同步測控優(yōu)化訓練高三數(shù)學第二章單元檢測B卷

高三數(shù)學同步檢測(八)第二章單元檢測(B)說明:本試卷分為第、卷兩部分，請將第卷選擇題的答案填入題后括號內(nèi)，第卷可在各題后直接作答.共100分，考試時間90分鐘.第卷(選擇題共40分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)1.設(shè)Sk=+,則等于 ( )A.Sk+ B.Sk+C.Sk+- D.Sk+分析 當自變量取k時,等式的左邊是k項和的形式.解 Sk=+,Sk+1=+=+=+-=Sk+-.答案C2.若()=-1,則常數(shù)a、b的值為( )A.a=2,b=-4 B.a=-2,b=4C.a=-2,b=-4 D.a=2,b=4分析本題考查函數(shù)的極限.解 原式=,得=1,=-1,a=2,b=4.答案 D3.用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”時,第二步應是( )A.假設(shè)n=2k+1時正確,再推n=2k+3時正確B.假設(shè)n=2k-1時正確,再推n=2k+1時正確C.假設(shè)n=k時正確,再推n=k+1時正確D.假設(shè)nk(k1)時正確,再推n=k+2時正確(以上kN*)解析 因為n為正奇數(shù),所以不妨設(shè)n=2m-1(mN*)進行證明.答案 B4.如圖,正方形上連接等腰直角三角形,直角三角形邊上再連接正方形,無限重復.設(shè)正方形的面積為S1,S2,S3,三角形的面積為T1,T2,T3,當S1的邊長為2時,這些正方形和三角形的面積總和為( )A.10 B.11 C.12 D.13分析 本題考查無窮等比數(shù)列前n項和的極限及運算能力.解 由題意知,正方形的面積Sn是首項為4,公比為的等比數(shù)列;三角形的面積Tn是首項為1,公比為的等比數(shù)列.S1+S2+Sn=81-()n;T1+T2+Tn=(S1+S2+Sn)+(T1+T2+Tn)=81-()n+21-()n=10.答案 A5.用數(shù)學歸納法證明“(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN*)”時,從“k”到“k+1”等式的左邊需要乘的代數(shù)式是( )A.2k+1 B.C. D.分析 本題考查用數(shù)學歸納法證明代數(shù)恒等式.等式的左邊是n個連續(xù)正整數(shù)積的形式.解 當n=k時,左邊=(k+1)(k+2)(k+k).當n=k+1時,左邊=(k+2)(k+3)(2k+2)=(k+1)(k+2)(k+k)答案 C6.設(shè)函數(shù)則下列結(jié)論不正確的是( )A.B.C.D.分析本題考查函數(shù)的左、右極限.因為f(x)的圖象易得,可根據(jù)它的圖象求解.其中y=lg(-x)與y=lgx的圖象關(guān)于y軸對稱.解 由圖象可知,而不存在,所以不存在.答案 B7.已知f(x)=x2,則等于（）A.x B.2x C. D.-分析本題考查函數(shù).當把x=x0代入函數(shù)解析式f(x)有意義時,可采用直接代入法求極限.解答案 B8.用數(shù)學歸納法證明1+n(n1),第二步證明從“k”到“k+1”,左端增加的項數(shù)是( )A.2k-1 B.2k C.2k-1 D.2k+1分析 本題考查用數(shù)學歸納法證明不等式,分清不等式左邊的構(gòu)成情況是解決本題的關(guān)鍵.解 當n=k+1時,左邊=1+,它比n=k時增加的項為+,其分母是首項為2k,公差為1,末項為2k+1-1的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的通項公式可知其項數(shù)為2k+1-1-2k+1=2k.答案 B9.設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn=2n-1,則等于（ ）A. B.1 C. D.2分析 本題考查當n時，數(shù)列an的極限.解題的關(guān)鍵是首先由an的前n項和Sn求出an.解 當n=1時，a1=S1=2-1=1;當n2時，an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1.此時n=1也成立,an=2n-1.=()2n-1，它是以為首項、公比為的等比數(shù)列.=答案 A10.等于( )A.0 B.1 C.2 D.3分析 本題考查數(shù)列的極限.要掌握二項式系數(shù)的一個性質(zhì)：+=.解 分子1+22+32+n2=分母+=+=+=+=答案 C第卷(非選擇題共60分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上)11.在用數(shù)學歸納法證明“f(n)=49n+16n-1(nN*)能被64整除”時,假設(shè)f(k)=49k+16k-1(kN*)能被64整除,則f(k+1)的變形情況是f(k+1)= .分析 用數(shù)學歸納法證明整除性問題的關(guān)鍵是把n=k+1時的情況拼湊成一部分為歸納假設(shè)的形式,另一部分為除數(shù)的倍數(shù)的形式.解 f(k+1)=49k+1+16(k+1)-1=4949k+16k+16-1=49(49k+16k-1)-4916k+49+16k+15=49(49k+16k-1)-64(12k-1).答案 49(49k+16k-1)-64(12k-1)12. .分析 本題考查函數(shù)的極限.若把代入函數(shù)解析式,解析式無意義,故應化簡函數(shù)解析式,約去使它的分母為0的因式,再求極限.解 答案 -213.給定極限(nsin)=1,則極限 .分析 本題考查常見數(shù)列的極限,如何把待求結(jié)論拼湊成已知的形式是解題的關(guān)鍵.解 原式=()=1-=1-=.答案 14.若,則a= ,b= .分析 本題考查當xx0時，函數(shù)的極限.當把x=1代入函數(shù)解析式時，分母為零，故需進行分子有理化，使分子出現(xiàn)（x-1)因式，約去該因式后，再代入求值即可.解 則b2-a=1，且(1+1)(-b)=1.解得a=-,b=-.答案 - -三、解答題(本大題共5小題，共44分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分8分)在數(shù)列an中,a1=,.(1)求a2,a3,a4;(2)求數(shù)列an的通項公式,并予以證明.分析 本題考查歸納、猜想及用數(shù)學歸納法證題的能力.如何利用歸納假設(shè)是本題成敗的關(guān)鍵.解 (1)由題設(shè),得a2=,a3=,a4= 2分(2)猜測:an=,下面用數(shù)學歸納法證明:當n=1,2,3,4時,已驗證.假設(shè)當n=k(k4)時,公式成立,即ak=. 4分ak+1=即(k+3)ak+1=a1+a2+ak-1+ak=ak(2+3+k)+ak=ak(1+2+3+k)=ak(k+1).ak+1= 6分=這就是說,當n=k+1時,公式也成立.綜上可知,對任何正整數(shù)n,an=. 8分16.(本小題滿分8分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,an=5Sn-3(nN*),求(a1+a3+a5+a2n-1)的值.分析 由式子an=5Sn-3,易得到an與Sn的關(guān)系式.由an=Sn-Sn-1(n2),利用此式,再對n進行合適的賦值,便可消去Sn,得到an的遞推關(guān)系式,進而確定數(shù)列an,再求(a1+a3+a5+a2n-1).解 a1=S1,an=Sn-Sn-1(n2).又已知an=5Sn-3,an-1=5Sn-1-3(n2).兩式相減,得an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an(n2).an=-an-1(n2). 2分由a1=5S1-3及a1=S1,得a1=.可見an是首項為,公比q=-的等比數(shù)列. 4分a1+a3+a5+a2n-1是首項為,公比為q2=(-)2=的等比數(shù)列. 6分由于|q2|2時,原式=;8分當0c2時,原式=10分19.(本小題滿分10分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,其滿足a1=1,3Sn=(n+2)an,問是否存在實數(shù)a、b、c使得an=an2+bn+c對一切nN*都成立?若存在,求出a,b,c;若不存在,請說明理由.分析 本題是一道探索性問題,可從假設(shè)結(jié)論成立入手.解 假設(shè)滿足條件的a,b,c存在,將n=2,3代入3Sn=(n+2)an中,可得a2=3,a3=6.代入an=an2+bn+c中,可得 解得an=n2+