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09 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用【目標(biāo)要求】1、能利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題:(1)利潤(rùn)最大問(wèn)題;(2)面積、體積最大問(wèn)題;(3)費(fèi)用最省(成本最低)問(wèn)題;(4)長(zhǎng)度最短問(wèn)題2、掌握利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的解題步驟;3、通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的研究,提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題及其數(shù)學(xué)建模的能力【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn): 利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決生活中的問(wèn)題;難點(diǎn):建模(從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題)、解模(利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題)【典例剖析】例1、在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù),記為,出售單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù),記為,稱為利潤(rùn)函數(shù),記為(1) 如果,那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí),邊際成本最低?(2) 如果,產(chǎn)品的單價(jià),那么怎樣定價(jià)可使利潤(rùn)最大?例2、在邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮的四角切去邊長(zhǎng)相等的小正方形,再將它的邊沿虛線折起,做成一個(gè)無(wú)蓋的方底鐵皮箱.當(dāng)箱底邊長(zhǎng)是多少時(shí),箱子的容積最大?最大容積是多少?例3、如圖所示,有一塊半徑長(zhǎng)為1米的半圓形鋼板,現(xiàn)要從中截取一個(gè)內(nèi)接等腰梯形部件ABCD,設(shè)梯形部件ABCD的面積為平方米CD(I)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式:設(shè)(米),將表示成的函數(shù)關(guān)系式;設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式(II)求梯形部件ABCD面積的最大值OBA【學(xué)后反思】利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟:(1)審題設(shè)參(關(guān)注變量)(2)建立變量之間的函數(shù)關(guān)系(關(guān)注定義域)(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題,并作答【課后作業(yè)】 班級(jí)_姓名_1、周長(zhǎng)為20cm的矩形,繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱,則圓柱體積的最大值為 2、已知某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本為(萬(wàn)元),且產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50萬(wàn)元,當(dāng)產(chǎn)量定為多少 時(shí)總利潤(rùn)最大3、如圖,將邊長(zhǎng)為的正六邊形鐵皮切去六個(gè)全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器,問(wèn)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為多少時(shí),其容積最大? 4、有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形鋼板,現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行切割,焊接成一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋容器(切、焊損耗忽略不計(jì))。有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)作了如下設(shè)計(jì):如圖(1),在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)小正方形后剩余部分圍成一個(gè)長(zhǎng)方體,該長(zhǎng)方體的高為小正方形邊長(zhǎng),如圖(2)(1)請(qǐng)你求出這種切割、焊接而成的長(zhǎng)方體的最大容積;(2)由于上述設(shè)計(jì)存在缺陷(材料有所浪費(fèi)),請(qǐng)你重新設(shè)計(jì)切焊方法,使材料浪費(fèi)減少,而且所得長(zhǎng)方體容器的容積5、從甲城開往乙城的一列火車,每小時(shí)消耗煤的費(fèi)用與火車行使的速度的立方成正比,已知當(dāng)速度為20時(shí),每小時(shí)消耗煤的費(fèi)用為40元,其他費(fèi)用每小時(shí)200元,問(wèn)火車行使的速度為多大時(shí),才能使火車從甲城開往乙城的總費(fèi)用最少(已知火車最高速度為100)6、如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B及CD的中點(diǎn)P處,AB=20km,BC=10km,為了處理這三家的污水,現(xiàn)要在該矩形區(qū)域內(nèi)(含邊界)且與A,B等距的一點(diǎn)O處,建造一個(gè)污水廠,并鋪設(shè)管道的總長(zhǎng)度為ykm(1) 設(shè),將y表示成的函數(shù);(2) 請(qǐng)用(1)中的函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的污水管道的總長(zhǎng)度最短例3答案解:如圖所示,以直徑所在的直線為軸,線段中垂線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,過(guò)點(diǎn)C作于E,(I), 4分, 8分(說(shuō)明:若函數(shù)的定義域漏寫或錯(cuò)誤,則一個(gè)扣1分)(II)(方法1),令,則,10分令,(舍). 12分當(dāng)時(shí),函數(shù)在(0,)上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)在(,1)上單調(diào)遞減,14分所以當(dāng)時(shí),有最大值, 答:梯形部件面積的最大值為平方米(方法2), 10分令,(舍).12分當(dāng)時(shí),函數(shù)在(0,)上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)在(,1)上單調(diào)遞減,14分所以當(dāng)時(shí), .16分答:梯形部件ABCD面積的最大值為平方米
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