高中數(shù)學集合概念與運算

第一講 集合的概念與運算【考點透視】1理解集合、子集、補集、交集、并集的概念.2了解空集和全集的意義.3了解屬于、包含、相等關系的意義.掌握有關的術語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合4解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合x|xP,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結合直觀地解決問題.5注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A兩種可能，此時應分類討論.【例題解析】題型1 正確理解和運用集合概念理解集合的概念,正確應用集合的性質(zhì)是解此類題目的關鍵.例1.已知集合M=y|y=x21,xR,N=y|y=x1,xR，則MN=（ ）A（0，1），（1，2） B（0，1），（1，2）Cy|y=1,或y=2 Dy|y1思路啟迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是實數(shù)y而不是實數(shù)對(x,y)，因此M、N分別表示函數(shù)y=x21(xR)，y=x1(xR)的值域，求MN即求兩函數(shù)值域的交集解：M=y|y=x21,xR=y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yRMN=y|y1y|yR=y|y1,應選D點評：本題求MN，經(jīng)常發(fā)生解方程組 從而選B的錯誤，這是由于在集合概念的理解上，僅注意了構成集合元素的共同屬性，而忽視了集合的元素是什么事實上M、N的元素是數(shù)而不是點，因此M、N是數(shù)集而不是點集集合是由元素構成的，認識集合要從認識元素開始，要注意區(qū)分x|y=x21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x21,xR，這三個集合是不同的例2.若P=y|y=x2,xR，Q=y|y=x21,xR，則PQ等于（ ）AP BQ C D不知道思路啟迪：類似上題知P集合是y=x2（xR）的值域集合，同樣Q集合是y= x21（xR）的值域集合，這樣PQ意義就明確了解：事實上，P、Q中的代表元素都是y，它們分別表示函數(shù)y=x2,y= x21的值域，由P=y|y0,Q=y|y1，知QP，即PQ=Q應選B例3. 若P=y|y=x2,xR，Q=(x，y)|y=x2,xR，則必有（ ）APQ= BP Q CP=Q DP Q思路啟迪：有的同學一接觸此題馬上得到結論P=Q，這是由于他們僅僅看到兩集合中的y=x2,xR相同，而沒有注意到構成兩個集合的元素是不同的，P集合是函數(shù)值域集合，Q集合是y=x2,xR上的點的集合，代表元素根本不是同一類事物解：正確解法應為： P表示函數(shù)y=x2的值域，Q表示拋物線y=x2上的點組成的點集，因此PQ=應選A例4若，則=（ ）A3B1CD1思路啟迪：解：應選D點評：解此類題應先確定已知集合題型2集合元素的互異性 集合元素的互異性，是集合的重要屬性，教學實踐告訴我們，集合中元素的互異性常常被學生在解題中忽略，從而導致解題的失敗，下面再結合例題進一步講解以期強化對集合元素互異性的認識例5. 若A=2，4, 3227,B=1, 1, 222, (238), 3237，且AB=2，5，則實數(shù)的值是_解答啟迪：AB=2，5，3227=5,由此求得=2或=1 A=2,4,5，集合B中的元素是什么，它是否滿足元素的互異性，有待于進一步考查當=1時，222=1，與元素的互異性相違背，故應舍去=1當=1時，B=1,0,5,2,4，與AB=2，5相矛盾，故又舍去=1當=2時，A=2，4，5,B=1,3,2,5,25，此時AB=2，5，滿足題設故=2為所求例6. 已知集合A=,b, 2b，B=,c, c2若A=B，則c的值是_思路啟迪：要解決c的求值問題，關鍵是要有方程的數(shù)學思想，此題應根據(jù)相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關系式 解：分兩種情況進行討論 （1）若b=c且2b=c2，消去b得：c22c=0，=0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故0c22c1=0，即c=1，但c=1時，B中的三元素又相同，此時無解（2）若b=c2且2b=c，消去b得：2c2c=0，0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=點評：解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進行檢驗和修正例7.已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2x1=0，且AB=A，則的值為_思路啟迪：由AB=A而推出B有四種可能，進而求出的值解： AB=A， A=1，2， B=或B=1或B=2或B=1，2若B=，則令0得R且2，把x=1代入方程得R，把x=2代入方程得=3綜上的值為2或3點評：本題不能直接寫出B=1，1，因為1可能等于1，與集合元素的互異性矛盾，另外還要考慮到集合B有可能是空集，還有可能是單元素集的情況題型3要注意掌握好證明、判斷兩集合關系的方法集合與集合之間的關系問題，是我們解答數(shù)學問題過程中經(jīng)常遇到，并且必須解決的問題，因此應予以重視反映集合與集合關系的一系列概念，都是用元素與集合的關系來定義的因此，在證明（判斷）兩集合的關系時，應回到元素與集合的關系中去例8.設集合A=|=3n2,nZ，集合B=b|b=3k1,kZ，則集合A、B的關系是_ 解：任設A，則=3n2=3(n1)1(nZ)， nZ,n1Z. B,故 又任設 bB，則 b=3k1=3(k1)2(kZ), kZ,k1Z. bA，故 由、知A=B點評：這里說明B或bA的過程中，關鍵是先要變（或湊）出形式，然后再推理例9若A、B、C為三個集合，則一定有（ ）A . B .C .D . 考查目的本題主要考查集合間關系的運算.解：由知，故選A.例10設集合,則滿足的集合B的個數(shù)是（ ）A . 1 B .3 C .4 D . 8考查目的 本題考查了并集運算以及集合的子集個數(shù)問題，同時考查了等價轉(zhuǎn)化思想.解：，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合的子集個數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有個.故選C.例11 記關于的不等式的解集為，不等式的解集為（I）若，求；（II）若，求正數(shù)的取值范圍思路啟迪：先解不等式求得集合和解：（I）由，得（II）由，得，又，所以，即的取值范圍是題型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一個特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集顯然，空集與任何集合的交集為空集，與任何集合的并集仍等于這個集合當題設中隱含有空集參與的集合關系時，其特殊性很容易被忽視的，從而引發(fā)解題失誤例12. 已知A=x|x23x2=0,B=x|x2=0且AB=A，則實數(shù)組成的集合C是_ 解：由x23x2=0得x=1或2當x=1時，=2，當x=2時，=1這個結果是不完整的，上述解答只注意了B為非空集合，實際上，B=時，仍滿足AB=A，當=0時，B=，符合題設，應補上，故正確答案為C=0，1，2例13已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是思路啟迪：先確定已知集合A和B解：故實數(shù)的取值范圍是例14. 已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR，若A=，則實數(shù)m的取值范圍是_思路啟迪：從方程觀點看，集合A是關于x的實系數(shù)一元二次方程x2(m2)x1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A=可知該方程只有兩個負根或無實數(shù)根，從而分別由判別式轉(zhuǎn)化為關于m的不等式，并解出m的范圍解：由A=又方程x2(m2)x1=0無零根，所以該方程只有兩個負根或無實數(shù)根， 或=(m2)240解得m0或4m4點評：此題容易發(fā)生的錯誤是由A=只片面地推出方程只有兩個負根（因為兩根之積為1，因為方程無零根），而把A=漏掉，因此要全面準確理解和識別集合語言例15.已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若BA，則實數(shù)p的取值范圍是_解：由x23x100得2x5 欲使BA，只須 p的取值范圍是3p3上述解答忽略了空集是任何集合的子集這一結論，即B=時，符合題設應有：當B時，即p12p1p2由BA得：2p1且2p15由3p3 2p3.當B=時，即p12p1p2由、得：p3點評：從以上解答應看到：解決有關AB=、AB=，AB等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題題型5要注意利用數(shù)形結合解集合問題集合問題大都比較抽象，解題時要盡可能借助文氏圖、數(shù)軸或直角坐標系等工具將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，然后利用數(shù)形結合的思想方法使問題靈活直觀地獲解例16.設全集U=x|0x0，求AB和AB解： A=x|x25x60=x|6x1，B=x|x23x0=x|x0 如圖所示， AB=x|6x1x|x0=R AB=x|6x1x|x0=x|6x3，或0x1點評：本題采用數(shù)軸表示法，根據(jù)數(shù)軸表示的范圍，可直觀、準確的寫出問題的結果例18.設A=x|2x1，B=x|x2xb0，已知AB=x|x2，AB=x|1x3，求、b的值思路啟迪：可在數(shù)軸上畫出圖形，利用圖形分析解答解：如圖所示，設想集合B所表示的范圍在數(shù)軸上移動，顯然當且僅當B覆蓋住集合x|1x2，且AB=x|1x3根據(jù)二次不等式與二次方程的關系，可知1與3是方程x2xb=0的兩根， =(13)=2， b=(1)3=3點評：類似本題多個集合問題，借助于數(shù)軸上的區(qū)間圖形表示進行處理，采用數(shù)形結合的方法，會得到直觀、明了的解題效果【專題訓練】一.選擇題:1設M=x|x2+x+2=0，=lg(lg10)，則與M的關系是（ ）A、=M B、M C、M D、M2已知全集=R，A=x|x-|2，B=x|x-1|3，且AB=，則的取值范圍是（ ）A、 0，2 B、（-2，2） C、（0，2 D、（0，2）3已知集合M=x|x=2-3+2，R，N=x|x=b2-b，bR，則M，N的關系是（ ）A、 MN B、MN C、M=N D、不確定4設集合A=x|xZ且-10x-1，B=x|xZ，且|x|5，則AB中的元素個數(shù)是（ ）A、11 B、10 C、16 D、155集合M=1，2，3，4，5的子集是（ ）A、15 B、16 C、31 D、326 集合M=x|x=,kZ,N=x|x=,kZ,則( )A M=NB MNC MND MN=7. 已知集合A=x|x24mx2m6=0,xR，若AR，求實數(shù)m的取值范圍8 命題甲：方程x2mx1=0有兩個相異負根；命題乙：方程4x24(m2)x1=0無實根，這兩個命題有且只有一個成立，求m的取值范圍 9 已知集合A=x|2x7,B=x|m+1x2m1且B,若AB=A，則( )A 3m4B 3m4C 2m4D 22使命題乙成立的條件是：2=16(m2)2160，1m3 集合B=m|1m2m|m1或m3=m|m3；若為（2），則有：BCRA=m|1m3m|m2=m|1m2;綜合（1）、（2）可知所求m的取值范圍是m|1m2，或m39.D 解析 AB=A，BA,又B,，即2m4 10.C 11.D 12.B 13.D 14.B二.填空題:15. ； 16. 7 ； 17. ； 18.-1. 三.解答題: 19. 1或-1，提示：畫圖.20或或21解：在集合運算之前，首先要識別集合，即認清集合中元素的特征M、N均為