代數(shù)基本定理的幾種證明

.2014-3050-021 注：教師姓名后留有一個(gè)空格，后面填寫教師職稱。下面加下劃線。閱后刪除此文本框。 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）代數(shù)基本定理的幾種證明學(xué)生姓名：黃容學(xué)號(hào)：1050501021系院：數(shù)學(xué)系專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：覃躍海 講師 提交日期：2014年4月27日畢業(yè)論文基本要求1畢業(yè)論文的撰寫應(yīng)結(jié)合專業(yè)學(xué)習(xí),選取具有創(chuàng)新價(jià)值和實(shí)踐意義的論題.2論文篇幅一般為理科以3000至5000字為宜.3論文應(yīng)觀點(diǎn)明確,中心突出,論據(jù)充分,數(shù)據(jù)可靠,層次分明,邏輯清楚,文字流暢,結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn).4論文字體規(guī)范按廣東第二師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文管理辦法（試行）和“論文樣板”執(zhí)行.5論文應(yīng)書寫工整,標(biāo)點(diǎn)正確,用微機(jī)打印后,裝訂成冊(cè).本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）誠信聲明本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）,是本人在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下,獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果,成果不存在知識(shí)產(chǎn)權(quán)爭議,除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外,本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果.對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體均已在文中以明確方式標(biāo)明.本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān).學(xué)生簽名： 時(shí)間： 年 月 日關(guān)于論文（設(shè)計(jì)）使用授權(quán)的說明本人完全了解廣東第二師范學(xué)院關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定,即：1.按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版本；2.學(xué)校有權(quán)保存學(xué)位論文的印刷本和電子版,并提供目錄檢索與閱覽服務(wù),在校園網(wǎng)上提供服務(wù)；3.學(xué)?？梢圆捎糜坝?、縮印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文；本人同意上述規(guī)定.學(xué)生簽名： 時(shí)間： 年 月 .摘 要代數(shù)基本定理是代數(shù)學(xué)上一個(gè)重要的定理,甚至在整個(gè)數(shù)學(xué)上都起著基礎(chǔ)作用.最早在1629年由荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾在他的論著代數(shù)新發(fā)現(xiàn)提出, 然而沒有給出證明.1637年迪卡兒也都提出這個(gè)定理,但同樣沒有給出證明.一直到一百年多后, 于1746年達(dá)朗貝爾才給出第一個(gè)證明.到十八世紀(jì)后半葉,歐拉等人也給出一些證明,然而這些證明都不夠嚴(yán)格,都先是假設(shè)了一些條件,然后才得出證明.直到1799年高斯才給出了第一個(gè)實(shí)質(zhì)的證明.在二十世紀(jì)以前該定理對(duì)于代數(shù)學(xué)都是起著核心的作用，因?yàn)榇鷶?shù)學(xué)所研究的對(duì)象都是建立在復(fù)數(shù)域上的, 因此也就之稱為代數(shù)基本定理.然而直到現(xiàn)在該定理卻還是沒有純代數(shù)證法,用純代數(shù)證明該定理卻是十分困難的,很多人相信根本不存在純代數(shù)的證法.不過后來隨著復(fù)變理論的發(fā)展,該定理已成為其他一些定理的推論了,用復(fù)函數(shù)理論可以很完美的證明了.現(xiàn)在據(jù)說也已經(jīng)有了兩百多種證法.雖然前人已做了很多研究,但從多方面知識(shí)總結(jié)這些證明還是很有意義的.本論文基于多項(xiàng)式、柯西積分定理、儒歇定理、劉維爾定理、最大模定理和最小模定理這幾個(gè)方面介紹了代數(shù)基本定理的幾種證法.關(guān)鍵詞：代數(shù)基本定理；多項(xiàng)式；柯西積分定理；儒歇定理；劉維爾定理AbstractFundamental Theorem of Algebra is one of the important theorem of algebra, and even in the whole of mathematics plays a fundamental role. First in 1629 by the Dutch mathematician Girard in his treatise Algebra newly discovered put forward, but he did not give proof. In 1637, Descartes are also raised this theorem without proof. Been to more than a hundred years later, Jean le Rond dAlembert was given the first proof in 1746. Until 1799 Gauss was given the first real proof in the twentieth century before the theorem of algebra for all plays a central role, because the object being studied algebra are built on complex field, so its called the fundamental Theorem of Algebra. However, until now the theorem is no purely algebraic proofs, many people believe that it does not exist. With the development of complex variable theory, this theorem has become a corollary of some other theorem, and with a complex function theory can be proved perfectly. Now said to have already had more than two hundred kinds of proofs.Although the fundamental theorem of algebra predecessors have done a lot of research. Summarize these methods still makes sense. This paper based on polynomial, Cauchy integral theorem, Roches theorem, Lowville Theorem, the maximum modulus theorem and the minimum modulus theorem.Key Words：Fundamental Theorem of Algebra; Polynomial; Cauchy integral theorem; Roches theorem; Lowville Theorem目 錄摘 要IAbstractII1. 引言- 1 -2.1. 利用多項(xiàng)式證明- 1 -2.1.1. 引理- 1 -2.1.2. 利用多項(xiàng)式證明代數(shù)基本定理- 2 -2.2. 利用柯西積分定理證明- 3 -2.2.1. 柯西積分定理- 3 -2.2.2. 利用柯西積分定理證明代數(shù)基本定理- 3 -2.3. 利用劉維爾定理證明- 5 -2.3.1. 劉維爾定理- 5 -2.3.2. 利用劉維爾定理證明代數(shù)基本定理- 5 -2.4. 利用儒歇定理證明- 6 -2.4.1. 儒歇定理- 6 -2.4.2. 利用儒歇定理證明代數(shù)基本定理- 6 -2.5. 利用最大模定理證明- 7 -2.5.1. 最大模定理- 7 -2.5.2. 利用最大模定理證明代數(shù)基本定理- 8 -2.6. 利用最小模定理證明- 8 -2.6.1. 最小模定理- 8 -2.6.2. 利用最小模定理證明代數(shù)基本定理- 8 -3. 總結(jié)- 9 -參考文獻(xiàn)- 10 -致謝.-12 -.代數(shù)基本定理的幾種證明1. 引言一元一次方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,而在復(fù)數(shù)域內(nèi)有兩個(gè)根,那么一元N次方程在復(fù)數(shù)域上會(huì)不會(huì)有N個(gè)根？另外,在積分運(yùn)算中部分分式法也有與這樣的問題,所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式是不是都可以分解成一次因式的乘積或者分解成實(shí)系數(shù)的一次因式和二次因式的乘積？上述這些問題關(guān)鍵在于證明代數(shù)基本定理.根據(jù)鐘玉泉編寫的復(fù)變函數(shù)論,代數(shù)基本定理的具體描述為：任何n次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域中至少有一個(gè)根.根據(jù)該定理我們可以直接得到一個(gè)結(jié)果,在復(fù)數(shù)域內(nèi)對(duì)于所有n次多項(xiàng)式方程有且只有n個(gè)根.可見證明代數(shù)基本定理意義十分重要.這個(gè)定理最早在1629年由荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉德在他的論著代數(shù)新發(fā)現(xiàn)中提出，但沒有得到證明。后來笛卡兒，歐拉和麥克勞林也提到了這個(gè)定理，但沒有證明。直到1746年，達(dá)朗貝爾第一個(gè)證明了這個(gè)定理，但還是有缺點(diǎn)。拉格朗日于1772年再一次證明了這個(gè)定理。但這些證明都不夠嚴(yán)格，都是假定了一個(gè)先決條件是給定才證明的。人們通常認(rèn)為這個(gè)定理最早是由高斯給出的，其基本思路如下：設(shè)為n次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,記(x,y為實(shí)數(shù)),因?yàn)?即與,與分別表示坐標(biāo)平面上兩條曲線與,通過對(duì)曲線作定性研究,這兩條曲線必然有一個(gè)交點(diǎn),從而有,即,所以便是代數(shù)方程的一個(gè)根,得證.通常認(rèn)為這是代數(shù)基本定理第一個(gè)嚴(yán)格的證明.不過就現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)來看其證明仍然是不夠嚴(yán)格的.而現(xiàn)在,據(jù)說已有兩百多種證法.接下來,我們討論的是代數(shù)基本定理的證明.2. 代數(shù)基本定理的證明2.1. 利用多項(xiàng)式證明2.1.1. 引理在這里先介紹一條引理.設(shè)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,（且,C為復(fù)數(shù)域）,則的充要條件是：.引理顯然成立,下面證明代數(shù)基本定理.2.1.2. 利用多項(xiàng)式證明代數(shù)基本定理設(shè)是實(shí)數(shù)域上的n次多項(xiàng)式,則f(x)在復(fù)數(shù)域上至少有一根 證明：如果x=0是f(x)的根,則定理得證如果x=0不是f(x)的根,則必有0, 因此只需要證明方程 (1)關(guān)于x有非零解。由引理可得,當(dāng)x0時(shí),方程（1）與 （2）等價(jià).對(duì)方程（2）中分別另m=0,1,2, ,n-1,可得如下方程組： （3） 當(dāng)x0時(shí),方程組（3）和方程（1）同解,又方程組（3）可寫成： （4）這是關(guān)于變量的齊次線性方程組,其系數(shù)行列式是（2n)*(2n)階行列式.因?yàn)?故（4）有非零解,又1,0,0不是（4）的解,所以（4）有異于1,0,0的解,因此方程(1)有非零解.即f(x)在C上至少有一非零根.定理得證.2.2. 利用柯西積分定理證明2.2.1. 柯西積分定理設(shè)C是z平面上單連通區(qū)域D內(nèi)的任意一條周線,函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析,則.這便是柯西積分定理.在附加假設(shè)“D內(nèi)連續(xù)”的條件下黎曼得到了一個(gè)簡單的證明：令 ,則,而在D內(nèi)連續(xù),導(dǎo)致ux,uy,vx,vy在D內(nèi)連續(xù),并適合C.-R.方程：ux=vy,uy=vx.由格林定理,故得.2.2.2. 利用柯西積分定理證明代數(shù)基本定理任何次數(shù)n=1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)系數(shù)域中至少有一個(gè)根.證明：（反證法）設(shè)多項(xiàng)式若f(z)沒有零點(diǎn),則在整個(gè)復(fù)平面上解析.所以對(duì)任意充分大的R0,.由柯西積分定理得：,從而 （*）而其中為整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù).因此當(dāng)時(shí),.又,所以與（*）比較得：n=0,這與已知條件矛盾.定理得證.2.3. 利用劉維爾定理證明2.3.1. 劉維爾定理定義：在整個(gè)復(fù)平面上解析的函數(shù)稱為整函數(shù).如多項(xiàng)式,ez,cos z及sin z都是整函數(shù).而劉偉爾定理便是：有界函數(shù)f(z)必為常數(shù).這是一個(gè)非局部性命題,也是模有界定理,其逆也真,即：常數(shù)是有界整函數(shù)；此定理的逆否定理為：非常數(shù)的整函數(shù)必?zé)o界.證明：設(shè)是有界整函數(shù),即,使得,在上解析所以.令,可見,從而在上恒等于常數(shù).2.3.2. 利用劉維爾定理證明代數(shù)基本定理設(shè),是z平面上一n次多項(xiàng)式,則在z平面上p(z)至少有一個(gè)零點(diǎn).證明：反證法.假設(shè)p(z)在z平面上沒有零點(diǎn).而p(z)在z平面上是解析的,則在z平面上也必解析.下面證明在z平面上有界.由于存在足夠大的正數(shù)R,使當(dāng)|z|R時(shí),|1.又因在閉圓|z|R上連續(xù),故可設(shè)（正常數(shù)）,從而,在z平面上,也就是說,在z平面上解析并且有界.由劉偉爾定理可知必為常數(shù),即p(z)一定是常數(shù).這與假設(shè)矛盾了.因此定理得證.2.4. 利用儒歇定理證明2.4.1. 儒歇定理設(shè)C是一條周線,f(z)符合以下的條件：（1） f(z)在C的內(nèi)部除可能有極點(diǎn)外是解析的；（2） f(z)在C上解析且不為0.則有其中N（f,c)表示f(z)在C內(nèi)部零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù).儒歇定理：設(shè)c是一條周線,函數(shù)f(z)及滿足條件：（1） 他們?cè)赾的內(nèi)部解析,且連續(xù)到c;（2） 在c上,則函數(shù)f(z)與在c的內(nèi)部有同樣多零點(diǎn)（n級(jí)算作n個(gè)）.即.2.4.2. 利用儒歇定理證明代數(shù)基本定理接下來利用儒歇定理證明代數(shù)基本定理,這個(gè)證明和其它證明方法比較,其中一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是不僅證明了多項(xiàng)式至少有一個(gè)零點(diǎn)并且指出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)和多項(xiàng)式的次數(shù)相等（計(jì)算重?cái)?shù)）.任一n次方程有且只有n個(gè)根.證明：令當(dāng)z在充分大的圓周C：|z|=R上時(shí),例如取,則有由儒歇定理可知,在圓|z|R內(nèi)方程與方程有相同個(gè)數(shù)的根,而在|z|R內(nèi)有一個(gè)n重根z=0.因此原n次方程在|z|R內(nèi)有n個(gè)根.另外在圓周|z|=R上,或者在圓周的外部,任取一點(diǎn)z0,則,于是也就是說方程在圓周|z|=R上及其外部都沒有根.因此n次方程有且只有n個(gè)根.2.5. 利用最大模定理證明2.5.1. 最大模定理復(fù)變函數(shù)論中,最大模定理是有關(guān)函數(shù)值的模的一個(gè)很有用的定理,若函數(shù)f是一個(gè)全純函數(shù)則它的模在其定義域內(nèi)部不可能取到局部最大值.可具體表示為：設(shè)f在復(fù)平面C上連通開區(qū)域D內(nèi)解析,并且恒不為常數(shù),則在區(qū)域D內(nèi)|f|于任意點(diǎn)都取不到最大值.2.5.2. 利用最大模定理證明代數(shù)基本定理還是用反證法.假設(shè)在復(fù)平面C上沒有零點(diǎn),即,則在C平面上解析,顯然當(dāng)且充分大時(shí),有因此,在上并且充分大時(shí),有由最大模原理,有,并且我們可以得到：,我們知道,而這對(duì)于R取充分大顯然不成立,所以假設(shè)不成立,也就是說一元次方程在內(nèi)至少有一個(gè)根.定理得證.2.6. 利用最小模定理證明2.6.1. 最小模定理是區(qū)域D內(nèi)不恒為常數(shù)的解析函數(shù),若在D內(nèi)有使得,則在D內(nèi)的最小值不可能是.2.6.2. 利用最小模定理證明代數(shù)基本定理設(shè),因?yàn)?取正數(shù),則有 （1）另外其中取正數(shù)R,使得當(dāng)時(shí)有：,且從而在|z|=R上有： （2）由在上連續(xù)且不為常數(shù),因此由（1）（2）可得在D內(nèi)部取得最小模,因此由最小模原理可知,在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).最大模原理和最小模原理對(duì)代數(shù)基本定理證明的證明方法都是很相似的,關(guān)鍵是要找到在區(qū)域內(nèi)能達(dá)到最大值或最小