天津紅橋區(qū)高三數(shù)學(xué)一模理

天津市紅橋區(qū)2015屆高三數(shù)學(xué)一模試題 理（掃描版）高三數(shù)學(xué)（理）（2015、04）一、選擇題：每小題5分，共40分題號(hào)12345678答案DBCBABCB二、填空題：每小題5分，共30分題號(hào)91011121314答案-2205三、解答題：共6小題，共80分（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）的最小正周期為，（）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的最大值和最小值解：（），-4分（說(shuō)明：兩個(gè)公式，各占2分）因?yàn)椋裕?-6分（說(shuō)明：公式1分，結(jié)論1分）當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，-7分所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.-8分（）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，-10分在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上最大值為，最小值為.-13分（16）（本小題滿分13分）甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設(shè)一點(diǎn)，在點(diǎn)處投中一球得2分，在距籃筐3米線外設(shè)一點(diǎn)，在點(diǎn)處投中一球得3分.已知甲、乙兩人在和點(diǎn)投中的概率相同，分別是，且在、兩點(diǎn)處投中與否相互獨(dú)立. 設(shè)定每人按先后再的順序投籃三次，得分高者為勝.（）若甲投籃三次，試求他投籃得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）求甲勝乙的概率.解:設(shè)“甲在點(diǎn)投中”的事件為，“甲在點(diǎn)投中”的事件為.（）根據(jù)題意知的可能取值為0,2,3,4,5,7， 6分023457P所以的分布列是： 8分（）甲勝乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五種情形.這五種情形之間彼此互斥，因此，所求事件的概率為： 13分（說(shuō)明：結(jié)論錯(cuò)，每種情況1分）（17）（本小題滿分13分）如圖，四邊形為直角梯形，又，（）若是的中點(diǎn)，求證：平面;（）求與平面所成角的正弦值證明：（）方法一：取中點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪?，又，則有平行四邊形,所以,又是的中點(diǎn)，所以-4分（說(shuō)明：一個(gè)線線平行2分）所以平面,平面,所以平面平面,而平面,所以平面;-6分（說(shuō)明：一個(gè)線面平行1分）方法二：因?yàn)?所以，平面.-1分過(guò)點(diǎn)作,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,-3分（說(shuō)明：對(duì)3個(gè)坐標(biāo)1分）設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即得一個(gè)，又，-5分故，所以，平面;-6分（），-8分（說(shuō)明：對(duì)2個(gè)1分）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取則，得，-10分設(shè)與平面所成角為，則， 于是與平面所成角的正弦值為-13分（說(shuō)明：公式2分，結(jié)論1分）（18）（本小題滿分13分） 已知橢圓（）的離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切.（）求橢圓的方程； （）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，且分別交橢圓于兩點(diǎn)，探究直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則說(shuō)明理由.解：（）依題意：，則，-2分（說(shuō)明：離心率公式1分，結(jié)論1分）因?yàn)橐宰鴺?biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓：與直線相切，所以，橢圓的方程：-6分（說(shuō)明：確定值2分，a值1分，方程1分）（）依題意，斜率存在，設(shè)：，：，-7分設(shè)，將的方程代入橢圓得：， 所以，-9分將換成則所以，-10分所以，直線的斜率為：.-11分直線的方程為：，即，所以，直線過(guò)定點(diǎn).-12分當(dāng)時(shí)，,此時(shí)，直線也過(guò)定點(diǎn)故，直線必過(guò)定點(diǎn).-13分（19）（本小題滿分14分）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=1，=16，單調(diào)增數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（）（）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（）令（），（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若，證明：對(duì)任意的整數(shù)，有（）=，=4，q=2，-3分（說(shuō)明：通項(xiàng)公式2分，結(jié)論1分）b3=8. +2當(dāng)n2時(shí)，+2 -得-4分即 =3，是公差為3的等差數(shù)列-5分當(dāng)n1時(shí)，+2，解得=1或=2，當(dāng)=1時(shí)，此時(shí)=7，與矛盾；當(dāng)時(shí)，此時(shí)此時(shí)=8=，-7分（說(shuō)明：沒(méi)有分類(lèi)扣1分）（）（1），-8分-得-9分-10分（說(shuō)明：結(jié)論不整理不扣分）（2）若=，-11分-12分-13分.故( m4).-14分（20）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（） 1分當(dāng)時(shí)，令，-3分x+0-0+f(x)增2減增所以，函數(shù)在時(shí)，取得極大值2；函數(shù)在時(shí)，取得極小值.-6分（）令，要使在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)滿足：恒成立. 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?，0， 在內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，即適合題意； 8分 當(dāng)0時(shí)，其圖像為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為，只需，即，在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故適合題意. 當(dāng)0時(shí)，其圖像為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為，只要，即時(shí)，在恒成立，故0適合題意.綜上所述，的取值范圍為 10分（）在上是減函數(shù)， 時(shí)，；時(shí)，即， 當(dāng)