數(shù)學(xué)總等差比數(shù)列的基本概念及運算新課標人教

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)等差(比)數(shù)列的基本概念及運算【復(fù)習(xí)目標及教學(xué)建議】復(fù)習(xí)目標：1理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義.2理解等差中項、等比中項的概念.3掌握等差、等比數(shù)列通項公式.4掌握等差、等比數(shù)列前n項和公式.教學(xué)建議：本節(jié)重在等差、等比數(shù)列的判定，教師可提供各種情形，如推遞關(guān)系式(定義），中項、通項、前n項和表達式，讓學(xué)生辨識等差等比數(shù)列的特征.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1考察下列數(shù)列，a1 =1，an+1 =an + ，b1 =2，bn+1 =bn2. an+1 =an ，bn+1 =2bn. an+1 =an+n，b1 =1，bn+1 =(bn)2 ，則an是等差數(shù)列且bn是等比數(shù)列的有（ A ）A1組B2組C3組D0組【解析】中an，bn分別是等差、等比數(shù)列.中an是等差數(shù)列但bn可能bn =0而不是等比數(shù)列. 中均不是，共有1組選A【點評】等差、等比定義.2Sn是an前n項和，Bn是bn前n項和，則an，bn分別是等差、等比數(shù)列的是（ D ）ASn = n2 + n +1，Bn =2n 1BSn =2n，Bn =2n 3CSn = n2 + n，Bn =2n + 1DSn =an+ bn，Bn =2n 1【解析】利用【點析】記住等差、等比數(shù)列的求和Sn特征及通項公式的特征.3等差數(shù)列an中，an-m = A，an+m =B.等比數(shù)列bn中，bn-m = A，bn+m =B.則有（ C ）Aan =A + B，bn =ABBan =，bn =Can =，bn =Da2n =A + B，b2n =AB【解析】等差、等比中項定義，選C.4已知等差數(shù)列an的公差d =，且前100項和S100 = 145，那么a1 + a3 + a5 +a99 = 60 .【解析】解法：由.得a1 + a100 =2.9.而a1 + a99 =2.9 0.5 =2.4.故a1 + a3 + a99 =.解法：令a1 + a3 + a99 =A.則a2+ a4 + a100 =A + 50d.故A + A + 50d =S100 =145.A= 60.【點評】等差數(shù)列求和.5已知f (x) =log2x，令an =f -1(n).則an前n項和Sn = 2n 1 .【解析】f -1(x) = 2x an =f -1(n) = 2n.【點評】等比數(shù)列求和公式.【知識要點】一、等差數(shù)列1定義從第二項起, 每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)的數(shù)列叫做等差數(shù)列. 即：an + 1 an = d(常數(shù))或者an + 2 an + 1 = an + 1 an(nN*).2通項公式an = a1 + (n 1)d;推廣： an = am + (n m)d;變式： 由此聯(lián)想點列n,an所在直線的斜率.3前n項和公式 聯(lián)想前n項平均數(shù)、中位數(shù)； ，聯(lián)想“成對和”相等一倒序相加法.4等差中項如果a、A, b成等差數(shù)列, 那么A叫做a與b的等差中項, 且A = 5三個數(shù)成等差數(shù)列, 通常設(shè)為a d, a, a+d； 四個數(shù)成等差數(shù)列通常設(shè)為a 3d，a d， a + d， a + 3d.二、等比數(shù)列1定義從第二項起, 每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)的數(shù)列叫做等比數(shù)列. 即：(q為不等于零的常數(shù))或者 .2通項公式an = a1qn 1, 推廣：an = amqn m (nm; m、nN*).3前n項和公式(q1).Sn=4等比中項若a、 b、c成等比數(shù)列, 則稱b為a、c的等比中項, 且b =.5三個數(shù)成等比數(shù)列, 通常設(shè)為、x、xq; 四個數(shù)成等比數(shù)列, 通常設(shè)為、xq、xq3.6數(shù)值不為零的常數(shù)列, 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.【雙基固化】1等差（比）列的判斷與證明例 1 已知數(shù)列an，anN*，Sn =.（1）求證：an是等差數(shù)列；（2）若b1 =1，b2 =4，bn前n項和為Bn，且Bn+1 =（a n+1 a n + 1）Bn +（a n a n+1）Bn 1（n2）.求bn通項公式.【分析】由Sn 求出an，進而判斷是否滿足下列條件之一：a n+1 a n =d；a n =kn + b；Sn =an2 + bn.【解析】（1）an+1 = Sn+1 Sn ,8 an+1 =,（an+1 + an）（a n+1 a n 4）=0，anN*，an+1 + an0，a n+1 a n 4=0，即a n+1 a n = 4，數(shù)列an是等差數(shù)列.（2）由a n+1 a n = 4，由題知Bn+1 = 5Bn 4 Bn1Bn+1 Bn = 4（Bn Bn1）bn+1 = 4bn（n2）又已知b1 = 1，b2 = 4.故bn是首項為1，公比為4的等比數(shù)列.an =4n 1 （nN+）2等差數(shù)列中基本量的計算例 2 等差數(shù)列的前n項和為Sn，若S12 =84，S20 = 460，求S28.【分析】由已知列出關(guān)于a1和d的方程組，求出a1和d，即可求出S28.也可由等差數(shù)列求和公式的特點，由Sn =an2 + bn，求得a，b進而求S28. 【解析】方法一：設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，則，S12 =84，S20 =460.，解得a1= 15，d =4.Sn = 15n +.S28= 2282 1728=1092.方法二：由已知不妨設(shè)Sn =an2 + bna =2，b = 17，Sn =2n2 17nS28=2282 1728=1092.【點評】（1）方法一是聯(lián)想等差數(shù)列的求和公式，轉(zhuǎn)化為建立基本量的方程求基本量，方法二通過等差數(shù)列前n項和的變形式求出待定系數(shù)a，b使問題得到解決，較為簡捷.（2）有關(guān)等差數(shù)列的基本運算問題，常運用列方程解方程，因此要強化列方程與解方程的技能，能做到快速、準確地運算.【能力提升】例 3 OBC的三個頂點坐標分別為(0, 0)、(1, 0)、(0, 2)，設(shè)P1為線段BC的中點，P2為線段CO的中點，P3為線段OP1的中點，對于每一個正整數(shù)n，Pn+3為線段PnPn+1的中點，令Pn的坐標為(xn, yn)，.（1）求a1，a2，a3及an；（2）證明yn+4 = 1 ，nN*；(3)若記bn = y4n + 4 y4n，nN*，證明bn是等比數(shù)列.【解析】（1）由已知得：y1 = y2 = y4 = 1，y3 =， y5 =，a1 = a2 = a3 = 2.又由題意得，+，即對任意的正整數(shù)n，各項相等，即數(shù)列an為常數(shù)列，an = 2.（2）由（1）得， 又，=1，即 ，nN*.（3）bn = y4n+4 y4n，bn+1 = y4n+8 y4n+4 =bn.又b1 = y8 y4 =0，bn是公比為的等比數(shù)列.【點評】本題是由幾何迭代產(chǎn)生的等差等比數(shù)列，此型也是高考熱點題型.本題中要利用幾何迭代關(guān)系,轉(zhuǎn)化為數(shù)列遞推關(guān)系,進而用定義證明它是等差等比數(shù)列.【規(guī)律總結(jié)】1等差數(shù)列的識別方法有以下幾種：1)定義法：an+1 an =d（常數(shù)） an 是等差數(shù)列.2)中項公式法：2 an+1= an + an+2（anN*） an 是等差數(shù)列.3)通項公式法：an =pn + q（p，q為常數(shù)） an 是等差數(shù)列.4)前n項和公式法：Sn =An2 + Bn（A，B為常數(shù)） an 是等差數(shù)列.2等比數(shù)列的識別方法有以下幾種：1)定義法：（q是不為0的常數(shù)，anN*）| an |是等比數(shù)列.2)通項公式法：an =cqn（c，q均是不為0的常數(shù)，nN*） an 是等比數(shù)列.3)中項公式法：=anan+2（anan+1an+20，nN*） an 是等比數(shù)列.4)前n項和公式法： an 是等比數(shù)列. 注：要證明等差等比數(shù)列，用定義法或中項公式法.【課時作業(yè)】A組題一、選擇題1已知數(shù)列an,那么對任意的nN*，點Pn（n，an）都在直線y=2x+1上，則an（ B ）A是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列B是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列C是等差數(shù)列且又是等比數(shù)列D不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列【解析】由Pn(n，an)都在直線y=2x+1上,得an=2n+1知等差數(shù)列2在等差數(shù)列an中前n項和為Sn，若S5 = 17，S10=68，則首項與公差之比為（ D ）A21B14C13D12【解析】依題意得4 得.故選D.3、設(shè)，an = f (n)，求數(shù)列an的前n項之和為 （ A ）ABC2nD0【解析】，a=3求和得A4已知公差不為0的等差數(shù)列的第4，7，16項恰好是某等比數(shù)列的第4，6，8項，那么該等比數(shù)列的公比是（ C ）A BC D【解析】由已知條件得.所以q =.二、填空題5在數(shù)列an中，an+1 = can，c為非零常數(shù)，且前n項和Sn = 3n + k，則k的值是 1 .【解析】由an = Sn Sn1 = 3n 3n1 =23n1.a1 = 3 + k = 2，k = 1.6在1和1024之間插入9個數(shù)，使這11個數(shù)順次成等比數(shù)列，所插入的9個數(shù)之和是 1022或342 .【解析】由條件知a1=1，a11=1024，設(shè)公比為q，由an=a1qn-1,得1024=q10，q=2，當q=2時，所插入9個數(shù)之和為=1022當q= 2時，所插入9個數(shù)之和為 = 342.三、解答題7設(shè)an是等差數(shù)列，bn = ，已知：b1 + b2 + b3 =，b1b2b3 =，求等差數(shù)列的通項an.【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d則a1=a2d，a3=a2+db1b2b3 =a2=1.于是b1+b2+b3=，即2d+2d+1=，4(2d)2172d+4=0，2d=或2d=4，d= 2，或d =2.d = 2，a1 = a2 d=3，或 d=2，a1 = a2 d= 1.故當a1 = 3，d= 2時，an=a1+(n-1)d=5 2n；a1 = 1，d =2時，an= a1+(n-1)d =2n3.8設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1=1，Sn+1= 4an + 2 (nN*).（1）設(shè)bn=an+12an，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；（2）設(shè)Cn=求證：數(shù)列Cn是等差數(shù)列；（3）求Sn = a1 + a2 + + an.【解析】（1）an+1 = Sn+1 Sn = 4an 4an1，an+1 2an = 2( an 2an1)，bn = 2bn1(n2).又b1 = a2 2a1 = S2 3a1 = a1 + 2 = 3，bn是首項為3，公比為2的等比數(shù)列.（2）bn=32n1，an+1 2 an =32n1，Cn+1 Cn =.又C1=，Cn是以為首項,公差為的等差數(shù)列.（3）Cn=， an=2nCn=2n2(3n 1).當n2時，Sn= 4an1+2=42n33(n1) 1+2=2n1(3n 4)+2又n=1時，S1=1.故Sn=2n1 (3n4)+2.9數(shù)列an的首項a1=1，前n項和Sn滿足關(guān)系式：3tSn (2t+3)Sn1=3t（t0，n=2，3，4，）（1）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列an的公比為f（t），作數(shù)列bn，使b1=1，bn=f()(n=2,3,4，)，求bn；（3）求和：b1b2b2b3+ b3b4+b2n1b2nb2n b2n+1.【解析】（1）由S1 = a1 = 1，S2 = a1 + a2 = 1 + a2，得3t (1 + a2) (2t + 3) = 3t.可得a2=,于是.又3tSn(2t+3)Sn1=3t，3tSn1 (2t+3)Sn2=3t，兩式相減，得3tan (2t+3)an1 = 0，于是，n=3,4，因此,an是一首項為1，公比為的等比數(shù)列. （2）由f（t）=bn = f (,可見，bn是一個首項為1，公差為的等差數(shù)列.于是，bn=1+.（3）由bn，可知b2n-1和b2n是首項分別為1和，公差均為的等差數(shù)列，于是b2n=.b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1= b2(b1b3)+b4(b3 b5)+ b2n(b2n1- b2n+1）= (b2+b4+b2n) = n()= (2n2+3n).B組題10已知等差數(shù)列|an|的前n項和為Sn，若=，且A、B、C三點共線（該直線不過點O），則S200等于（ A ）A100B101C200D201【解析】=，且A、B、C三點共線.a1 + a200 =1.11下表給出一個“等差數(shù)陣”：47( )( )( )a1j712( )( )( )a2j( )( )( )( )( )a3j( )( )( )( )( )a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差數(shù)列, aij表示位于第i行第j列的數(shù).（1）寫出a45的值；（2）寫出aij的計算公式；（3）證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N + 1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積.【解析】（1）a45 = 49.（2）該等差數(shù)陣的第一行是首項為4, 公差為3的等差數(shù)列：a1j = 4 + 3(j 1)；第二行是首項為7, 公差為5的等差數(shù)列：a2j = 7 + 5(j 1），第i行是首項為4 + 3(i 1), 公差為2i + 1的等差數(shù)列, 因此,aij = 4 + 3(i 1) + (2i + 1)(j 1)=2ij + i + j = i (2j + 1) + j.（3）必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i，j，使得N = i (2j + 1) + j.從而2N + 1 = 2i (2j + 1) + 2j +1 = (2i+1) (2j+1),即正整數(shù)2N+1可分解成兩個不是1的正整數(shù)之積.充分性：若2N + 1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積, 由于2N + 1是奇數(shù), 則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積. 即存在正整數(shù)k, l, 使得2N + 1 = (2k + 1)(2l + 1),從而, N = k(2l + 1) + l = akl，可見N在該等差數(shù)陣中.綜上所述, 正整數(shù)N在該等差數(shù)陣之中的充要條件是2N + 1可以分解成兩個不是