高考數(shù)學(xué)高考教學(xué)運(yùn)用與探究探究中尋求通法類(lèi)比中提升素養(yǎng)

探究中尋求通法 類(lèi)比中提升素養(yǎng)2015年四川省高考數(shù)學(xué)理的第20題是耐人尋味的圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題是指運(yùn)動(dòng)變化中的直線或曲線恒過(guò)平面內(nèi)的某個(gè)定點(diǎn)而不受或曲線的位置變化影響的一類(lèi)問(wèn)題，是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的一類(lèi)題型其解題方法體現(xiàn)了一般與特殊的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合產(chǎn)生的一類(lèi)綜合性試題，也是高考考查考生綜合能力的熱點(diǎn)題型之一下面結(jié)合這道題的解答，探討圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題的求解策略一、考題再現(xiàn)【例1】（2015四川理）如圖，橢圓的離心率是，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.（）求橢圓的方程；（）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.二、通法的探尋【解析】（）；（）法1 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)定點(diǎn)為，直線的方程為，的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立得，其判別式，所以，欲證，所以，化簡(jiǎn)可得：，因?yàn)?，所以，即，所以，欲使之恒成立，則，解之得：，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，,結(jié)論也成立所以存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件【評(píng)注】圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題可以設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，借助于待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系恒成立的問(wèn)題加以求解，但運(yùn)算量過(guò)大 法2 當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存在定點(diǎn)滿足條件，則，即，所以點(diǎn)在軸上，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)定點(diǎn)為，直線的方程為，的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立得，其判別式，所以，欲證，所以，即，由等比性質(zhì)知化簡(jiǎn)可得：，因?yàn)?，所以，即，所以恒成立，所以?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，結(jié)論也成立，得證【評(píng)注】圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題往往借助于某種特殊情形確定出這個(gè)定點(diǎn)的局部特征，再借助于待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系恒成立的問(wèn)題解決此乃特殊與一般的思想之“特殊”.而特殊情形的選擇不一定就是平行于坐標(biāo)軸的情形，具有一定的靈活性、技巧性法3 當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存在定點(diǎn)滿足條件，則，即，所以點(diǎn)在軸上，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則，由，有，解得或，所以，若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為；下面證明：對(duì)任意的直線，均有.欲證，所以，即，即，由等比性質(zhì)知，因?yàn)椋恍枳C，即，由，顯然得證所以存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件法4 前同法3又，所以，又因所在直線垂直于軸，即是的平分線，因此存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件【評(píng)注】圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題往往是先根據(jù)特殊情況找到這個(gè)定點(diǎn)，再對(duì)一般情況作出證明，即“特殊情形求定點(diǎn)，一般情形證定點(diǎn)”其中“證”可以是“論證”，論證的運(yùn)算量比較大，也可以“驗(yàn)證”，過(guò)程就自然簡(jiǎn)潔法5 前同法3易知，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，所以，即三點(diǎn)共線，故所以存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件【評(píng)注】圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題的解決過(guò)程中，如果挖掘出其蘊(yùn)含的幾何特征，我們的求解過(guò)程就會(huì)十分順暢自然本題中，如果注意到比例式就是平面幾何中的三角形的角平分線定理，只需證明即可三、通法的延伸【例2】（2015四川省高考數(shù)學(xué)文科試題的第20題）如圖，橢圓的離心率為，點(diǎn)在短軸上，且（）求橢圓的方程；（）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】（）；（）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線即為直線，此時(shí)， 此時(shí)；當(dāng)直線斜率為0時(shí)， 此時(shí)；若存在常數(shù)，使得為定值，勢(shì)必有當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線程為，坐標(biāo)分別為，聯(lián)立，得，其判別式，所以.從而故存在常數(shù)，使得為定值.【評(píng)注】圓錐曲線的定值問(wèn)題往往是先根據(jù)特殊情況找到這個(gè)定值，再對(duì)一般情況作出證明或驗(yàn)證，即“特殊情形求定值，一般情形證定值”四、規(guī)律的探究類(lèi)似于法5，或者類(lèi)似于法3或法4，可以證明如下的結(jié)論：【變式1】圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于兩點(diǎn)，若存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立，則【變式2】圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于兩點(diǎn)，若存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立，則【變式3】拋物線，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立，則【變式4】橢圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立，則【變式5】橢圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立，則【變式6】雙曲線，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立，則【變式7】雙曲線，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立，則五、結(jié)束語(yǔ)羅增儒教授曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)解題無(wú)禁區(qū)，數(shù)學(xué)教學(xué)有講究”我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，