天津紅橋區(qū)高三數(shù)學(xué)一模理

天津市紅橋區(qū)2015屆高三數(shù)學(xué)一模試題 理（掃描版）高三數(shù)學(xué)（理）（2015、04）一、選擇題：每小題5分，共40分題號12345678答案DBCBABCB二、填空題：每小題5分，共30分題號91011121314答案-2205三、解答題：共6小題，共80分（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）的最小正周期為，（）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標向右平行移動個單位長度，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的最大值和最小值解：（），-4分（說明：兩個公式，各占2分）因為，所以；.-6分（說明：公式1分，結(jié)論1分）當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，-7分所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.-8分（）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標向右平行移動個單位長度，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，-10分在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上最大值為，最小值為.-13分（16）（本小題滿分13分）甲、乙兩人進行定點投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設(shè)一點，在點處投中一球得2分，在距籃筐3米線外設(shè)一點，在點處投中一球得3分.已知甲、乙兩人在和點投中的概率相同，分別是，且在、兩點處投中與否相互獨立. 設(shè)定每人按先后再的順序投籃三次，得分高者為勝.（）若甲投籃三次，試求他投籃得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）求甲勝乙的概率.解:設(shè)“甲在點投中”的事件為，“甲在點投中”的事件為.（）根據(jù)題意知的可能取值為0,2,3,4,5,7， 6分023457P所以的分布列是： 8分（）甲勝乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五種情形.這五種情形之間彼此互斥，因此，所求事件的概率為： 13分（說明：結(jié)論錯，每種情況1分）（17）（本小題滿分13分）如圖，四邊形為直角梯形，又，（）若是的中點，求證：平面;（）求與平面所成角的正弦值證明：（）方法一：取中點，因為四邊形為直角梯形，又，則有平行四邊形,所以,又是的中點，所以-4分（說明：一個線線平行2分）所以平面,平面,所以平面平面,而平面,所以平面;-6分（說明：一個線面平行1分）方法二：因為,所以，平面.-1分過點作,以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則,-3分（說明：對3個坐標1分）設(shè)平面的一個法向量，則即得一個，又，-5分故，所以，平面;-6分（），-8分（說明：對2個1分）設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取則，得，-10分設(shè)與平面所成角為，則， 于是與平面所成角的正弦值為-13分（說明：公式2分，結(jié)論1分）（18）（本小題滿分13分） 已知橢圓（）的離心率為，以坐標原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切.（）求橢圓的方程； （）過橢圓的右頂點作兩條互相垂直的直線，且分別交橢圓于兩點，探究直線是否過定點？若過定點求出定點坐標，否則說明理由.解：（）依題意：，則，-2分（說明：離心率公式1分，結(jié)論1分）因為以坐標原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓：與直線相切，所以，橢圓的方程：-6分（說明：確定值2分，a值1分，方程1分）（）依題意，斜率存在，設(shè)：，：，-7分設(shè)，將的方程代入橢圓得：， 所以，-9分將換成則所以，-10分所以，直線的斜率為：.-11分直線的方程為：，即，所以，直線過定點.-12分當(dāng)時，,此時，直線也過定點故，直線必過定點.-13分（19）（本小題滿分14分）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=1，=16，單調(diào)增數(shù)列的前n項和為，且（）（）求數(shù)列、的通項公式；（）令（），（1）求數(shù)列的前項和；（2）若，證明：對任意的整數(shù)，有（）=，=4，q=2，-3分（說明：通項公式2分，結(jié)論1分）b3=8. +2當(dāng)n2時，+2 -得-4分即 =3，是公差為3的等差數(shù)列-5分當(dāng)n1時，+2，解得=1或=2，當(dāng)=1時，此時=7，與矛盾；當(dāng)時，此時此時=8=，-7分（說明：沒有分類扣1分）（）（1），-8分-得-9分-10分（說明：結(jié)論不整理不扣分）（2）若=，-11分-12分-13分.故( m4).-14分（20）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（）設(shè)，若在上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（） 1分當(dāng)時，令，-3分x+0-0+f(x)增2減增所以，函數(shù)在時，取得極大值2；函數(shù)在時，取得極小值.-6分（）令，要使在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)滿足：恒成立. 當(dāng)時，因為，所以0，0， 在內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，即適合題意； 8分 當(dāng)0時，其圖像為開口向上的拋物線，對稱軸為，只需，即，在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故適合題意. 當(dāng)0時，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要，即時，在恒成立，故0適合題意.綜上所述，的取值范圍為 10分（）在上是減函數(shù)， 時，；時，即， 當(dāng)