 類型一、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算類型一、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算 1若多項(xiàng)式 x2+ax+8 和多項(xiàng)式x2-3x+b相乘的積中不含x2、x3項(xiàng)，求（a-b）3-（a3-b3）的 值 【思路點(diǎn)撥】 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相 加結(jié)果中不含二次項(xiàng)和三次項(xiàng)，則說(shuō)明這兩項(xiàng)的系數(shù)為 0，建立關(guān)于 a、b 等式，求出 a、b 后再求代 數(shù)式值 【答案與解析】 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 解：（x 2+ax+8） （x2-3x+b）=x4+（a-3）x3+（b-3a+8）x2+（ab-24）x+8b， 又不含 x2、x3項(xiàng)， a-3=0，b-3a+8=0， 解得 a=3，b=1， （a-b）3-（a3-b3）=（3-1）3-（33-13）=8-26=-18 【總結(jié)升華】解此類問(wèn)題的常規(guī)思路是：將兩個(gè)多項(xiàng)式依據(jù)乘法法則展開(kāi)，合并同類項(xiàng)，根據(jù)不含某 一項(xiàng)就是這一項(xiàng)的系數(shù)等于 0 再通過(guò)解方程（組）求解 2設(shè)m2m20，求m33m22012 的值 【思路點(diǎn)撥】可以把m33m22012 及m2m20 變形 【答案與解析】 由m2m20，得m22m，m2m2， 原式m2m3m22012 （2m）m3m22012 2mm23m22012 2（m2m）2012 222012 2016 【總結(jié)升華】要多探索方法，尋求新穎簡(jiǎn)捷的方法 3已知，求的值 2 5 m x 6 1 5 5 m x 【答案與解析】 ， 2 5 m x 6233 111 5()55520 555 mm xx 【點(diǎn)評(píng)】 （1）逆用冪的乘方法則：()() mnmnnm aaa （2）本題培養(yǎng)了學(xué)生的整體思想和逆向思維能力 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】已知，求的值2 a x 3 b x 32ab x 【答案】 32323232 ()()238 972 ababab xxxxx gg 類型二、因式分解類型二、因式分解 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 4多項(xiàng)式的最小值是_. 22 2225xxyyy 【答案】4； 【解析】 ，所以最小值為 4. 22 22 222514xxyyyxyy 【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)因式分解化為完全平方式，分析得出多項(xiàng)式的最小值. 5把分解因式3443axbyaybx 【答案與解析】 解法一： 3443(34)(44)axbyaybxaxaybxby (34 )(34 )(34 )()axybxyxyab 解法二： 3443(33)(44)axbyaybcaxbxayby 3 ()4 ()()(34 )x aby ababxy 【點(diǎn)評(píng)】此題多項(xiàng)式的四項(xiàng)中沒(méi)有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中兩項(xiàng)合為一 組，如把第一、三兩項(xiàng)和第二、四兩項(xiàng)分為兩組，可以分別提取公因式和，并且另一個(gè)因ab 式都是()，因此可繼續(xù)分解把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后能運(yùn)用提取公因式法進(jìn)行分34xy 解，并且各組在分解后它們的另一個(gè)因式正好相同，還能用提取公因式法繼續(xù)分解，那么這個(gè) 多項(xiàng)式就可以用分組法來(lái)分解因式 舉一反三：舉一反三： 【變式變式 1 1】分解因式： 222 44ababc 【答案】原式. 2 2222 (44)222aabbcabcabcabc 【高清課程名稱：整式與因式分解 高清 ID 號(hào)：399488 關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例 3（3）-（4） 】 【變式變式 2 2】(1)16x2(x24)2； (2) . 4 4 1 2 x 【答案】 (1)原式(4x)2(x24)2 4x(x24)4x(x24) (x24x4)(x24x4) (x2)2(x2)2 (2)原式)16( 4 1 2 x ).4)(4( 4 1 xx 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 類型三、因式分解與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用類型三、因式分解與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用 6若、為三角形的三邊邊長(zhǎng)，試判斷的正負(fù)狀況abc 222222 ()4abca b 【思路點(diǎn)撥】 將原式用公式法分解因式，再由三角形三邊的關(guān)系確定每個(gè)因式的符號(hào)，最后就能得出結(jié)果的符 號(hào). 【答案與解析】 222222222222 ()4(2)(2)abca babcab abcab 2222 ()()abcabc ()()()()abc abc abc abc 依三角形兩邊之和大于第三邊，知，0abc0abc0abc 故 222222 ()40abca b 【點(diǎn)評(píng)】將原式分解因式，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊來(lái)判斷每個(gè)因式 的正負(fù). 舉一反三：舉一反三： 【變式變式 1 1】若ABC 的三邊長(zhǎng)分別為、,且滿足，abc 222 166100abcabbc 求證：.2acb 【答案】 222 16610abcabbc 2222 22 692510 35 aabbbbcc abbc 所以 22 350abbc 22 35abbc 所以3(