內(nèi)蒙古鄂爾多斯西部四旗2019屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題 含解析

2018-2019學(xué)年高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（本題共12個小題）1已知集合Ax|x（x2）0，Bx|2x1，則AB（）A（0，1）B（，0C（，0）D（1，+）2復(fù)數(shù)1i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則+i（）A2B2C2iD2i3甲、乙兩名學(xué)生在之前五次物理測試中成績的莖葉圖，如圖，（）甲的平均成績低，方差較大甲的平均成績低，方差較小乙的平均成績高，方差較大乙的平均成績高，方差較小ABCD4已知雙曲線中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)（，2），且漸近線方程為y2x，則該雙曲線的方程為（）Ax21Bx24y22Cx21Dx22y215已知x，y滿足不等式組，則z3x2y的最小值為（）ABC2D26若非零向量，滿足|，且（+）（32），則與的夾角為（）ABCD7如圖所示的程序框圖，若輸入m10，則輸出的S值為（）A10B21C33D478某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）ABCD9已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且x0時(shí)，f（x）2x+x+a，g（x），若函數(shù)yg（x）+2xb有2個零點(diǎn)，則b的取值范圍是（）A（1，2B2，4）C（，4D4，+）10設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為圓（x3）2+（y1）22的圓心，且圓上有一點(diǎn)C（x0，y0）滿足0，則（）A1或7B1或7C或1D1或11已知函數(shù)f（x）sin（x+）+（0），xR，且f（），f（）若|的最小值為，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A2k，2k+（kZ）Bk，k+（kZ）C2k+，2k+（kZ）Dk，kx+（kZ）12已知xR有f（x）+2f（x）（ex+2ex）（x23），若函數(shù)f（x）在（m，m+1）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A1，2B2，+）C0，+）D（，12，+）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13（2x+）6的展開式中，x3的系數(shù)為192，則a 14在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則sin（A） 15已知三棱錐PABC的外接球的球心O在AB上，且二面角PABC的大小為120，若三棱錐PABC的體積為，PAPBACBC，則球O的表面積為 16已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y22x的焦點(diǎn)，直線l：ym（2x1）與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，若|AF|2|BF|，則m的值為 三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且2a2a420，S32a18（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和最大？18已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是邊長為2的菱形，且BCBD，DD1平面ABCD，AA11，BECD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是A1B1中點(diǎn)（）求證：AF平面BEC1；（）求平面ADF和平面BEC1所成銳二面角的余弦值19某經(jīng)銷商從沿海城市水產(chǎn)養(yǎng)殖廠購進(jìn)一批某海魚，隨機(jī)抽取50條作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按海魚重量（克）得到如圖的頻率分布直方圖：（）若經(jīng)銷商購進(jìn)這批海魚100千克，試估計(jì)這批海魚有多少條（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（）根據(jù)市場行情，該海魚按重量可分為三個等級，如下表：等級一等品二等品三等品重量（g）165，185155，165）145，155）若經(jīng)銷商以這50條海魚的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)這批海魚的總體數(shù)據(jù)，視頻率為概率現(xiàn)從這批海魚中隨機(jī)抽取3條，記抽到二等品的條數(shù)為X，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望20已知橢圓C：+1（ab0）的離心率為，焦距為2c，直線bxy+a0過橢圓的左焦點(diǎn)（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線bxy+2c0與y軸交于點(diǎn)P，A，B是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，APB的平分線在y軸上，|PA|PB|試判斷直線AB是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由21設(shè)f（x）xlnx+ax2，a為常數(shù)（1）若曲線yf（x）在x1處的切線過點(diǎn)A（0，2），求實(shí)數(shù)a的值；（2）若f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2且xlx2求證：a0求證：f （x2）f （x1）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，橢圓C以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)（0，0）為中心、點(diǎn)（1，0）為焦點(diǎn)、（，0）為一個頂點(diǎn)直線l的參數(shù)方程是，（t為參數(shù)）（）求橢圓C的極坐標(biāo)方程；（）若直線l與橢圓C的交點(diǎn)分別為M（x1，y1），N（x2，y2），求線段MN的長度選修4-5：不等式選講23已知函數(shù)f（x）|x+3|2（）解不等式|f（x）|4；（）若xR，f（x）|x1|t2+4t1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍參考答案一、選擇題（本題共12個小題）1已知集合Ax|x（x2）0，Bx|2x1，則AB（）A（0，1）B（，0C（，0）D（1，+）【分析】可以求出集合A，B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可解：Ax|x0或x2，Bx|x0，AB（，0）故選：C2復(fù)數(shù)1i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則+i（）A2B2C2iD2i【分析】把已知代入+i，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案解：1i，z1+i，則+i1i+1+i2故選：A3甲、乙兩名學(xué)生在之前五次物理測試中成績的莖葉圖，如圖，（）甲的平均成績低，方差較大甲的平均成績低，方差較小乙的平均成績高，方差較大乙的平均成績高，方差較小ABCD【分析】根據(jù)莖葉圖所給的兩組數(shù)據(jù)，算出甲和乙的平均數(shù)，把兩個人的平均數(shù)進(jìn)行比較，得到乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)，再結(jié)合極差的大小即可求出結(jié)論解：由莖葉圖知，甲的平均數(shù)是78；乙的平均數(shù)是81，且甲的極差為：966333；乙的極差為976928；所以乙更穩(wěn)定，故乙的方差較小，甲的方差較大；故正確的說法為；故選：A4已知雙曲線中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)（，2），且漸近線方程為y2x，則該雙曲線的方程為（）Ax21Bx24y22Cx21Dx22y21【分析】首先根據(jù)條件中的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程為4x2y2，0，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出結(jié)果解：漸近線方程為2xy0，設(shè)雙曲線方程為4x2y2，0，將P（，2）的坐標(biāo)代入方程得4（）222，求得4， 則該雙曲線的方程為x21，故選：C5已知x，y滿足不等式組，則z3x2y的最小值為（）ABC2D2【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案解：由約束條件作出可行域如圖，A（0，1），化目標(biāo)函數(shù)z3x2y為，由圖可知，當(dāng)直線過A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為2故選：D6若非零向量，滿足|，且（+）（32），則與的夾角為（）ABCD【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求夾角即可解：非零向量，滿足|，且（+）（32），則（+）（32）3+20，解得2323，所以cos；又0，所以，即與的夾角為故選：A7如圖所示的程序框圖，若輸入m10，則輸出的S值為（）A10B21C33D47【分析】按照程序圖一步一步計(jì)算，直到跳出循環(huán)解：m10，k10，s0；不滿足條件km+2，s10，k11；不滿足條件km+2，s21，k12；不滿足條件km+2，s33，k13，滿足條件km+2，退出循環(huán)，輸出s的值為33故選：C8某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）ABCD【分析】由三視圖可知，幾何體是三棱柱與四棱錐的組合體，利用三視圖的數(shù)據(jù)，即可求出該幾何體的體積解：由題意可知幾何體是組合體，左側(cè)是四棱錐右側(cè)是三棱柱，如圖：棱錐的高為2，底面正方形的邊長為2，三棱柱的底面等腰三角形的底邊長為2，高為2所以幾何體的體積為：故選：B9已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且x0時(shí)，f（x）2x+x+a，g（x），若函數(shù)yg（x）+2xb有2個零點(diǎn)，則b的取值范圍是（）A（1，2B2，4）C（，4D4，+）【分析】根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)的性質(zhì)，f（0）0，可求出a的值；函數(shù)yg（x）+2xb有2個零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)yg（x）+2x的圖象與直線yb有兩個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，由圖即可求出b的取值范圍解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）0，即20+0+a0，解得a1函數(shù)yg（x）+2xb有2個零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)yg（x）+2x的圖象與直線yb有兩個交點(diǎn)，yg（x）+2x，作出其圖象，由圖可知，2b4故選：B10設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為圓（x3）2+（y1）22的圓心，且圓上有一點(diǎn)C（x0，y0）滿足0，則（）A1或7B1或7C或1D1或【分析】利用0可知OCCM，即OC是圓M的切線，故，由此即可求解解：，OCCM；OC是圓M的切線，設(shè)直線OC：ykx，則，解得故選：D11已知函數(shù)f（x）sin（x+）+（0），xR，且f（），f（）若|的最小值為，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A2k，2k+（kZ）Bk，k+（kZ）C2k+，2k+（kZ）Dk，kx+（kZ）【分析】直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：函數(shù)f（），f（）若|的最小值為，所以T，解得2所以f（x）sin（2x+）+，令（kZ），整理得（kZ），所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：（kZ）故選：B12已知xR有f（x）+2f（x）（ex+2ex）（x23），若函數(shù)f（x）在（m，m+1）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A1，2B2，+）C0，+）D（，12，+）【分析】利用f（x）+2f（x）（ex+2ex）（x23），可以得出f（x）+2f（x）（ex+2ex）（x23）；聯(lián)立可以解出f（x）的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性即可求解；解：f（x）+2f（x）（ex+2ex）（x23），f（x）+2f（x）（ex+2ex）（x23）；，；令f（x）0，則1x3；f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為1，3，；1m2故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13（2x+）6的展開式中，x3的系數(shù)為192，則a1【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求出x3的系數(shù)，再根據(jù)x3的系數(shù)為192，求得a的值解：（2x+）6的展開式中，通項(xiàng)公式為 Tr+126rarx63r，令63r3，求得r1，故x3的系數(shù)為 625a192，則a1，故答案為：114在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則sin（A）【分析】由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理可求A，然后代入即可求解解：，由正弦定理可得，整理可得，b2+c2a2bc，由余弦定理可得，cosA，0A，A，則sin（A）sin故答案為：15已知三棱錐PABC的外接球的球心O在AB上，且二面角PABC的大小為120，若三棱錐PABC的體積為，PAPBACBC，則球O的表面積為16【分析】根據(jù)題給信息，利用等腰三角形常作輔助線能夠證出對棱垂直，再利用對棱垂直時(shí)的體積公式進(jìn)行求解解：設(shè)球半徑為r，則OAOBOCOPr，所以O(shè)是AB的中點(diǎn)，因?yàn)镻APB，ACBC，所以O(shè)PAD，OCAB，所以AB平面OPC，所以體積，所以r2，所以球的表面積S4r216故答案為：1616已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y22x的焦點(diǎn)，直線l：ym（2x1）與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，若|AF|2|BF|，則m的值為【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），（x10，y10），聯(lián)立直線l的方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得m的值解：y22x的焦點(diǎn)F（，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），（x10，y10），直線l：ym（2x1）（m0）與拋物線y22x聯(lián)立，可得4m2x2（2+4m2）x+m20，即有x1x2，x1+x21+，由題意可得2，即為x12（x2），即x1+2x2，由可得x11，x2（x1x2舍去），代入可得1+1+，解得m（負(fù)的舍去），故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且2a2a420，S32a18（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和最大？【分析】（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由2a2a420，S32a18利用通項(xiàng)公式可得2（a1+d）（a1+3d）20，3a1+3d2a18，解出即可得出（）令an0，解得n解：（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，2a2a420，S32a182（a1+d）（a1+3d）20，3a1+3d2a18，聯(lián)立解得：a117，d3an173（n1）203n（）令an203n0，解得n當(dāng)n6時(shí)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和最大18已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是邊長為2的菱形，且BCBD，DD1平面ABCD，AA11，BECD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是A1B1中點(diǎn)（）求證：AF平面BEC1；（）求平面ADF和平面BEC1所成銳二面角的余弦值【分析】（）根據(jù)邊長與相應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系，構(gòu)造平行四邊形，即可證明線面平行；（）根據(jù)題給條件建立空間直角坐標(biāo)系，得出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解【解答】（）證明：因?yàn)锽CBD，BECD，E是CD的中點(diǎn)，取AB中點(diǎn)G，連B1G，GE，則在菱形ABCD中，EGBC，EGBC，因?yàn)锽CB1C1，BCB1C1，所以EGB1C1，EGB1C1，四邊形B1C1EG為平行四邊形，所以C1EB1G，又B1FGA，B1FGA，四邊形B1GAF為平行四邊形，AFB1G，所以AFC1E，又AF平面BEC1，C1E平面BEC1，AF平面BEC1（）解：以D為原點(diǎn)，以DC，DG，DD1，分別為x，y，z建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橐阎撍睦庵鶠橹彼睦庵珺CBD，BCCD，所以三角形BCD為等邊三角形，因?yàn)锽ECD，所以點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，故點(diǎn)，設(shè)平面ADF的法向量，由，得，取y1，得，故，因?yàn)?，所以，所以是平面BEC1的法向量，設(shè)平面ADF和平面BEC1所成銳角為，則，即平面ADF和平面BEC1所成銳角的余弦值為19某經(jīng)銷商從沿海城市水產(chǎn)養(yǎng)殖廠購進(jìn)一批某海魚，隨機(jī)抽取50條作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按海魚重量（克）得到如圖的頻率分布直方圖：（）若經(jīng)銷商購進(jìn)這批海魚100千克，試估計(jì)這批海魚有多少條（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（）根據(jù)市場行情，該海魚按重量可分為三個等級，如下表：等級一等品二等品三等品重量（g）165，185155，165）145，155）若經(jīng)銷商以這50條海魚的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)這批海魚的總體數(shù)據(jù)，視頻率為概率現(xiàn)從這批海魚中隨機(jī)抽取3條，記抽到二等品的條數(shù)為X，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望【分析】（）由頻率分布直方圖先求出每條海魚平均重量，由此能估計(jì)這批海魚有多少條（）從這批海魚中隨機(jī)抽取3條，155，165）的頻率為0.04100.4，則XB（3，0.4），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（）由頻率分布直方圖得每條海魚平均重量為：1500.01610+1600.04010+1700.03210+1800.01210164（g），經(jīng)銷商購進(jìn)這批海魚100千克，估計(jì)這批海魚有：（1001000）164610（條）（）從這批海魚中隨機(jī)抽取3條，155，165）的頻率為0.04100.4，則XB（3，0.4），P（X0）0.216，P（X1）0.432，P（X2）0.288，P（X3）0.064，X的分布列為： X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064E（X）30.41.220已知橢圓C：+1（ab0）的離心率為，焦距為2c，直線bxy+a0過橢圓的左焦點(diǎn)（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線bxy+2c0與y軸交于點(diǎn)P，A，B是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，APB的平分線在y軸上，|PA|PB|試判斷直線AB是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由【分析】（）因?yàn)橹本€bxy+a0過橢圓的左焦點(diǎn)，故令y0，得xc，又因?yàn)殡x心率為，從而求出b2，又因?yàn)閍2b2+c2，求出a的值，從而求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程為ykx+m，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），得到k1+k2，又因?yàn)锳PB的平分線在y軸上，所以k1+k20，從而求出m的值，得到直線AB的方程為ykx+1過定點(diǎn)坐標(biāo)解：（）因?yàn)橹本€bxy+a0過橢圓的左焦點(diǎn)，故令y0，得xc，解得b2，又a2b2+c2b2+，解得a2，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（）由（）得ca2，直線bxy+2c0的方程為2xy+40，令x0得，y4，即P（0，4），設(shè)直線AB的方程為ykx+m，聯(lián)立方程組，消去y得，（2k2+1）x2+4kmx+2m280，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2，x1x2，則直線PA的斜率k1k+，則直線PB的斜率k2k+，所有k1+k22k+2k+，APB的平分線在y軸上，k1+k20，即0，又|PA|PB|，k0，m1，直線AB的方程為ykx+1，過定點(diǎn)（0，1）21設(shè)f（x）xlnx+ax2，a為常數(shù)（1）若曲線yf（x）在x1處的切線過點(diǎn)A（0，2），求實(shí)數(shù)a的值；（2）若f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2且xlx2求證：a0求證：f （x2）f （x1）【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算即可得到a1；（2）由題意可得f（x）0有兩個不等的實(shí)根x1，x2，且0x1x2，設(shè)g（x）lnx+1+2ax，求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，分a0，a0，求出單調(diào)區(qū)間和極值，令極大值大于0，即可得到a的范圍；由上可知，f（x）在（x1，x2）遞增，即有f（x2）f（x1），求出x1（0，1），設(shè)h（x）（xlnxx），0x1，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到所求范圍解：（1）f（x）xlnx+ax2的導(dǎo)數(shù)為f（x）lnx+1+2ax，在x1處的切線斜率為k1+2a，切點(diǎn)為（1，a），在x1處的切線過點(diǎn)A（0，2），則k1+2aa+2，解得a1；（2）證明：由題意可得f（x）0有兩個不等的實(shí)根x1，x2，且0x1x2，設(shè)g（x）lnx+1+2ax，g（x）+2a，x0當(dāng)a0，則g（x）0，g（x）在（0，+）遞增，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，g（x）0解得x，g（x）0解得x，即有g(shù)（x）在（0，）遞增，在（，+）遞減即有g(shù)（）ln（）0，解得a0；由上可知，f（x）在（x1，x2）遞增，即有f（x2）f（x1），f（1）g（1）1+2a0，則x1（0，1），由可得ax1，即有f（x1）x1lnx1+ax12（x1lnx1x1），設(shè)h（x）（