常見函數(shù)極限的求法

.常見函數(shù)極限的求法（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅 蘭州 730070）摘要 極限是高等數(shù)學(xué)最重要的概念之一，也是高等數(shù)學(xué)的主要運(yùn)算微分法和積分法的理論基礎(chǔ)，本文用實(shí)圖論述了求極限的幾種方法，介紹了求極限的一些技巧。關(guān)鍵詞 常用函數(shù) 極限 求解方法 技巧 洛必達(dá)法則Common functions to limit(Northwest Normal University School of Mathematics and Statistics Lanzhou Gansu 730070)Wan Fang JunAbstract Extreme is one of the most important concepts of higher mathematics, major operators are also higher mathematics-the theoretical basis of differentiation and integration with examples of this article discusses several common methods seek limits, limits introduced seeking some tips.Keywords Common functions Limit Solving methods Techniques Hospital Rule 第一類 數(shù)列極限的求法歸納 一 數(shù)列極限的定義 定義 1 設(shè)為數(shù)列。若對任給的數(shù)，總存在整數(shù),使得當(dāng)時(shí)有則數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列 的極限，并記作或 定義2任給，若在之外數(shù)列中的至多只有有限個(gè)，則稱數(shù)列收斂于極限. 二 求數(shù)列極限的方法 方法一 利用數(shù)列極限定義求極限 方法 要點(diǎn) 要證明,按定義；，當(dāng)時(shí)，有，就是要根據(jù)找，一般有三種方法； 1（等價(jià)代換法求最小的額），將絕對值不等式作等價(jià)代替解不等式，解出然后令，則時(shí)，有. 2 （放大法）有時(shí)很難解出,只好將表達(dá)式簡化、放大,是之成為的新函數(shù)記作；于是，要，只要即可，解不等式，求得于是令，則當(dāng)則時(shí)，有. 3（分步法）有時(shí)特別復(fù)雜，無法進(jìn)行放大簡化，只有設(shè)定已足夠大，例如已大過某個(gè)數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，可簡化，放大成，即, 于是解不等式，求得,則令當(dāng)時(shí)，有.例1 法證明.證明 （放大法），要記此式可改寫成 得（當(dāng)時(shí)），至此要，只要，即，故令則時(shí)，有. 例2 設(shè)（有限數(shù)），試證： 證 （分步法）當(dāng)為有限數(shù)時(shí)，又因，故，時(shí)，從而上式注意到已為定數(shù)，因而當(dāng)時(shí)，于是令則時(shí)， 擬合法 要點(diǎn) 為了證明，關(guān)鍵問題在于證明能任意小.為此,一般來說應(yīng)盡可能將的表達(dá)式簡化.值得注意的是,有時(shí)雖然不能簡化,反倒是可以把復(fù)雜化,寫成與相類似的形式,這種方法稱為擬合法. 例3 設(shè)時(shí),試證證 注意到，所以,從而 .若我們能證明分大時(shí),則（1）式有端問題獲證.要證明(2)式,亦即要證明事實(shí)上,因?yàn)椋ó?dāng)）,因此當(dāng)時(shí)有于是,令則時(shí), 從而按式有式成立. 方法二 用Cauchy準(zhǔn)則求極限 Cauchy準(zhǔn)則 數(shù)列收斂時(shí),有Cauchy準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn)是沒有必要事先知道極限的猜測值例4 設(shè)試證收斂.證明 因收斂,獲證.方法三 利用單調(diào)有界原理求極限單調(diào)有界原理:設(shè)數(shù)列遞增有上界,則存在且有,或設(shè)數(shù)列遞減有下界則存在且有 例5 證明數(shù)列單調(diào)遞減有界,從而有極限證明 利用不等式有故嚴(yán)格單調(diào)遞減.又因即有下界.單調(diào)遞減有下界故存在. 方法四 利用數(shù)列與子列的極限關(guān)系求極限 數(shù)列與子列有如下極限關(guān)系例6 試證證明 只需證明充分性,按已知條件于是令則時(shí)恒有故方法五 利用數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)求極限數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)若與為收斂子列,則也都是收斂數(shù)列,且有特別當(dāng)為常數(shù)時(shí)有若再假設(shè)及,則也是收斂數(shù)列,且有例7 舉例說明無窮多個(gè)無窮小量之積可以不是無窮小量.解 如下數(shù)列均是無窮小量:但將它們對應(yīng)項(xiàng)連乘起來取極限,得到一個(gè)新數(shù)列,此數(shù)列為該極限為1,不是無窮小量.方法六 利用已知極限求極限要點(diǎn) 在知道一些簡單函數(shù)或特殊函數(shù)的極限的情況下,我們可以再求極限的過程中,把一些復(fù)雜的函數(shù)化成這些簡單函數(shù)或特殊函數(shù)的形式,利用這些函數(shù)的極限,可以較容易的求出復(fù)雜函數(shù)的極限.例8 求極限解 由于當(dāng)時(shí),又故 方法七 利用變量替換求極限 為了將未知的極限簡化,或轉(zhuǎn)化為一直的極限,可根據(jù)極限式的特點(diǎn),適當(dāng)引入新變量,以替換原有的變量,使原來的極限過程轉(zhuǎn)化為新的極限過程.例9 若試證證明 令則時(shí)，.于是當(dāng)時(shí)，第二三項(xiàng)趨近于零,現(xiàn)證第四項(xiàng)極限亦為零.事實(shí)上，因（當(dāng)時(shí)）,故有界,即,使得故從而以為極限.第二類 函數(shù)極限求法歸納一 函數(shù)極限的定義定義1 設(shè)為定義在上的函數(shù),為定數(shù)，若對任給的存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限,記作或定義 2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義,為定數(shù).若對任給的,存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有,則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限. 定義3 設(shè)函數(shù)在或上有定義,為定數(shù).若對任給的,存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有,則稱為函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)的右或左極限,記作.或右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.在點(diǎn)的右極限與左極限又分別記作二 求極限的方法方法一 利用函數(shù)極限的定義求極限 利用定義1求極限.例1 證明證明 任給所以利用定義2求極限.例2 設(shè)證明證明 由于當(dāng)時(shí),故對任給的只要取則當(dāng)時(shí),有這就證明了 利用定義3求極限.例3 討論函數(shù)在定義區(qū)間端點(diǎn)處的單側(cè)極限.解 由于,故有.于是取成立.這就推出類似的可得方法二 利用兩邊夾準(zhǔn)則求極限要點(diǎn) 當(dāng)極限不易直接求出時(shí),可考慮將求極限的變量做適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小,使放大和縮小所得的新變量易于求極限,且二者的極限值相同.則原極限存在且等于此公共值.在函數(shù)極限的性質(zhì)中有迫斂性:且在某有例4 求解 由此當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)故 例5 利用迫斂性求函數(shù)極限.解 因有由于所以方法三 利用Taylor公式求極限要點(diǎn) 設(shè)在點(diǎn)具有階導(dǎo)數(shù),則在點(diǎn)的Taylor公式為特別,當(dāng)時(shí),上述公式稱為的邁克勞林公式.例6 求極限解 方法四 利用極限的四則用算法則求極限 極限的四則用算法則:若 . 例8 求 解 由于因此 方法五 利用洛必達(dá)法則求極限 要點(diǎn) 此方法適用于型. I 型不等式極限 若函數(shù)和滿足: 在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo),且 II 型不等式極限 若函數(shù)和滿足: 在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo),且 例9 求的極限. 解 由于,所以分子分母同約去非零因式,得方法六 利用換元法求極限要點(diǎn) 如果一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜時(shí),可采用換元的方法加以變形,使之簡化變得易求.例10 求.解 令則方法七 利用微分中值定理求函數(shù)極限要點(diǎn) 微分中值定理是一系列中值定理的總稱,時(shí)研究函數(shù)的有利工具,它包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理等.例11 計(jì)算解 設(shè)則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).于是使用微分中值定理可得.則第三類 求多項(xiàng)式函數(shù)極限的方法一 求其中為多項(xiàng)式函數(shù).要點(diǎn) 利用函數(shù)連續(xù)性直接代值,例1 計(jì)算.解.二 求均為多項(xiàng)式函數(shù),且當(dāng)趨近于時(shí),不趨近于0.要點(diǎn) 利用函數(shù)連續(xù)性直接代值,.例2 計(jì)算.解.三 求均為多項(xiàng)式函數(shù),且當(dāng)趨近于時(shí),與均趨近于0.要點(diǎn) 將分子分母因式分解,消去零因子.例3 求解.解四 求均為多項(xiàng)式函數(shù),且趨近于.要點(diǎn) 將分子分母同除以的最高次冪.例4 求解.解一般地,對于求,當(dāng)分子的次數(shù)高于分母的次數(shù),該函數(shù)極限不存在;當(dāng)分子的次數(shù)低于于分母的次數(shù),該函數(shù)極限為0;當(dāng)分子的次數(shù)等于分母的次數(shù),該函數(shù)極限等于分子分母的最高此項(xiàng)的系數(shù)之比. 第四類 定積分極限求法歸納 一 定積分及極限的定義定積分 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義,在閉區(qū)間內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)將分成個(gè)區(qū)間,記做乘積,把這些乘式相加得到和式,設(shè),若極限存在唯一且該極限值與區(qū)間的分法及分點(diǎn)的取法無關(guān),則稱這個(gè)唯一的極限值為函數(shù)在上的定積分,記坐,即.否則稱在上不可積.一 應(yīng)用定積分求極限要點(diǎn) 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),將區(qū)間進(jìn)行等分, 且.例1 解則上式可以看作在上的一個(gè)積分和,它是把分成等分.取的右端點(diǎn)構(gòu)成的積分和,由定積分定義可得 三 Heine歸結(jié)原理 設(shè)在內(nèi)有定義,存在的充要條件:對任何含于且以為極限的數(shù)列,極限都存在且相等. 利用Heine歸結(jié)原理證明函數(shù)極限的存在性.要點(diǎn) 如果存在兩個(gè)數(shù)列,有,且,但,則在處極限不存在.用歸結(jié)原理證明單調(diào)函數(shù)的單側(cè)極限存在定理.若函數(shù)在有定義,且單調(diào)增加,則極限都存在,且證明 在內(nèi)任取單調(diào)增加數(shù)列且由于在內(nèi)是單調(diào)增加的,所以數(shù)列也是單調(diào)增加的,且有上界,由單調(diào)有界定理可知數(shù)列收斂,設(shè),則有根據(jù)歸結(jié)原理得.同理可證.定理得證.從上面證明過程可知,在證明某一極限存在時(shí),我們可以根據(jù)歸結(jié)原理去尋找任意一個(gè)數(shù)列,使它滿足都以為極限且與它們對應(yīng)的函數(shù)系列的極限都存在來證明函數(shù)極限的存在.以上求函數(shù)的方法是一些函數(shù)極限最基本且常用的方法,在不同的函數(shù)類型條件下所采用的技巧是各不相同的,對于找到解決問題的方法是至關(guān)重要的.極限的求法雖有一定的規(guī)律可循,但也絕不能死搬硬套,因?yàn)橛械念}目可能有多種解法,因此只有不斷摸索、總結(jié)領(lǐng)悟各種方法的精髓,才能更能的掌握極限的求法.參考文獻(xiàn)1 華東師范出版社.數(shù)學(xué)分析（第三版）M高等教育出版社,2001.2 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中